Объемный пятиугольник название: МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

alexxlab

Содержание

МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Многогранники (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).

Призма
  • Призма — многогранник, у которого две грани — равные многоугольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
  • Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная призма; пятиугольник — пятиугольная призма (пентапризма) и т. д.
  • Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (если нет – наклонная).
  • Правильна призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  • Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого.

Формулы для призмы:

Объем призмы: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V — объем призмы, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.

Свойства параллелепипеда:

  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы.
  • Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  • Параллелепипед имеет четыре диагонали.
  • Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  • Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Типы параллелепипеда

  • Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
  • Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
  • Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
  • Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
  • Куб
    — параллелепипед, грани которого являются квадратами. Все грани куба равны.

Формулы для параллелепипеда:

Объем параллелепипеда: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V — объем параллелепипеда, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c =  So∙ c

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2·(Sa+Sb+Sc)  или  S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)
Диагональ: d =√(a2+b2+c2)
Где: V — объем прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, с – высота, So  — площадь основания, Sa,Sb,Sc — площади соответствующих сторон. 

Формулы для куба:

Объем куба: V = a3
Площадь поверхности куба: S = 6·a

2
Диагональ: d = a√3
Где: V — объем куба, a — длина грани куба.

Пирамида
  • Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
  • По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
  • Вершина пирамиды – общая точка для всех треугольников.
  • Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
  • Правильная пирамида – пирамида, у которой основание — правильный многоугольник, высота опускается в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.
  • Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
  • Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
  • Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Формулы для правильной пирамиды:

Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (So · h)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S

бок = ½ · Pо· a
Где: V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, Sбок — площадь боковой поверхности, Pо — периметр основания правильной пирамиды, h — высота пирамиды. a — апофема правильной пирамиды.

Формулы для правильной треугольной пирамиды:

Объем правильной треугольной пирамиды: V =  h·a2 / (4/√3) 
Где: a — сторона правильного треугольника — основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды

Формулы для правильной четырехугольной пирамиды:

Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a2
Где: a — сторона квадрата — основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.

Формулы для тетраэдра:

Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a3
Где: V — объем тетраэдра, a — длина ребра тетраэдра.

Усеченная пирамида
  • Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и сечением (сечение параллельно основанию пирамиды и делит ее на две части).
  • Основание пирамиды и сечение —
    два основания     усеченной прамиды.
  • Высота усеченной пирамиды — расстояние между основаниями усеченной пирамиды.
  • Правильная усеченная пирамида — пирамида, которая получена из правильной пирамиды. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Формулы для усеченной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид.
Объем правильной усеченной пирамиды:

V = 1/3 · h · (Sосн1 + Sосн2 + √(Sосн1Sосн2))
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
Sбок = ½ (Pосн1 + Pосн2) · a
Где: Sосн1, Sосн2  — площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды, Pосн1, Pосн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.

 

Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие / Хабр

Введение. Постановка вопроса.

В школьной программе, к сожалению, сферическую геометрию и геометрию Лобачевского не изучают. Тем временем, их изучение совместно с Евклидовой геометрией, позволяет глубже понять происходящее с объектами. Например, понять связь правильных многогранников с разбиениями сферы, разбиениями плоскости Евклида и разбиениями плоскости Лобачевского.


Знания геометрии пространств постоянной кривизны помогает подниматься над трёхмерием и выявлять многогранники в пространствах размерности 4 и выше. Вопросы нахождения многогранников, нахождения разбиений пространств постоянной кривизны, вывода формулы двугранного угла правильного многогранника в n-мерном пространстве — так тесно переплетены, что выносить всё это в название статьи оказалось проблематично. Пусть в центре внимания будут, всем понятные, правильные многогранники, хотя они не только результат всех выводов, но и, одновременно, инструмент для постижения пространств высших размерностей и равномерно искривлённых пространств.

Для тех кто не знает (забыл) сообщаю (напоминаю), что в привычном нам трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять правильных многогранников:

1. Тетраэдр: 2. Куб: 3. Октаэдр: 4. Додекаэдр: 5. Икосаэдр:





В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все вершины равны между собой, все рёбра равны между собой, все грани равны между собой и грани являются правильными многоугольниками.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Вершины равны между собой означает, что количество рёбер и количество граней подходящих к каждой вершине одинаковое и подходят они под одинаковыми углами, в каждой вершине.

Оказывается, правильные многогранники удобно обозначать их символом Шлефли {p1, p2}, характеризующим их комбинаторное строение. Который означает, что p1 угольники, сошлись по p2 штук в вершине. Т.е. по определению p1, p2 — целые числа, большие либо равные 3. Для тех кто не знаком с понятием Символ Шлефли написал отдельную статью с картинками Символ Шлефли. Часть 2.6

В такой записи наши многогранники получат обозначения:
1. Тетраэдр {3, 3},
2. Куб {4, 3},
3. Октаэдр {3, 4},
4. Додекаэдр {5, 3},
5. Икосаэдр {3, 5}
Например, {4, 3} — куб имеет 4 угольные грани, в каждой вершине сходится по 3 таких грани.
У октаэдра {3, 4} наоборот, грани 3 угольные, сходятся по 4 штуки в вершине.
Таким образом символ Шлефли полностью определяет комбинаторное строение многогранника.

Почему правильных многогранников всего 5? Может быть их больше?

Чтобы сполна дать ответ на этот вопрос, нужно сначала получить интуитивное представление о геометрии на сфере и на плоскости Лобачевского. Тем у кого такого представления ещё нет постараюсь дать необходимые объяснения.

Сфера

1. Что такое точка на сфере? Думаю, что всем интуитивно понятно. Мысленно не сложно представить точку на сфере.

2. Что такое отрезок на сфере? Берём две точки и соединяем их кратчайшим расстоянием на сфере, получится дуга, если смотреть на сферу со стороны.

3. Если продолжить этот отрезок в обе стороны, то он замкнётся и получится окружность. При этом плоскость окружности содержит центр сферы, это следует из того, что две исходные точки мы соединили кратчайшим, а не произвольным, расстоянием. Это со стороны она выглядит, как окружность, а в терминах сферической геометрии это прямая, так как была получена из отрезка, продолжением до бесконечности в обе стороны.

4. И, наконец, что такое треугольник на сфере? Берём три точки на сфере и соединяем их отрезками.

По аналогии с треугольником можно нарисовать произвольный многоугольник на сфере. Для нас принципиально важно свойство сферического треугольника, заключающееся в том, что сумма углов у такого треугольника больше 180 градусов, к которым мы привыкли в Евклидовом треугольнике. Более того, сумма углов у двух различных сферических треугольников различна. Чем больше треугольник, тем БОЛЬШЕ у него сумма углов.

Соответственно, появляется 4-й признак равенства треугольников на сфере — по трём углам: два сферических треугольника равны между собой, если у них соответствующие углы равны.

Для простоты саму сферу проще не рисовать, тогда треугольник будет выглядеть немного раздутым:

Сферу ещё называют пространством постоянной положительной кривизны. Кривизна пространства как раз и приводит к тому, что кратчайшим расстоянием является дуга, а не привычный нам прямолинейный отрезок. Отрезок как бы искривляется.

Лобачевский

Теперь, когда мы познакомились с геометрией на сфере, понять геометрию на гиперболической плоскости, открытую великим русским учёным Николаем Ивановичем Лобачевским, будет тоже не сложно, так как тут всё происходит аналогично сфере, только «наизнанку», «наоборот». Если дуги на сфере мы проводили окружностями, с центром внутри сферы, то теперь дуги надо проводить окружностями с центром за пределами сферы.

Приступим. Плоскость Лобачевского будем представлять в интерпретации Пуанкаре II (Жюль Анри́ Пуанкаре́, великий французский учёный), эту интерпретацию геометрии Лобачевского ещё называют диском Пуанкаре.

1. Точка в плоскости Лобачевского. Точка — она и в Африке точка.

2. Отрезок на плоскости Лобачевского. Соединяем две точки линией по кратчайшему расстоянию в смысле плоскости Лобачевского.

Кратчайшее расстояние строится следующим образом:

Надо провести окружность ортогональную диску Пуанкаре, через заданные две точки (Z и V на рисунке). Центр этой окружности будет находиться всегда за пределами диска. Дуга соединяющая исходные две точки будет кратчайшим расстоянием в смысле плоскости Лобачевского.

3. Убрав вспомогательные дуги, получим прямую E1 — h2 в плоскости Лобачевского.

Точки E1, h2 «лежат» на бесконечности плоскости Лобачевского, вообще край диска Пуанкаре — это всё бесконечно удалённые точки плоскости Лобачевского.

4. И наконец, что такое треугольник в плоскости Лобачевского? Берём три точки и соединяем их отрезками.

По аналогии с треугольником, можно нарисовать произвольный многоугольник на плоскости Лобачевского. Для нас принципиально важно свойство гиперболического треугольника, заключающееся в том, что сумма углов у такого треугольника всегда меньше 180 градусов, к которым мы привыкли в Евклидовом треугольнике. Более того, сумма углов у двух различных гиперболических треугольников различна. Чем больше треугольник по площади, тем МЕНЬШЕ у него сумма углов.

Соответственно, тут тоже имеет место 4-й признак равенства гиперболических треугольников — по трём углам: два гиперболических треугольника равны между собой, если у них соответствующие углы равны.

Для простоты сам диск Пуанкаре иногда можно не рисовать, тогда треугольник будет выглядеть немного «усохшим», «сдутым»:

Плоскость Лобачевского (и вообще пространство Лобачевского любой размерности) ещё называют пространством постоянной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ кривизны. Кривизна пространства как раз и приводит к тому, что кратчайшим расстоянием является дуга, а не привычный нам прямолинейный отрезок. Отрезок как бы искривляется.

Правильные разбиения двумерной Сферы и правильные трёхмерные многогранники

Всё сказанное про сферу и плоскость Лобачевского относится к двумерию, т.е. поверхность сферы — двумерна. Какое это имеет отношению к трёхмерию, указанному в заголовке статьи? Оказывается, каждому трёхмерному правильному Евклидову многограннику взаимно однозначно соответствует своё разбиение двумерной сферы. Лучше всего это видно на рисунке:

Чтобы из правильного многогранника получить разбиение сферы, нужно описать вокруг многогранника сферу. Вершины многогранника окажутся на поверхности сферы, соединив эти точки отрезками на сфере (дугами), получим разбиение двумерной сферы на правильные сферические многоугольники. Для примера сделана видео демонстрация как икосаэдр соответствует разбиению сферы на сферические треугольники и обратно, как разбиение сферы на сферические треугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, соответствует икосаэдру.

Чтобы по разбиению сферы построить многогранник, соответствующие дугам вершины разбиения нужно соединить обычными, прямолинейными, Евклидовыми отрезками.

Соответственно символ Шлефли икосаэдра {3, 5} — трёхугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, задаёт не только структуру этого многогранника, но и структуру разбиения двумерной сферы. Аналогично и с другими многогранниками, их символы Шлефли задают и структуру соответствующих разбиений. Более того, разбиения плоскости Евклида и плоскости Лобачевского на правильные многоугольники, тоже можно задавать символом Шлефли. Например, {4, 4} — четырёхугольники, сходящиеся по четыре — это всем привычная нам тетрадь в клеточку, т. е. это разбиение плоскости Евклида на квадраты. А есть ли другие разбиения плоскости Евклида? Увидим дальше.

Построение разбиений двумерной сферы, плоскости Евклида и плоскости Лобачевского

Для построения разбиений двумерных пространств постоянной кривизны (таково общее название этих трёх пространств) нам потребуется элементарная школьная геометрия и знание того, что сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов (больше Пи), что сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 градусов (меньше Пи) и что такое символ Шлефли. Обо всём об этом уже сказано выше.

Итак, возьмём произвольный символ Шлефли {p1, p2}, он задаёт разбиение одного из трёх пространств постоянной кривизны (для плоскости это верно, для пространств высших размерностей дело обстоит сложнее, но ничто нам не мешает исследовать все комбинации символа).

Рассмотрим правильный p1 угольник, проведём отрезки, соединяющие его центр и вершины. Получим p1 штук равнобедренных треугольника (на рисунке показан только один такой треугольник). Сумму углов каждого из этих треугольников обозначим за t и выразим t через пи и коэффициент лямда.

Тогда если лямда = 1, то треугольник Евклидов, т.е. находится в Евклидовой плоскости, если лямда в интервале (1, 3), то это значит, что сумма углов больше пи и значит этот треугольник сферический (не трудно представить, что при увеличении сферического треугольника в пределе получается окружность с тремя точками на ней, в каждой точке угол треугольника получается равным пи, а в сумме 3*пи. Это объясняет верхнюю границу интервала = 3). Если же лямда в интервале (0, 1), то треугольник гиперболический, так как сумма углов у него меньше пи (т.е. меньше 180 градусов). Коротко это можно записать так:

Не трудно посчитать, что:

С другой стороны, для сходимости в вершине p2 штук (т.е. целого числа) таких же многоугольников нужно, чтобы

Приравнивая выражения для 2*бетта, найденные из условия сходимости и из многоугольника:

Получили уравнение которое показывает какое из трёх пространств разбивает фигура заданная своим символом Шлефли {p1, p2}. Для решения этого уравнения надо вспомнить, так же, что p1, p2 — целые числа, большие либо равные 3. Это, так сказать, следует из их физического смысла, так как это p1 угольники (не меньше 3 углов), сходящиеся по p2 штук в вершине (тоже не меньше 3, иначе это не вершина получится).

Решение этого уравнения заключается в переборе всех возможных значений для p1, p2 больших либо равных 3 и вычислении значения лямда. Если оно получится равным 1, то {p1, p2} разбивает плоскость Евклида, если больше 1 но меньше 3, то это разбиение Сферы, если от 0 до 1, то это разбиение плоскости Лобачевского. Все эти вычисления удобно свести в таблицу.

Откуда видно, что:
1. Сфере соответствует всего 5 решений, когда лямда больше 1 и меньше 3, они выделены зелёным цветом в таблице. Это: {3, 3} — тетраэдр, {3, 4} — октаэдр, {3, 5} — икосаэдр, {4, 3} — куб, {5, 3} — додекаэдр. Их картинки были представлены в начале статьи.
2. Разбиениям Евклидовой плоскости соответствует всего три решения, когда лямда = 1, они выделены синим цветом в таблице. Вот как выглядят эти разбиения.



3. И наконец, все остальные комбинации {p1, p2} соответствуют разбиениям плоскости Лобачевского, соответственно таких разбиений бесконечное (счётное) количество. Осталось только проиллюстрировать некоторые из них, для примера.

{3, 7}

{4, 5}

{4, 6}

{4, 7}

{5, 4}

{5, 5}

{5, 6}

{5, 7}

{6, 4}

Итоги

Таким образом, правильных многогранников всего 5, они соответствуют пяти разбиениям двумерной сферы, разбиений плоскости Евклида всего 3, и разбиений плоскости Лобачевского счётное количество.
Какое приложение этих знаний?

Есть люди, которые напрямую интересуются разбиениями сферы: dxdy.ru/topic62800.html,
Есть статьи на Хабре (вот), где также рассматриваются интерпретации геометрии Лобачевского. Данная статья, возможно поможет кому-то лучше понять и познакомиться с геометрией Лобачевского.

Знание многогранников так же помогает ответить на вопрос: сколько у футбольного мяча правильных шестиугольников и сколько пятиугольников. Зная, что футбольный мяч — это усечённый икосаэдр, сразу можно дать ответ на этот вопрос: пятиугольников столько, сколько вершин у икосаэдра, шестиугольников столько, сколько граней у икосаэдра, значит, пятиугольников 12, шестиугольников 20.

Да, хотелось бы ещё рассказать про комбинаторную формулу вычисления количества вершин, рёбер и граней у этих пяти правильных многогранников, но это уже в следующий раз. И без того как-то сложновато получилось, хотя я рассчитывал на школьный уровень знаний читателей.

Так же в следующей статье при наличии интереса читателей планирую показать, как обобщается данный подход на пространства высших размерностей.

Лично для меня знание разбиений позволяет понять структуру этих пространств, особенно это актуально в размерностях выше 3.

Если вам мало трёхмерного пространства, вам понятна эта публикация и хочется забраться повыше, по размерности, то «переходите на следующий уровень» 🙂
Ссылки:
Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2.5 (вспомогательная)
Символ Шлефли. Часть 2.6

Пятиугольная призма. Определение, формулы объема и площади поверхности, примеры

В геометрии пятиугольная призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя пятиугольными основаниями и пятью прямоугольными гранями. Итак, пятиугольная призма имеет всего 7 граней, 15 ребер и 10 вершин, из которых 2 грани имеют пятиугольную форму. Мы можем найти объем и площадь поверхности пятиугольной призмы, как и любой другой трехмерной формы. Давайте узнаем все о пятиугольной призме подробно в этой статье.

1. Что такое пятиугольная призма?
2. Свойства пятиугольной призмы
3. Типы пятиугольных призм
4. Формулы пятиугольной призмы
5. Сеть пятиугольной призмы
6. Часто задаваемые вопросы о Pentagonal Prism

Что такое пятиугольная призма?

Пятиугольная призма представляет собой трехмерное тело, имеющее два пятиугольных основания — нижнее и верхнее. Все остальные стороны пятиугольной призмы имеют форму прямоугольника. Форму пятиугольной призмы легко понять, нарисовав пятиугольник на листе бумаги прямыми линиями. Затем представьте, что он вытягивается из листа бумаги. Сформированная таким образом трехмерная форма будет пятиугольной призмой!

Пятиугольная призма имеет:

  • 7 граней
  • 15 ребер
  • 10 вершин
  • Пентагон снизу и сверху

Примеры пятиугольной призмы

Вот несколько реальных примеров пятиугольной призмы. Посмотрите на рисунки, приведенные ниже, и осмотритесь вокруг, чтобы найти больше примеров пятиугольной призмы и составить свой собственный список.

  • Штаб-квартира Министерства обороны США
  • Амбары и ящики
  • Декоративные элементы

Свойства пятиугольной призмы

Пятиугольная призма обладает различными свойствами, уникальными для этой объемной формы. Ниже перечислены некоторые свойства пятиугольной призмы:

  • Пятиугольная призма имеет 15 ребер, 7 граней и 10 вершин.
  • Основание пятиугольной призмы имеет форму пятиугольника.
  • Стороны пятиугольной призмы имеют форму прямоугольника.
  • Пятиугольная призма представляет собой тип семигранника, представляющего собой многогранник с семью плоскими гранями.
  • Пятиугольную призму также можно назвать пятигранной многоугольной призмой.
  • Пятиугольная призма в поперечном сечении представляет собой пятиугольник.

Типы пятиугольных призм

Пятиугольные призмы можно разделить на следующие типы:

  • Правильные пятиугольные призмы
  • Правые пятиугольные призмы
  • Наклонные пятиугольные призмы

Правильные пятиугольные призмы

I Если все стороны пятиугольной призмы равны по длине, она называется правильной пятиугольной призмой. Обратите внимание на следующие свойства правильной пятиугольной призмы.

  • Все прямоугольные грани правильной пятиугольной призмы конгруэнтны.
  • Когда пятиугольные грани правильной пятиугольной призмы являются основаниями, прямоугольные грани призмы называются боковыми.

Прямая пятиугольная призма

Если пятиугольные грани пятиугольной призмы конгруэнтны и параллельны, а прямоугольные грани перпендикулярны пятиугольным граням, призма называется правильной пятиугольной.

Наклонная пятиугольная призма

Если пятиугольные грани пятиугольной призмы расположены не точно друг над другом, то есть когда прямоугольные грани не перпендикулярны пятиугольным граням, такая призма называется наклонной пятиугольной.

Формулы пятиугольной призмы

Формулы пятиугольной призмы помогают нам очень быстро и легко узнать площадь поверхности и ее объем. Обратите внимание на следующий рисунок, где «а» — длина апофемы призмы, «b» — длина основания, а «h» — высота призмы.

Площадь поверхности пятиугольной призмы

Площадь поверхности пятиугольной призмы определяет площадь каждой грани призмы. Формула площади поверхности пятиугольной призмы:

Площадь поверхности = (5ab + 5bh) квадратных единиц

Объем пятиугольной призмы

Объем пятиугольной призмы определяет ее пропускную способность. Формула объема пятиугольной призмы:

Объем = (5/2 × abh) кубических единиц

Пример: Если длина апофемы пятиугольной призмы равна 5 футам, длина основания «b» составляет 4 фута, а высота «h» составляет 6 футов.

Площадь поверхности пятиугольной призмы: 5ab + 5bh = (5 × 5 × 4) + (5 × 4 × 6) = 100 + 120 = 220 квадратных футов.

Объем пятиугольной призмы: 5/2 × abh = 5/2 × 5 × 4 × 6 = 300 кубических футов.

Сетка пятиугольной призмы

Сеть пятиугольной призмы представляет собой плоское изображение формы. Когда пятиугольная призма открыта, можно увидеть две фигуры: прямоугольник и пятиугольник. Сеть пятиугольной призмы состоит из двух пятиугольников, являющихся основанием фигуры, и прямоугольников, являющихся сторонами или гранями фигуры.

Статьи по теме:

Ознакомьтесь с этими интересными статьями о пятиугольной призме. Нажмите, чтобы узнать больше!

  • Пентагон
  • Пентаграмма
  • Многогранник

 

Примеры пятиугольной призмы

  1. Пример 1: Дженифер упаковывает коробку шоколада в форме пятиугольной призмы. Ей нужна оберточная бумага, чтобы упаковать его. Определите необходимую площадь поверхности оберточной бумаги, если размеры коробки следующие:

    • Длина апофемы, а = 10 дюймов
    • Базовая длина, b = 20 дюймов
    • Высота, h = 15 дюймов

    Решение:

    Чтобы определить площадь поверхности оберточной бумаги, нам нужно определить площадь поверхности коробки. Площадь поверхности коробки равна 5ab + 5bh = (5 × 10 × 20) + (5 × 20 × 15) = 1000 + 1500 = 2500 квадратных дюймов.

    Таким образом, площадь поверхности оберточной бумаги 2500 квадратных дюймов.

  2. Пример 2: Эмили хочет наполнить водой контейнер в форме пятиугольной призмы. Определите вместимость контейнера, чтобы Эмили знала, сколько воды нужно. Размеры контейнера следующие:

    • Длина апофемы, а = 25 футов
    • Базовая длина, b = 17 футов
    • Высота, h = 15 футов

    Решение:

    Чтобы узнать вместимость контейнера, нам нужно найти объем контейнера. Объем пятиугольной призматической емкости равен 5/2 × abh = 5/2 × 25 × 17 × 15 =15,9.37,5 футов 3 .

    Следовательно, вместимость контейнера составляет 15 937,5 футов 3 .

  3. Пример 3: Найдите высоту пятиугольной призмы, если общая площадь поверхности пятиугольной призмы составляет 90 квадратных ярдов, а длина апофемы и длина основания равны 4 ярдам. и 2 ярда. соответственно.

    Решение: Дано: Полная поверхность пятиугольной призмы, TSA = 90 квадратных ярдов, a = 4 ярда и b = 2 ярда +ч) = 90
    ⇒ 10(4+h) = 90 ⇒ 4 + h = 90/10

    Таким образом, h = 9 — 4
    ⇒ h = 5 ярдов

    Следовательно, высота пятиугольной призмы равна 5 ярдам.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по Pentagonal Prism

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о пятиугольной призме

Что такое пятиугольная призма?

Пятиугольная призма представляет собой трехмерное тело, имеющее два пятиугольных основания в нижней и верхней части фигуры. Все остальные стороны пятиугольной призмы имеют форму прямоугольника. Существуют виды пятиугольной призмы — правильная пятиугольная призма и прямоугольная пятиугольная призма. Пятиугольная призма имеет 15 ребер, 7 граней и 10 вершин.

Каковы свойства пятиугольной призмы?

Ниже перечислены некоторые свойства пятиугольной призмы:

  • Основание пятиугольной призмы имеет форму пятиугольника.
  • Стороны пятиугольной призмы имеют форму прямоугольника.
  • Пятиугольная призма представляет собой тип семигранника, представляющего собой многогранник с семью плоскими гранями.
  • Пятиугольную призму также можно назвать пятигранной многоугольной призмой.
  • Пятиугольная призма в поперечном сечении представляет собой пятиугольник.

Как выглядит восьмиугольная призма?

Восьмиугольная призма представляет собой трехмерное тело. Он имеет два противоположных и параллельных восьмиугольных основания и восемь прямоугольных граней.

Что такое призма?

Призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя одинаковыми фигурами, обращенными друг к другу. Эти одинаковые формы называются основаниями, которые могут быть квадратом, треугольником или любым многоугольником. Остальные грани призмы обычно представляют собой параллелограммы и прямоугольники.

Как называется трехмерный пятиугольник?

Трехмерная фигура, включающая пятиугольники, представляет собой пятиугольную призму. Он включает в себя 2 пятиугольных основания и 5 прямоугольных граней.

Какова формула площади поверхности пятиугольной призмы?

Площадь поверхности пятиугольной призмы можно определить по следующей формуле: A = 5ab + 5bh.

Какова формула объема пятиугольной призмы?

Объем пятиугольной призмы можно рассчитать по следующей формуле: V = 5/2 × a × b × h.

Сколько вершин у пятиугольной призмы?

В пятиугольной призме десять вершин в обоих пятиугольных основаниях фигуры. 5 вершин находятся на верхней грани и пять вершин на нижней грани.

Является ли цилиндр призмой?

Призма – это многогранник, имеющий только плоские грани. Но у цилиндра криволинейные поверхности, следовательно, это не призма.

Что такое Сеть пятиугольной призмы?

Сеть пятиугольной призмы состоит из 2 граней пятиугольника, расположенных вверху и внизу фигуры, а также 5 сторон прямоугольника. Верхний и нижний пятиугольники являются основаниями, а прямоугольники — гранями.

Трехмерные фигуры | SkillsYouNeed

На этой странице рассматриваются свойства трехмерных или «твердых» форм.

Двумерная фигура имеет длину и ширину. Трехмерная твердая форма также имеет глубину. Трехмерные формы по своей природе имеют внутреннее и внешнее, разделенные поверхностью. Все физические предметы, к которым можно прикоснуться, трехмерны.

На этой странице рассматриваются как прямолинейные тела, называемые многогранниками, которые основаны на многоугольниках, так и тела с кривыми, такие как шары, цилиндры и конусы.

Многогранники

Многогранники (или многогранники) представляют собой твердые тела с прямыми сторонами. Многогранники основаны на многоугольниках, двумерных плоских формах с прямыми линиями.

Подробнее о работе с полигонами см. на нашей странице Свойства полигонов.

Многогранники определяются как имеющие:

  • Прямые ребра .
  • Плоские стороны называются гранями .
  • Углов, называемых вершинами .

Многогранники также часто определяются количеством ребер, граней и вершин, которые они имеют, а также тем, имеют ли их грани одинаковую форму и размер. Как и многоугольники, многогранники могут быть правильными (на основе правильных многоугольников) или неправильными (на основе неправильных многоугольников). Многогранники также могут быть вогнутыми или выпуклыми.

Одним из самых простых и привычных многогранников является куб. Куб — это правильный многогранник, имеющий шесть квадратных граней, 12 ребер и восемь вершин.

Правильные многогранники (Платоновые тела)

Пять правильных многогранников представляют собой особый класс многогранников, все грани которых идентичны, причем каждая грань является правильным многоугольником. Платоновые тела:

  • Тетраэдр с четырьмя равносторонними треугольными гранями.
  • Куб с шестью квадратными гранями.
  • Октаэдр с восемью равносторонними треугольными гранями.
  • Додекаэдр с двенадцатью пятиугольными гранями.
  • Икосаэдр с двадцатью равносторонними треугольными гранями.
См. рисунок выше для иллюстрации каждого из этих правильных многогранников.

Что такое призма?

Призма — это любой многогранник, имеющий два совпадающих конца и плоские стороны . Если вы разрежете призму в любом месте по ее длине, параллельно ее концу, ее поперечное сечение будет таким же — вы получите две призмы. Стороны призмы параллелограммов — четырехугольников с двумя парами сторон одинаковой длины.

Антипризмы аналогичны обычным призмам тем, что их концы совпадают. Однако стороны антипризмы состоят из треугольников, а не из параллелограммов. Антипризмы могут стать очень сложными.

Что такое пирамида?

Пирамида — это многогранник с многоугольниками в основании , который соединяется с вершиной (верхняя точка) с прямыми сторонами.

Хотя мы склонны думать о пирамидах с квадратным основанием, вроде тех, что строили древние египтяне, на самом деле они могут иметь основание любого многоугольника, правильного или неправильного. Кроме того, пирамида может иметь вершину прямо в центре основания, т.0115 Правая пирамида или может иметь вершину не по центру, если это  Наклонная пирамида .

Более сложные многогранники

Существует еще много типов многогранников: симметричные и асимметричные, вогнутые и выпуклые.

Архимедовы тела, например , состоят как минимум из двух различных правильных многоугольников.

Усеченный куб (как показано на рисунке) представляет собой архимедово тело с 14 гранями. Шесть граней представляют собой правильные восьмиугольники, а остальные восемь — правильные (равносторонние) треугольники. Фигура имеет 36 ребер и 24 вершины (угла).

Трехмерные фигуры с кривыми

Твердые фигуры с изогнутыми или круглыми краями не являются многогранниками. Многогранники могут иметь только прямые стороны. Также см. нашу страницу о двумерных изогнутых формах.

Многие объекты вокруг вас будут иметь по крайней мере несколько кривых. В геометрии наиболее распространенными искривленными телами являются цилиндры, конусы, сферы и торы (множественное число для тора).

Обычные трехмерные формы с кривыми:
Цилиндр Конус
Цилиндр имеет одинаковое поперечное сечение от одного конца до другого. Цилиндры имеют два одинаковых конца либо круга, либо овала. Несмотря на то, что они похожи, цилиндры не являются призмами, поскольку призма имеет (по определению) параллелограмм с плоскими сторонами. Конус имеет круглое или овальное основание и вершину (или вершину). Сторона конуса плавно сужается к вершине. Конус похож на пирамиду, но отличается тем, что конус имеет одну изогнутую сторону и круглое основание.
Сфера Тор
Сфера, имеющая форму шара или шара, представляет собой полностью круглый объект. Каждая точка на поверхности сферы находится на равном расстоянии от центра сферы. Правильный кольцевой тор, имеющий форму кольца, шины или бублика, образован вращением меньшего круга вокруг большего круга. Существуют и более сложные формы торов.

Площадь поверхности

На нашей странице, посвященной расчету площади, объясняется, как вычислить площадь двухмерных фигур, и вам необходимо понимать эти основы, чтобы вычислять площадь поверхности трехмерных фигур.

Для трехмерных фигур мы говорим о площади поверхности , чтобы избежать путаницы.

Вы можете использовать свои знания о площади двухмерных фигур для вычисления площади поверхности трехмерной фигуры, поскольку каждая грань или сторона фактически представляет собой двумерную форму.

Таким образом, вы вычисляете площадь каждой грани, а затем складываете их вместе.

Как и в случае с плоскими формами, площадь поверхности твердого тела выражается в квадратных единицах: см 2 , дюймы 2 , м 2 и так далее. Вы можете найти более подробную информацию о единицах измерения на нашей странице Системы измерения .

Примеры расчета площади поверхности

Куб

Площадь поверхности куба равна площади одной грани (длина x ширина), умноженной на 6, поскольку все шесть граней одинаковы.

Поскольку грань куба представляет собой квадрат, вам нужно провести только одно измерение — длина и ширина квадрата по определению одинаковы.

Таким образом, одна грань этого куба равна 10 × 10 см = 100 см 2 . Умножаем на 6 количество граней куба, и получаем, что площадь поверхности этого куба равна 600см 2 .

Другие правильные многогранники

Точно так же можно вычислить площадь поверхности других правильных многогранников (платоновых тел), найдя площадь одной стороны и умножив результат на общее количество сторон — см. диаграмму основных многогранников выше. .

Если площадь одного пятиугольника, составляющего додекаэдр, равна 22см 2 , то умножьте это на общее количество сторон (12), чтобы получить ответ 264см 2 .

Пирамида

Чтобы вычислить площадь поверхности стандартной пирамиды с четырьмя равными треугольными сторонами и квадратным основанием:

Сначала определите площадь основания (квадрата) длина × ширина.

Далее определите площадь одной стороны (треугольника). Измерьте ширину вдоль основания, а затем высоту треугольника (также известную как наклонная длина) от центральной точки основания до вершины.

Есть два способа вычислить площадь поверхности четырех треугольников:

  • Разделите ответ на 2, чтобы получить площадь поверхности одного треугольника, а затем умножьте на 4, чтобы получить площадь поверхности всех четырех сторон, или

  • Умножьте ответ на 2.

Наконец, сложите площадь основания и сторон вместе, чтобы найти общую площадь поверхности пирамиды.

Для расчета площади поверхности других типов пирамид, сложите площадь основания (известную как площадь основания) и площадь сторон (площадь боковых сторон). Возможно, вам придется измерить стороны по отдельности.

Диаграммы сетей

Геометрическая сеть представляет собой двухмерный «шаблон» для трехмерного объекта. Сети могут быть полезны при расчете площади поверхности трехмерного объекта. На диаграмме ниже вы можете увидеть, как строятся базовые пирамиды, если пирамида «развернута», у вас остается сеть.

Для получения дополнительной информации о схемах сети см. нашу страницу 3D-формы и сети .

Призма

Для расчета площади поверхности призмы :

Призмы имеют два одинаковых конца и плоские стороны в виде параллелограмма.

Вычислите площадь одного конца и умножьте на 2.

Для правильной призмы (у которой все стороны одинаковы) вычислите площадь одной из сторон и умножьте на общее количество сторон.

Для призм неправильной формы (с разными сторонами) рассчитайте площадь каждой стороны.

Сложите два ответа вместе (концы + стороны), чтобы найти общую площадь поверхности призмы.

Цилиндр

Пример:
Радиус = 5 см
Высота = 10 см

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра , полезно подумать о составных частях формы. Представьте себе банку сладкой кукурузы — у нее есть верх и низ, оба из которых представляют собой круги. Если вы отрежете сторону по длине и сгладите ее, у вас получится прямоугольник. Следовательно, вам нужно найти площадь двух кругов и прямоугольника.

Сначала определите площадь одного из кругов.

Площадь круга равна π (пи) × радиус 2 .

При радиусе 5 см площадь одного из кругов равна 3,14 × 5 2 = 78,5 см 2 .

Умножьте ответ на 2, так как кругов два 157см 2

Площадь стороны цилиндра равна периметру круга × высоте цилиндра.

Периметр равен π x 2 × радиус. В нашем примере 3,14 × 2 × 5 = 31,4·9.0003

Измерьте высоту цилиндра. В данном примере высота составляет 10 см. Площадь стороны 31,4 × 10 = 314см 2 .

Общая площадь поверхности может быть найдена путем суммирования площади кругов и стороны:

157 + 314 = 471 см 2

Пример:
Радиус = 5 см
Длина наклона

Конус

При расчете площади поверхности конуса необходимо использовать длину «наклона», а также радиус основания.

Однако вычислить его относительно просто:

Площадь круга в основании конуса составляет π (пи) × радиус 2 .

В этом примере расчет равен 3,14 × 5 2 = 3,14 × 25 = 78,5 см 2

Площадь стороны, наклонной части, можно найти по следующей формуле:

π (пи) × радиус × длина наклона.

В нашем примере расчет равен 3,14 × 5 × 10 = 157 см 2 .

Наконец, добавьте площадь основания к площади стороны, чтобы получить общую площадь поверхности конуса.

78,5 + 157 = 235,5 см 2

Теннисный мяч:
Диаметр = 2,6 дюйма

Сфера

4 × π × радиус 2 .

Для сферы часто проще измерить диаметр — расстояние поперек сферы. Затем вы можете найти радиус, который составляет половину диаметра.

Диаметр стандартного теннисного мяча составляет 2,6 дюйма. Таким образом, радиус составляет 1,3 дюйма. Для формулы нам нужен радиус в квадрате. 1,3 × 1,3 = 1,69

Таким образом, площадь поверхности теннисного мяча равна:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 дюйма 2 .

Пример:
R (Большой радиус) = 20 см
r (Малый радиус) = 4 см

Тор

Чтобы вычислить площадь поверхности тора , вам нужно найти два значения радиуса.

Большой или большой радиус (R) измеряется от середины отверстия до середины кольца.

Малый или малый радиус (r) измеряется от середины кольца до внешнего края.

На диаграмме показаны два вида примера тора и способы измерения его радиусов (или радиусов).

Расчет площади поверхности состоит из двух частей (по одной для каждого радиуса). Расчет одинаков для каждой части.

Формула: площадь поверхности = (2πR)(2πr)

Чтобы вычислить площадь поверхности примера тора.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Перемножьте два ответа, чтобы найти общую поверхность площадь примерного тора.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *