Радиус описанной окружности около шестиугольника формула: Расчет радиуса описанной окружности шестиугольника онлайн

alexxlab

Шестиугольник описанный около окружности формулы

/

/

Шестиугольник описанный около окружности формулы

Калькулятор для вычисления стороны правильного шестиугольника по известным данным.

При известном радиусе R описанной вокруг правильного шестиугольника окружности сторона a имеет такое же значение как и радиус R описанной вокруг шестиугольника окружности.

При известном радиусе r окружности вписанной в правильный шестиугольник сторона a вычисляется как отношение двух радиусов вписанной в правильный шестиугольник окружности и корня из числа 3.

Формула для вычисления стороны правильного шестиугольника при известном радиусе вписанной в правильный шестиугольник окружности:

r – радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник,

a – сторона правильного шестиугольника.

При вводе данных дробную часть от целой, отделяйте точкой, а не запятой.

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.

Шестиугольник – многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Через сторону

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

Через радиус описанной окружности

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Урок геометрии «Формула для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников».

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Цель урока: систематизировать знания и умения, выработать навыки решения задач по теме.

Методы обучения: словесный и наглядный.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: цель нашего урока – научиться применять полученные знания при решении задач.

2. Актуализация знаний учащихся: повторение теоретического материала.

3. Решение задач

Итак, мы с вами доказали, что около правильного n-угольника можно описать окружность, и в правильный n-угольник можно вписать окружность, причем центры этих окружностей совпадают.


 – высота, биссектриса и медиана.
Выделим треугольник . Данный рисунок и есть наша «формула», которую мы будем использовать для решения задач. Кстати, заодно и повторим правила решения прямоугольных треугольников, определения синуса, косинуса и тангенса угла в прямоугольных треугольниках.

 

Давайте вместе выпишем следующие зависимости:

;
;
.

Заметим, что при использовании данной «формулы», можно не следить за правдоподобным изображением угла О рассматриваемого треугольника, так как не требуется выполнять никаких дополнительных построений. Кстати, в вариантах ЕГЭ чертежи к геометрическим задачам не всегда бывают правдоподобными, так как это не мешает грамотному решению элементарной задачи. Поэтому далее все чертежи будут одинаковыми, а различные величины углов будут выписаны рядом с чертежом.

Задача №18 (из учебника)

У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной. Докажите.

Решение:

Задача.

Выразить радиус описанной около правильного шестиугольника окружности через его сторону.

Решение:

Задача № 20 (из учебника)

В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Решение:

Ответ: .

Из решения последней задачи видно, что условие задачи следует выписывать, если эта запись демонстрирует логику решения. Проиллюстрируем это также на следующих задачах.

Задача

Правильный треугольник вписан в окружность, а правильный шестиугольник описан около нее. Найти отношение их периметров.

Решение:

Ответ: .

Задача

Правильный треугольник вписан в окружность. Около этой окружности описан квадрат, который в свою очередь вписан в окружность, около которой описан шестиугольник. Найти отношение сторон треугольника и шестиугольника.

Решение:

Ответ: .

На примере последней задачи можно заметить, что введение дополнительного числа окружностей и правильных многоугольников  не усложняет ее, так как решение сводится к комбинации аналогичных элементарных задач на решение прямоугольного треугольника.

4. Подведение итогов урока

1) Оценка учителем достижения цели урока.
2) Выставление оценок.

5. Задание на дом: №№ 19, 28, 29.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Правильный шестиугольник

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.

Блок: 1/4 | Кол-во символов: 354
Источник: https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/

Свойства

  • Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности (), поскольку .
  • Все углы равны 120°.
  • Радиус вписанной окружности равен:
  • Периметр правильного шестиугольника равен:
  • Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:
  • Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
  • Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).

Блок: 2/7 | Кол-во символов: 555
Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

Свойства правильного шестиугольника

  • все внутренние углы равны между собой
  • каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
  • все стороны равны между собой
  • сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
  • большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
  • меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt{3} )раз больше его стороны.{2}cdot 3sqrt{3}}{2} )

    Блок: 2/5 | Кол-во символов: 2455
    Источник: https://calcsbox.com/post/geksagon.html

    Построение

    Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

    Блок: 3/7 | Кол-во символов: 172
    Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

    Интересные факты

    • Как известно, пчелы строят соты правильной шестиугольной формы. Дело в том, что шестиугольник – самая оптимальная геометрическая форма для максимально полезного использования единицы площади. Шестиугольник близок к кругу – идеальной естественной фигуре, – но у него есть преимущество: вплотную примыкая друг к другу, шестиугольники позволяют использовать всю полезную площадь сот, максимально заполняя ее медом. Совсем не так было бы, если бы ячейки имели круглую форму – между ними неизбежно оставалось бы много пространства, которое невозможно использовать.
    • Панцирь черепахи состоит из шестиугольников. Благодаря ячейкам такой формы он проще всего наращивается. Черепахи растут, и их панцирь должен увеличиваться вместе с ними, причем равномерно по всей площади. Поэтому черепаший панцирь формируется из отдельных пластинок, плотно пригнанных друг к другу, как дощечки паркета, но сохраняющих способность прирастать по краям. Если бы пластинки могли равномерно расти во все стороны, они имели бы форму кругов. Однако круги не могут плотно прилегать друг к другу, между ними неизбежно будут оставаться просветы.
    • Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
    • Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
    • Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
    • Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
    • Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя равносторонними треугольниками. Является, в частности, символом иудаизма.
    • Контур Франции напоминает правильный шестиугольник, поэтому он является символом страны.

    Не можешь написать работу сам?

    Доверь её нашим специалистам

    от 100 р.стоимость заказа

    Узнать стоимость

    Блок: 3/5 | Кол-во символов: 1884
    Источник: https://calcsbox.com/post/geksagon.html

    Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

    Слева направо:
    Пчелиные соты;
    Графен — одна из аллотропных модификаций углерода;
    Гигантский гексагон.

    Блок: 4/7 | Кол-во символов: 167
    Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

    Ссылки

    Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

    Блок: 7/7 | Кол-во символов: 87
    Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

    Кол-во блоков: 14 | Общее кол-во символов: 6829
    Количество использованных доноров: 3
    Информация по каждому донору:
    1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA: использовано 4 блоков из 7, кол-во символов 981 (14%)
    2. https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/: использовано 3 блоков из 4, кол-во символов 1509 (22%)
    3. https://calcsbox.com/post/geksagon.html: использовано 2 блоков из 5, кол-во символов 4339 (64%)

    Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

    Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусов описанной и вписанной окружности.

    • Чтобы спорилось нужное дело,
    • Чтобы в жизни не знать неудач,
    • В математики мир отправимся смело,
    • В мир примеров и разных задач.

    ДЕВИЗ УРОКА

    Думать — коллективно!

    Решать — оперативно!

    Отвечать — доказательно!

    Бороться — старательно!

    И открытия нас ждут обязательно!

    Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиуса вписанной окружности. Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…”.

    Повторение.

    • Какая геометрическая фигура

    изображена на рисунке?

    D

    Е

    2.Какой многоугольник называется

    правильным?

    О

    3.Какая окружность называется

    вписанной в многоугольник?

    F

    С

    4.Какая окружность называется

    описанной около многоугольника?

    5.Назовите радиус вписанной окружности.

    А

    В

    Н

    6.Назовите радиус описанной окружности.

    7.Как найти центр вписанной в правильный

    многоугольник окружности?

    8.Как найти центр окружности описанной около

    правильного многоугольника?

    Проверка выполнения

    домашнего задания ..

    № 1084.

    β – угол, соответствующий

    дуге, которую стягивает

    сторона многоугольника .

    О

    А п

    А 2

    β

    Ответы:

    а) 6;

    б) 12;

    А

    А 1

    в) 4;

    г) 8;

    г) 10

    д) 20;

    ?

    е) 7.

    е) 5.

    ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

    ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

    Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

    Сумма углов правильного n -угольника

    Угол правильного n — угольника

    Вписанная и описанная окружность

    Окружность называется вписанной в многоугольник,

    если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

    Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой

    окружности.

    Вписанная и описанная окружность

    Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

    Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

    Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.

    Пусть r – радиус вписанной окружности,

    R – радиус описанной окружности,

    п – количество сторон и углов многоугольника.

    В

    Рассмотрим правильный п-угольник.

    а / 2

    А

    С

    Пусть а – сторона п-угольника,

    а

    α – угол.

    α /2

    α /2

    Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.

    β

    ОС – высота ∆АОВ.

    .

    ∟ С = 90 º — (по построению),

    Рассмотрим ∆АОС:

    О

    ∟ ОАС = α /2 — (ОА – биссектриса угла п- угольника),

    АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),

    ∟ АОВ = 360 º : п,

    пусть ∟АОС = β .

    тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ

    = 0,5 ∙ ( 360 º : п)

    = 180 º : п .

    АС

    а

    а

    АС

    =

    =

    =

    R = ОА

    =

    2 sin (180 º : п)

    sin β

    r = ОС

    2 tg (180 º : п)

    tg β

    ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

    Площадь правильного многоугольника

    Сторона правильного многоугольника

    Радиус вписанной окружности

    Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

    Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

    Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

    Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

    Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

    Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

    Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

    Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

    Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

    Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

    Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

    Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

    п = 3

    п = 4

    п = 6

    ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

    а

    а

    R =

    r =

    2 tg (180 º : п)

    2 sin (180 º : п)

    = 60 º ,

    = 180 º : 3

    тогда 180 º : п

    У правильного треугольника п = 3,

    а

    √ 3

    2 ∙

    =

    √ 3,

    R 3 =

    откуда 2 sin 60 º =

    значит

    2

    √ 3

    а

    значит

    2 ∙ √3

    2 tg 60 º =

    r 3 =

    2 √3

    тогда 180 º : п

    = 180 º : 4

    = 45 º ,

    У правильного четырехугольника п = 4,

    а

    √ 2

    =

    R 4

    =

    значит

    √ 2,

    откуда 2 sin 45 º =

    2 ∙

    2

    √ 2

    а

    2 ∙ 1 = 2,

    значит

    2 tg 45 º =

    r 4 =

    2

    У правильного шестиугольника п = 6,

    тогда 180 º : п

    = 180 º : 6

    = 30 º ,

    1

    откуда 2 sin 30 º =

    1,

    2 ∙

    =

    значит

    R 6 = а

    2

    1

    2 tg 30 º =

    2 ∙

    2

    а√3

    значит

    r 4 =

    а :

    =

    √ 3

    2

    √ 3

    21

    Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:

    а 6

    а 4

    а 3

    ап

    2 R ∙ sin (180 º : п)

    R √3

    R √ 2

    R

    Через R

    2r

    Через r

    2 r ∙ tg (180 º : п)

    2 r √3

    2r

    √ 3

    ф

    и

    г

    у

    квадрат

    треугольник

    р

    шестиугольник

    а

    r

    R ,

    а

    а

    а

    R

    √ 3

    √ 2

    а

    а

    а√3

    r

    2

    2

    2 √3

    Домашнее задание:

    Пп. 105 – 108;

    № 1087;

    № 1088 – подготовить таблицу.

    n = 4

    R

    r

    a 4

    P

    2

    6

    4

    S

    28

    16

    3

    3√2

    24

    32

    2√2

    4

    16

    16

    16√2

    32

    4√2

    2√2

    7

    3,5√2

    3,5

    49

    4

    2√2

    16

    2

    № 1087(5)

    Дано: S=16 , n =4

    Найти: a, r, R, P

    Мы знаем формулы:

    № 1088( 5 )

    Дано: P=6 , n = 3

    Найти: R, a, r, S

    Мы знаем формулы:

    № 108 9

    Дано:

    Найти:

    Подведем итог

    Мы знаем формулы:

    Домашнее задание

    • п.105-108 повторить;
    • выучить формулы;
    • № 1090, 1091, 1087(3)

    Все формулы для радиуса описанной окружности.

    « — стороны треугольника

    — полупериметр

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности треугольника, если учесть все три стороны ( R ):

    — сторона треугольника

    — высота

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности равностороннего треугольника, если задана сторона или высота ( R ):

    — равные стороны треугольника

    — борт (основание)

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с заданными сторонами ( R ):

    , — катеты прямоугольного треугольника

    — гипотенуза

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, если заданы катеты или гипотенуза ( R ):

    , — стороны прямоугольника

    — диагональ

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности прямоугольника, если заданы стороны или диагональ ( R ):

    — равные стороны шестиугольника

    — диагональ

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности правильного шестиугольника, если задана сторона или диагональ ( R ):

    — сторона квадрата

    — диагональ

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности квадрата, если задана сторона или диагональ ( R ):

    — равные стороны трапеции

    , — базы

    — диагональ

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности равнобедренной трапеции, если заданы стороны и диагональ ( R ):

    — сторона многоугольника

    — количество сторон

    — центр окружности

    Вычислить радиус описанной окружности правильного многоугольника, если заданы сторона и количество сторон ( R ):

    Геометрия

    — Площадь сегмента для правильного шестиугольника, вписанного в круг. Геометрия

    — Площадь сегмента для правильного шестиугольника, вписанного в круг — Mathematics Stack Exchange
    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    2. 0
    3. +0
    6. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 2k раз

    $ \ begingroup $

    Скажите, пожалуйста, что:

    1. Можно ли вписать правильный шестиугольник со стороной x внутрь окружности радиуса x?

    2. Если 1. 2 \ Bigl (\ frac \ pi 3- \ sin \ frac \ pi3 \ Bigr).

      $

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *