Как восьмиугольник вписать в окружность: Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как построить правильный 8 угольник — Лазерная резка металла от "ТМК" Ярославль (Тутаев)

Содержание

Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как построить правильный 8 угольник

В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.

Вам понадобится

– циркуль
– линейка
– карандаш

Инструкция

1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.

2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.

3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.

Верный треугольник – тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности

треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)

2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.

Обратите внимание!
В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет
Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.

Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

Вам понадобится

Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

Инструкция

1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.

2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.

3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.

4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой.

Восьмиугольник готов.

Полезный совет
Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить

Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?

Вам понадобится

– альбомный лист;

– карандаш;
– линейка;
– циркуль;
– ластик.

Инструкция

1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.

2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.

3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.

4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.

5. Проведите прямую линию через две точки – центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.

6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.

Видео по теме

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Куклин Алексей

Работа носит реферативный характер с элементами исследовательской деятельности. В ней рассматриваются различные способы построения правильных n-угольников. В работе содержится подробный ответ на вопрос о том, что всегда ли можно построить n-угольник с помощью циркуля и линейки. К работе прилагается презентация, которую можно найти на данном мини-сайте.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей

Правильные многоугольники Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Перейти к примерам Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Назад Правильные многоугольники

Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одними из них были Архимед и Евклид.

Доказательство существования правильного n-угольника Если n (число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует. Попробуем построить 8ми угольник и доказать это. Доказательство

Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен 360°: количество сторон (в нашем случае 8), соответственно каждый угол будет равен 45°.

3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад

Построение правильного многоугольника по стороне с использованием поворота Правильный многоугольник можно построить, зная его углы. Мы знаем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из этого можно вычислить угол многоугольника, разделив сумму на n. Углы Построение

Угол правильного: 3-угольника равен 60° 4-угольника равен 90° 5-угольника равен 108° 6-угольника равен 120° 8-угольника равен 135° 9-угольника равен 140° 10-угольника равен 144° 12-угольника равен 150° Градусная мера углов правильных треугольников Назад

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство, где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса

Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.

3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника

Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника

Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.

Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.

4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Построение десятиугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Разделим радиус окружности пополам и из получившейся на нем точки проведем окружность проходящую через точку О.

Построение десятиугольника 4. Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точки в которой большая окружность касается своего радиуса. 5. Из точки соприкосновения большой окружности и её радиуса проведем окружность так, что она будет соприкасаться с маленькой.

Построение десятиугольника 6. Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности построенные в прошлый раз и так будем проводить до тех пор пока соседние окружности не соприкоснутся. 7. Соединим точки и получим десятиугольник.

Построение пятиугольника Для построения правильного пятиугольника нужно во время построения правильного десятиугольника соединить поочередно не все точки, а через одну.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника. Соединим точки пересечения окружностей.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей. 5. Проведем 2 отрезка как указано на рисунке.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника. 7. Достроим до пятиугольника.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методами Коваржика, Биона

Как начертить правильный 8 угольник. Как построить правильный восьмиугольник

Куклин Алексей

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей

Назад Правильные многоугольники

3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Приблизительное построение правильного пятиугольника методами Коваржика, Биона

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Некоторые математические задачи нерешаемы, и это не так уж плохо

Постройте выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.

Вероятно, то, что я даю такие задания, многое говорит обо мне, как об учителе. Я наблюдаю за тем, как студенты пытаются выстроить прямые углы последовательно. Когда у них это не получается, они пытаются перемежать прямые углы. Снова потерпев неудачу, они вставляют их в многоугольник случайным образом. Скрежет, издаваемый их мозгами во время мыслительных усилий — музыка для ушей учителя.

Потом у них возникают подозрения и они начинают задавать вопросы. «Вы сказали о прямых углах. Может, на самом деле вы имели в виду три угла?», «Вы точно имели в виду выпуклый многоугольник?», «Четыре прямых угла, по сути, образуют прямоугольник. Как мы можем получить ещё четыре стороны в восьмиугольнике?» Я внимательно слушаю, киваю, подтверждая их догадки.

Наконец, кто-то задаёт вопрос, который никто не осмеливался задать, вопрос, которого я ждал: «Слушайте, а это вообще возможно?»

Этот вопрос обладает мощью, способной менять образ мышления в математике. Те, кто думал узко о конкретных условиях, теперь должны думать более широко о том, как соответствуют друг другу эти условия. Те, кто работает внутри системы, должны сделать шаг назад и изучить саму систему. На протяжении всей истории математики этот вопрос задавался множество раз, им озадачивались те, кто решал задачи квадратуры круга для обхождения города Кёнигсберга. И этот вопрос позволяет нам сформулировать, что же такое математика и как мы её понимаем.

Например, поиск восьмиугольника с определёнными свойствами сильно отличается от задачи демонстрации, что такого восьмиугольника существовать не может. Экспериментируя с разными восьмиугольниками, мы ведь можем и наткнуться на такой, где есть четыре прямых угла.

Это не пример. На самом деле у этого восьмиугольника нет четырёх прямых углов.

Но удача не играет никакой роли в доказательстве того, что подобный восьмиугольник не может существовать. Для него требуется глубокое знание, не только многоугольников, но и самой математики. Чтобы учесть невозможность, нам нужно понять, что простое допущение о существовании объекта не доказывает его существование. Математические определения, свойства и теоремы живут в условиях давления, вызванного их взаимосвязанностью. Пытаясь представить восьмиугольник с четырьмя прямыми углами, мы находимся внутри этих взаимосвязанных правил.

Но чтобы осознать, что восьмиугольник невозможен, нам нужно отступить на шаг назад и взглянуть на картину в целом. Какие математические и геометрические принципы могут быть нарушены восьмиугольником с четырьмя прямыми углами? Здесь хорошо будет начать с теоремы о сумме углов многоугольника.

Сумма внутренних углов n-стороннего многоугольника определяется по формуле:

S = (n – 2) × 180º

Так получилось, потому что каждый n-сторонний многоугольник можно разрезать на (n − 2) треугольников, сумма внутренних углов каждого из которых равна 180º.

В случае восьмиугольника это означает, что сумма его внутренних углов равна (8 – 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Тогда если четыре из его углов прямые, то есть каждый равен 90º, то это составляет 4 × 90º = 360º от общей суммы углов. Значит, на оставшиеся четыре угла восьмиугольника остаётся 1080º – 360º = 720º.

Это означает, что среднее для четырёх оставшихся углов должно быть равно:

Но внутренние углы выпуклого многоугольника должны быть меньше 180º, то есть это невозможно. Выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами не может существовать.

Доказательство невозможности таким способом требует сделать шаг назад и посмотреть, как различные математические правила, например, формула суммы углов многоугольника и определение выпуклого многоугольника, существуют во взаимном давлении. И поскольку доказательства невозможности полагаются на более широкое рассуждение над множеством правил, часто существует несколько способов построения такого доказательства.

Давайте вернёмся к нашему предыдущему замечанию о том, что четыре прямых угла составляют прямоугольник.

Внешние углы многоугольника.

Если бы восьмиугольник имел четыре прямых угла, то обойдя только эти углы, мы бы совершили полный круг, как будто мы полностью обошли вокруг прямоугольника. Эта мысль приводит нас к правилу, дающему ещё одно доказательство невозможности. Известно, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360º. Поскольку внешний угол прямого угла также является прямым углом, наши четыре прямых угла составят все 360º от суммы внешних углов восьмиугольника. То есть остальным четырём углам не остаётся ничего, и мы снова установили, что такой восьмиугольник невозможен.

Доказательство того, что что-то невозможно — мощное математическое событие. Оно сдвигает нашу точку зрения, мы превращаемся из подчиняющихся правилам в контролирующих правила. А чтобы контролировать правила, нам нужно сначала их понять. Мы должны не только знать, как применять их, но и ситуации, в которых они неприменимы. А также находить ситуации, в которых правила могут конфликтовать друг с другом. В процессе исследования восьмиугольника мы выявили взаимосвязь многоугольников, выпуклости, прямых углов и сумм углов. И это подчёркивает, что S = (n – 2) × 180º — не просто формула: это одно из условий в мире конфликтующих условий.

Доказательства невозможности могут помочь нам лучше понимать все области математики. В школе уроки по теории вероятностей часто начинаются с подбрасывания множества воображаемых монеток. Я предлагаю ученикам создать жульническую монету, имеющую склонность к выпадению орла или решки, обладающую следующим свойством: при подбрасывании монетки дважды результаты двух подбрасываний с большей вероятностью будут разными, чем одинаковыми. Другими словами, вы с большей вероятностью выбросите орла и решку, чем орла и орла или решку и решку.

После экспериментов и мыслительных неудач ученики приходят к интересной гипотезе: разные результаты никогда не имеют бОльшую вероятность, чем одинаковые. Алгебра выявляет это и указывает на лежащую в основе этого явления симметрию.

Допустим, монетка смещена в сторону выпадания орла. Мы назовём вероятность выпадания орла , где . Тот факт, что , гарантирует, что орёл более вероятен, чем решка, имеющая вероятность , поскольку сумма двух вероятностей должна быть равна 1.

Если мы подбросим монету дважды, то вероятность получения двух орлов или двух решек будет равна

Здесь мы складываем вероятность получения двух орлов (левая часть) с вероятностью получения двух решек (правая часть). При помощи алгебры мы можем упростить вероятность получения одинакового результата при обоих бросках:

.
Поскольку , мы знаем, что $, а это означает, что с большей вероятностью результаты бросков будут одинаковыми. На самом деле, мы видим, что даже если (монета не жульническая), вероятность одинаковых результатов равна , из-за чего вероятность разных результатов бросков тоже равна . Тот же результат никогда не будет менее вероятным, чем разные.

Как и в случае задачи с многоугольником, мы видим работу конкурирующих математических давлений: изменение вероятности получения одной стороны монеты изменяет вероятность получения другой, и эта взаимосвязанность управляет пространством возможностей результатов двух бросков. Мы выявили это давление, пытаясь выполнить невозможное.

Таким давлениям можно подвергнуть любую область математики. Попробуйте найти шесть последовательных целых чисел, сумма которых равна 342, и благодаря своей настойчивости вы придёте к более глубокому пониманию чётности. (Тот факт, что последовательные целые числа попеременно становятся чётными и нечётными, влияет на то, какими могут быть их суммы.) Нахождение кубического многочлена с целочисленными коэффициентами, имеющего три невещественных корня, научит вас важности сопряжённых комплексных чисел — пар комплексных чисел, произведение и сумма которых всегда вещественны. А если вы попытаетесь вписать в окружность непрямоугольный ромб, то обнаружите важное свойство циклических четырёхугольников — противоположные углы четырёхугольника, вершины которого лежат на окружности, должны иметь сумму 180 градусов.

Столкновение с невозможным позволяет нам исследовать границы наших математических миров. Невозможное само по себе является своего рода обобщением, поэтому естественно будет продолжить обобщение: восьмиугольник не может иметь четырёх прямых углов, но как насчёт десятиугольника? Как насчёт выпуклого многоугольника с n > 4 сторонами? Подобные вопросы упираются в границы наших математических миров и углубляют их понимание.

Если мы будем продавливать границы дальше, то невозможное может даже вдохновить к созданию новых математических миров. Чтобы доказать невозможность получения квадратуры круга (этой задаче уже не менее двух тысяч лет), необходима современная теория трансцендентных чисел, которые не могут являться корнями целочисленных многочленов. Для решения задачи о семи кёнигсбергских мостах Эйлер превратил острова и мосты в вершины и рёбра, дав жизнь обширным областям теории графов и теории сетей, а также множеству их сфер применения. Получение квадратного корня от −1 привело к созданию совершенно новой системы арифметики. А логик Курт Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно.

Поэтому когда в следующий раз вы столкнётесь с математической задачей, спросите себя: «Возможно ли это?» Столкновение с невозможностью может дать вам более глубокое понимание того, что возможно. При этом вы даже сможете создать новые области математики.

Упражнения

1. Найти площадь треугольника с длинами сторон 46, 85 и 38.

2. Пусть . Найти такие целые , и , при которых .

3. Найти полный квадрат, в котором все составляющие его цифры принадлежат множеству {2, 3, 7, 8}.

Ответы

Ответ 1 Такой треугольник не существует. Длины его сторон не удовлетворяют теореме неравенства треугольника, гласящей, что сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Это можно показать геометрически: возьмём отрезок длиной 85 и на его концах построим окружности радиусами 38 и 46. Эти окружности не пересекутся, из-за чего невозможно найти третью вершину треугольника.
Любопытно будет применить что-нибудь типа формулы Герона для вычисления площади этого не-треугольника. Из этого последуют интересные вопросы!
Ответ 2

Существуют различные способы определения невозможности такого многочлена. Например, эти условия нарушают теорему о рациональных корнях, гласящую, что любые рациональные корни многочлена должны быть соотношением делителя свободного члена (d) и делителя старшего коэффициента (2).

Ответ 3

Любопытный факт о полных квадратах доказывает нам, что эта задача невозможна. В разряде единиц полного квадрата могут быть только цифры 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Это можно показать возведением в квадрат каждой возможной цифры и наблюдением за возможными результатами. Поскольку ни один полный квадрат не может заканчиваться на 2, 3, 7 или 8, не существует полного квадрата, состоящего только из этих цифр.

На правах рекламы

Какими бы не были ваши задачи, всегда не помешают доступные и надёжные серверы. Даже для сложных математических расчётов, максимальная конфигурация — 128 ядер CPU, 512 ГБ RAM, 4000 ГБ NVMe.

Урок геометрии и информатики. Тема урока по учебному плану: Построение правильных многоугольников (1)

Интегрированный урок геометрии и информатики.

Тема урока по учебному плану: Построение правильных многоугольников.

Авторы: учитель МОУ «Большеяниковская СОШ» Урмарского района Гурьева Р.Т., учитель математики и Григорьева А.П., учитель информатики

Ожидаемые результаты: учащиеся должны научиться строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки, с помощью компьютера; уметь применять теоретические знания при решении задач.

Оборудование к уроку: Персональные компьютеры, интерактивная доска, мультимедийный проектор, экран, карточки-задания, маркеры, цветная бумага, циркуль, линейка, электронный учебник «Уроки геометрии Кирилла и Мефодия, 9 класс», магниты, портрет немецкого математика Гаусса.

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания.

III. Актуализация знаний учащихся.

4. Изучение нового материала.

5.Закрепление изученного материала, итоговое тестирование.

VI. Подведение итогов урока

I. Организационный момент (наличие циркулей, линеек, раздать цветные бумаги).

Упр. 1095 (слайд 3, 4)

III. Актуализация знаний учащихся.

2 ученика выполняют задание на маркерной доске:

1.Определение правильного многоугольника.

Есть в школьной геометрии такие темы, при изучении которых встречаешься с «красивым» материалом. К ним можно отнести тему «Правильные многоугольники» (на доске написана тема урока «Построение правильных многоугольников»)

Название «правильных» идет из античных времен. Древнегреческие ученые проявляли большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники, восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня. Правильные многоугольники привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Нас поражает красота, гармония многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа (слайд 10)

Вот для рабочего кабинета настольный календарь 2010 года, имеющий форму додекаэдра. Обратим внимание на то, что гранями многогранников являются правильные многоугольники: правильные треугольники, правильные четырехугольники, а правильные шестиугольники не могут являться гранями многогранников. Это связано с тем, что сумма плоских углов при вершине многогранников меньше 360 градусов.

Знания о правильных многоугольниках применяются в разных профессиях. Например, ювелир вставляет дорогой камень в золотую оправу. Слесарь подбирает ключ для болтика формы правильного многоугольника и т.д. Решенные нами задачи также нас показывают, что без знаний о правильных многоугольниках нам не обойтись. Они встречаются в жизни везде (слайд 11).

Итак, тема «Построение правильных многоугольников», как мы видим, актуальна.

Запишем тему урока «Построение правильных многоугольников» (слайд 12).

4. Изучение нового материала

В математике есть специальные задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки. Что же можно делать с помощью линейки и что с помощью циркуля?

Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки.
С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку; можно отложить отрезок заданной длины (слайд 13).

Выполняя эти несложные операции, мы можем решать разные задачи на построение.

В 7 классе мы с вами изучали ряд простейших построений циркулем и линейкой:

через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам;
построение угла, равного данному.;
построение треугольников по трем заданным элементам и т.д.

Домашним заданием было повторение решений этих задач.

а) через точку на прямой

б) через точку, не лежащую на прямой

в)построение перпендикулярной прямой.

Ученики комментируют решение по слайду 14 — деление отрезка пополам.

Оценить работу ученика, выполнившего построение перпендикулярной прямой через точку, не лежащую на данной прямой (слайд 15).

Интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является практическая задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон, поставленная еще в глубокой древности. Решение этой задачи можно найти в трудах древнегреческих ученых Архимеда, Евклида, Пифагора, математика 17-18 веков Гаусса (слайд 16).

Еще в 5-6 веке до нашей эры Евклидом были решены задачи на построение правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника, пятнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки (слайд 17).

Сегодня мы с вами рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников.

Цель урока: научиться строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и некоторые другие правильные многоугольники:

Построения правильных треугольника, квадрата, шестиугольника несложны. Вспомним построение треугольника по трем равным сторонам (слайд 18, ссылка на презентацию «Построение правильного треугольника»).

Проведем прямую и на ней отложим отрезок АВ. Затем построим две окружности: с центром в точке А и центром в точке В радиуса АВ.

Построение квадрата.

Так как диагонали квадрата взаимно-перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то можно построить так: Оценить ответ 2 ученика.

Мы при построении квадрата воспользовались его свойствами.

Если вспомнить определение квадрата, то можно применить следующий способ.

(Электронный учебник «Геометрия в 9 классе» (Кирилла и Мефодия)- кадр «Построение правильного четырехугольника»).

Для построения правильных многоугольников обычно используется окружность, описанная около многоугольника. Чтобы построить правильный n-угольник, достаточно разделить окружность на n равных дуг, тогда точки деления будут его вершинами (кадр «Построение правильного многоугольника»).

Центральные углы равны градусов.

Треугольники равны по 2 сторонам и углу между ними. Следовательно, отрезки А₁А₂ =А₂А₃=….,

если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным. Итак, при любых натуральных значениях n≥3 существует правильный n-угольник. В некоторых случаях задача о построении правильных n-угольников решается с помощью циркуля и линейки.

Задача 1.

7 кадр «Построение правильного четырехугольника, вписанного в окружность» (ребята выполняют в тетради).

Задача 2. Построить правильный шестиугольник (слайд 210.

8 кадр. Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Ребята выполняют построение в тетради.

Ребята, можно ли построить правильный треугольник с помощью окружности? Да (слайд 22).

Задача 3.Построить правильный пятиугольник (ребята выполняют в тетради, 2 ряд выполняет на цветной бумаге)

Опорная схема на столах

Построение правильного пятиугольника выполните дома, пользуясь опорной схемой.

Посмотрите, как нужно работать.

Пользуясь опорной схемой, дети строят в своих тетрадях правильный пятиугольник (слайды 23, 24).

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n угольник.

Мы уже говорили, что построение n-угольника эквивалентно делению окружности на n равных дуг. Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла. (Электронный учебник «Геометрия в 9 классе» Кирилла и Мефодия — кадр «Построение правильного 2n- угольника»).

Практическая работа на примере восьмиугольника (дети строят в тетради), 25 слайд.

Применяя указанный способ можно с помощью циркуля или линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них.

Например. Построив правильный четырехугольник, можно построить правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2^k угольник, где k>2.

Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, не зная даже вообще возможны ли эти построения.

В решении поставленной проблемы построения правильных многоугольников большой вклад внес немецкий математик Гаусс (1801 г). Он открыл способ построения правильного 17-угольника только с помощью циркуля и линейки и указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника указанными средствами. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом вида (2 в степени 2^k )+1 или а также те, которые получаются из них удвоением числа сторон.

Таким образом, с помощью циркуля и линейки оказалось невозможным построение правильного 7, 9,11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28….- угольников и т.д.

(Материал взят из электронного учебника «Геометрия в 9 классе» Кирилла и Мефодия) .

3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40 … — угольники можно построить. Гаусс описал даже построение правильного 257-угольника только с помощью циркуля и линейки.

7, 9,11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28… – угольники невозможно построить только с помощью циркуля и линейки (слайд 26).

Однако в практических построениях нас никто не ограничивает в выборе математических инструментов. Сейчас вы будете строить правильные многоугольники методом моделирования при отсутствии специальных инструментов, имея компьютер (учитель информатики).

Физкультминутка (слайд 28).

Учитель информатики.

На уроке информатики мы с вами изучали тему «Модель и моделирование». Вспомним основные определения (слайд 29).

Модель – это упрощённое подобие предмета или процесса. Она повторяет какие-то свойства оригинала и заменяет его в некоторых случаях.
Модель — способ замещения реального объекта, используемый для его изучения.

Моделирование – процесс создания модели предмета.

На прошлых уроках мы моделировали объекты в текстовом редакторе, в электронной таблице и в графическом редакторе. Сегодня мы с вами посмотрим, как можно моделировать не объект, а процесс, т.е моделировать функции линейки, циркуля, транспортира по готовым алгоритмам. Построим правильные многоугольники в графической среде.

Учащиеся первого ряда садятся за свои компьютеры (построить правильные четырехугольники и правильные шестиугольники, алгоритмы на листочках лежат около компьютеров). По завершении работы сохраните как «многоугольник» в папке «Мои рисунки» (слайды 30, 31).

В это время 1 ученик за основным компьютером выполняет построение правильного треугольника с объяснением, остальные смотрят на экран.

Учитель информатики. Итак, мы убедились, что моделировать процесс построения правильных многоугольников с помощью графического редактора можно. Нужно лишь сначала написать или продумать план действий.

А как можно нарисовать правильные многоугольники очень быстро? Конечно, с помощью компьютерных программ. Существует множество готовых программ по конструированию, проектированию, моделированию объектов.

Сегодня я хочу вас познакомить одной из таких программ, которая называется «StarCad». (Демонстрация программы: построение пятиугольника с комментарием) (слайд 32).

Учитель математики.

Правильные многоугольники встречаются в природе. Одним из примеров являются

пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый (т.е. составленный, обращаем внимание, без просветов и перекрытий) правильными шестиугольниками.

Ребята, пчелы — удивительные творцы, вы об этом все знаете. Обратите внимание, соты пчел имеют форму правильного шестиугольника. Плоскость прямоугольника покрыта этими правильными шестиугольниками без просветов и наложений (слайды 33, 34).

Сейчас мы с вами попробуем покрыть плоскость построенными вами правильными многоугольниками без просветов и перекрытий.

Учитель информатики.

Алгоритм покрытия плоскости без просветов и перекрытий:

1. Выделяем выбранный многоугольник.

2. Одновременно с нажатием кнопки Ctrl передвигаем многоугольник с помощью мышки, вставляя так, чтобы исходный многоугольник и его копия соприкасались сторонами (слайд 35).

За компьютеры — садится 1 ряд (покрытие плоскости без просветов и наложений правильными четырехугольниками и правильными шестиугольниками, за основной -1 ученик, работает с объяснением, выполняет покрытие плоскости правильными треугольниками.

Учитель математики.

Параллельно проводится лабораторная работа – покрытие плоскости без просветов и наложений правильными пятиугольниками.

Работа в группе из 6 человек.

Задание: вырезать напечатанные правильные пятиугольники и покрыть ими плоскость без просветов и наложений т.е. перекрытий.

3 ученика решают по карточке у доски.

а) вычислить периметр и площадь правильного треугольника со стороной 4 см;

б) вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 3 см;

в) вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 2 см.

Выступление ученика — защита исследовательской работы «Геометрические паркеты из правильных многоугольников». Делается вывод, что плоскость можно покрыть без просветов и перекрытий только правильными треугольниками, четырехугольниками, правильными шестиугольниками.

Ребята, а вы никогда не задумывались над тем, почему пчелы строят свои соты в форме правильных шестиугольников? (слайд 37).

Ответ на этот вопрос нам даст решение этих задач (проверить работу учеников, работавших у доски):

а) вычислить периметр и площадь правильного треугольника со стороной 4 см.

Ответ. S==4; Р=12 см.

б) вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 3 см.

Ответ. Р=12 см.

S=9 кв.см

в) вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 2 см.

Ответ.Р=12 см.

S==6

Вывод. При заданном периметре площадь больше в третьем случае. Во всех случаях воска уходит одинаковое количество, а вместимость больше.

Следовательно, при построении сотых в форме правильных шестиугольников экономится воск.

5.Итоговое тестирование на компьютере (слайд 38).

На компьютере выполняют тесты 9 учеников, выполняется работа в 2 варианта.

1 вариант.

1.Выберите верные утверждения

1.Если все углы многоугольника равны, то он является правильным.

2.Если все стороны многоугольника равны, то он является правильным.

3. Любой выпуклый многоугольник является правильным.

4.Любой правильный многоугольник является выпуклым.

2. Какой правильный многоугольник всегда можно построить с помощью циркуля и линейки, если дан правильный n-угольник?

1. Правильный (n-1) угольник

2. Правильный 2n- угольник

3. Правильный 3n- угольник

4. Правильный (n+1) угольник

3.Какие из перечисленных правильных многоугольников нельзя построить с помощью циркуля и линейки?

1. Правильный семиугольник.

2. Правильный восьмиугольник

3. Правильный шестиугольник

4. Правильный пятиугольник

4.Какие утверждения неверны?

1. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

2. Треугольник является правильным, если все его углы равны.

3. Любой равносторонний треугольник является правильным.

4.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.

5. Найти площадь правильного четырехугольника, если радиус окружности, описанной около этого четырехугольника, равна 3

Ответы:

1. 2

2. 4

3. 18

4. 27

2 вариант.

1. Какой правильный многоугольник всегда можно построить с помощью циркуля и линейки, если дан правильный n-угольник?

1. Правильный (n-1) угольник

2. Правильный 2n- угольник

3. Правильный 3n- угольник

4. Правильный (n+1) угольник

2.Выберите верные утверждения

1.Если все углы многоугольника равны, то он является правильным.

2.Если все стороны многоугольника равны, то он является правильным.

3. Любой выпуклый многоугольник является правильным.

4.Любой правильный многоугольник является выпуклым.

3.Какие утверждения неверны?

1. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

2. Треугольник является правильным, если все его углы равны.

3. Любой равносторонний треугольник является правильным.

4.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.

4.Какие из перечисленных правильных многоугольников нельзя построить с помощью циркуля и линейки?

1. Правильный семиугольник.

2. Правильный восьмиугольник

3. Правильный шестиугольник

4. Правильный пятиугольник

5. Найти площадь правильного четырехугольника, если радиус окружности, описанной около этого четырехугольника, равна 2

Ответы:

1. 2

2. 4

3. 8

4. 12

Проводится блеф-клуб с остальными учениками, раздать листочки.

Верите ли вы, что: Отвечать только да или нет.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.
В любой многоугольник можно вписать окружность.
Если стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.
Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный двенадцатиугольник.
Сумма внешних углов правильного треугольника равна .
Ромб – правильный четырехугольник.
По данному n-угольнику можно ли построить правильный 2 n – угольник.
— сторона правильного треугольника.
Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле , где — периметр многоугольника, а — радиус вписанной окружности.

Ответы.

Да – 1, 3, 5, 6, 8.

Нет -2, 4, 7, 9, 10.

Самооценка.

10 заданий- «5»

8 заданий — «4»

6 зданий — «3»

1-5 заданий – «2» .

6. Итог урока. Обобщение всех полученных результатов, оценить работы учащихся за урок. Использование учителем позитивных оценок (вербальных и невербальных) в виде похвалы, одобрения.

Задание на дом: п. 109, упр. 1090 с объяснением (слайд 39), 1098.

Слайд 40.

Основные свойства правильного многоугольника: углы, диагонали, окружности

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства правильного многоугольника касательно его внутренних углов (в т.ч. их суммы), количества диагоналей, центра описанной и вписанной окружностей. Также рассмотрены формулы для нахождения основных величин (площадь и периметр фигуры, радиусы окружностей).

Примечание: определение правильного многоугольника, его признаки, основные элементы и виды мы рассмотрели в отдельной публикации.

Свойства правильного многоугольника

Свойство 1

Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:

где n – число сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (D_n) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.

Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:

Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:

Свойство 5

Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:

1. Площадь (S):

2. Периметр (P):

3. Радиус описанной окружности (R):

4. Радиус вписанной окружности (r):

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:

Восьмигранник вписанный в окружность

Свойства

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Зная длину стороны правильного многоугольника и их количество можно найти все необходимые параметры. Периметр такого многоугольника равен произведению длины стороны a на общее их количество n. P=an

Формула площади правильного многоугольника, зная стороны, представляет собой произведение количества сторон и квадрата длины стороны, деленное на четыре тангенса угла, полученного делением 180 градусов на то же количество сторон.2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

В правильный многоугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг него. Радиусы внутренней и внешней окружности всецело зависят от длины стороны и их количества. Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника, зная сторону, нужно разделить ее на два тангенса угла, полученного делением 180 градусов на количество сторон. Радиус описанной окружности, в свою очередь, равен стороне, деленной еа два синуса того же угла. r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол правильного многоугольника зависит только от количества сторон и рассчитывается как 180 градусов, деленные на количество сторон, и умноженные на разность количества сторон и двух. α=(n-2) (180°)/n

Программа предназначена для определения радиуса окружности вписанной в правильный восьмиугольник.

Радиус вписанной в правильный восьмиугольник окружности вычисляется по формуле:

где a — сторона правильного восьмиугольника;

Чтобы найти радиус вписанной в пятиугольник окружности, введите значение стороны восьмиугольника a и нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ».

Результатом вычислений будет радиус вписанной в восьмиугольник окружности .

Исходные данные и результат вычислений можно скопировать в буфер обмена.

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Добавление фигур

Вы можете добавлять фигуры, например прямоугольники, круги и стрелки, в свои документы, сообщения электронной почты, слайд-шоу и электронные таблицы. Чтобы добавить фигуру, на вкладке Вставка нажмите кнопку Фигуры, выберите фигуру, а затем щелкните в нужном месте и перетащите указатель, чтобы нарисовать ее.

После вставки одной или нескольких фигур можно добавить к ним текст, маркеры или нумерацию, а также изменить заливку и контур или применить другие эффекты, доступные на вкладке Формат.

Совет: На диаграмму можно добавлять отдельные фигуры, а также на Графический элемент SmartArt настраивать диаграмму или графический элемент.

Добавление фигуры в Excel, Outlook, Word или PowerPoint

На вкладке Вставка нажмите кнопку Фигуры.
Выберите фигуру, щелкните в любом месте рабочей области, а затем перетащите указатель, чтобы нарисовать фигуру нужного размера.

Чтобы получить квадрат или круг (или ограничить размеры других фигур), удерживайте при перетаскивании клавишу SHIFT.

Перед дальнейшими действиями следует открыть или создать отчет. Для этого на вкладке Отчет нажмите кнопку Последние, чтобы открыть существующий отчет, или выберите команду Другие отчеты, чтобы в диалоговом окне Отчеты выбрать доступный отчет или создать новый.

В открытом отчете на вкладке Конструктор нажмите кнопку Фигуры.
Выберите фигуру, щелкните в любом месте рабочей области, а затем перетащите указатель, чтобы нарисовать фигуру нужного размера.

Чтобы получить квадрат или круг (или ограничить размеры других фигур), удерживайте при перетаскивании клавишу SHIFT.

Вставьте или щелкните фигуру и введите текст.

Щелкните фигуру правой кнопкой мыши и выберите команду Добавить текст или Изменить текст либо просто начните печатать.

Примечание: Добавленный текст станет частью фигуры — при вращении или отражении фигуры текст будет вращаться и отражаться соответствующим образом.
Чтобы изменить форматирование текста и выровнять его, на вкладке Главная выберите необходимые параметры в группах Шрифт, Абзац и Выравнивание, в зависимости от используемой программы и желаемого форматирования. (В Project возможности форматирования текста ограничены.)

Примечание: Эти команды недоступны в Project.

Щелкните фигуру, которую вы хотите изменить.

Чтобы изменить несколько фигур, щелкните их по очереди, удерживая нажатой клавишу CTRL.
На вкладке Форматв группе Вставка фигур нажмите кнопку Изменить фигуру, выберите команду Изменить фигуру и щелкните новую фигуру.

Если требуется несколько раз добавить в документ одну фигуру, это можно быстро сделать с помощью команды «Зафиксировать режим рисования».

Примечание: Вместо того чтобы добавлять отдельные фигуры для создания рисунка, можно выбрать графический элемент SmartArt. В Графический элемент SmartArt расположение фигур и размер шрифта обновляются автоматически по мере добавления или удаления фигур и редактирования текста.

На вкладке Вставка нажмите кнопку Фигуры.
Щелкните правой кнопкой мыши фигуру, которую вы хотите добавить, и выберите команду Зафиксировать режим рисования.
Щелкните любое место рабочей области, а затем перетащите указатель, чтобы нарисовать фигуру.
Повторяйте шаг 3, чтобы добавить необходимое число фигур.

Совет: Чтобы получить квадрат или круг (или ограничить размеры других фигур), удерживайте при перетаскивании клавишу SHIFT.
После добавления всех фигур нажмите клавишу ESC, чтобы отключить режим рисования.

Примечание: Эта возможность недоступна в Project.

Выберите текст в фигуре, к которому нужно добавить маркеры или нумерацию.
На ленте на вкладке «Главная» в группе «Абзац» выберите пункт «Маркеры»или «Нуминг».

Чтобы отобразить различные стили маркеров и форматы нумерации, щелкните стрелку рядом с кнопкой Маркеры или Нумерация.

Экспресс-стили позволяют применить стиль к фигуре одним щелчком. Вы найдете их в коллекции экспресс-стилей. Если вы наведете указатель мыши на эскиз экспресс-стиля, вы увидите, как он повлияет на фигуру.

Щелкните фигуру, которую вы хотите изменить.
На вкладке «Формат» в группе «Стили фигур» выберите нужный быстрый стиль.

Чтобы увидеть другие быстрые стили, нажмите кнопку «Дополнительные «.

Щелкните фигуру, которую вы хотите удалить, а затем нажмите клавишу DELETE. Чтобы удалить несколько фигур, щелкните их по очереди, удерживая нажатой клавишу CTRL, а затем нажмите клавишу DELETE.

См. также

Рисование и удаление линий, соединителей или фигур с полилиниями

Поворот надписи, фигуры, объекта WordArt или рисунка

Изменение цветов текстового поля или фигуры

Выбор графического элемента SmartArt

Создание диаграммы от начала до конца

Добавление картинок в файл

Рисование заметок на странице

Добавив фигуру в документ, вы можете изменить ее, добавив соединитеальные линии, изменив стиль, добавив зеркальное отражение, изменив цвет и применив различные другие эффекты, такие как тени, свечение и трехцветные.

Добавление фигуры

На вкладке Вставка нажмите кнопку Фигуры.
Выберите фигуру, щелкните в любом месте рабочей области, а затем перетащите указатель, чтобы нарисовать фигуру нужного размера.

Щелкните фигуру правой кнопкой мыши и выберите «Добавить текст»или«Изменить текст» либо просто щелкните внутри фигуры и начните вводить текст.

Примечание: Добавленный текст станет частью фигуры: при вращении или отражении фигуры текст будет вращаться и отражаться соответствующим образом.
Для форматирования и выравнивания текста перейдите на вкладку «Главная» и выберите доступные параметры форматирования. Например, вы можете изменить цвет шрифта, стили, размеры, изменить выравнивание или отступ, изменить ориентацию текста и на несколько имен.

Щелкните фигуру, которую вы хотите изменить.

Чтобы изменить несколько фигур, щелкните их.
На вкладке «Формат фигуры» щелкните , найдите пункт «Изменитьфигуру» и выберите новое.

Выберите фигуру, которая вы хотите скопировать.
Нажмите клавишу OPTION и перетащите фигуру в нужное место. Отпустите кнопку мыши, и будет создана копия фигуры. Фигуру можно перетащить и отпустить необходимое количество раз.

Примечание: Добавление списков в Excel 2016 для Mac.

Выберите текст в фигуре, к которому нужно добавить маркеры или нумерацию.
На вкладке «Главная» щелкните стрелку рядом с кнопкой «Маркеры» или «Номер».
Нажмите ввод каждый раз, когда вам нужен новый маркер или номер, или дважды нажмите ввод, чтобы закончить список.

Щелкните фигуру, которую вы хотите изменить.
На вкладке «Формат фигуры» в коллекции стилей выберите нужный стиль.

Чтобы увидеть другие стили, щелкните под галереей стилей.

Щелкните фигуру, которую вы хотите изменить.
На вкладке «Формат фигуры» нажмите кнопку (значок«Заливка фигуры»).
Выполните одно из указанных ниже действий.
1. Чтобы изменить цвет заливки, в разделе Цвета темы или Стандартные цвета выберите нужный цвет.
2. Чтобы удалить цвет выделенного элемента диаграммы, выберите вариант Нет заливки.
3. Чтобы использовать цвет заливки, которого нет в разделе Цвета темы или Стандартные цвета, щелкните Другие цвета заливки. В диалоговом окне Цвета выберите нужный цвет и нажмите кнопку ОК.
4. Чтобы использовать рисунок для заливки фигуры, выберите элемент Рисунок. В диалоговом окне Вставка рисунка щелкните нужное изображение и нажмите кнопку Вставить.
5. Чтобы применить эффект градиента к выбранному цвету заливки, нажмите Градиент, а затем выберите подходящий стиль градиента.
  
  Чтобы настроить дополнительные стили градиентов, щелкните Другие градиенты, а затем в области Формат области диаграммы в разделе Заливка выберите нужные параметры градиента.
6. Чтобы использовать текстуру для заливки, щелкните Текстура, а затем выберите подходящую текстуру.

Щелкните фигуру и перейдите на вкладку «Формат фигуры».
В группе «Стили фигур» щелкните «Эффектыфигуры», найдите категорию эффектов и выберите нужный эффект.

На вкладке Формат фигуры щелкните Область форматирования.
В области «Формат фигуры» щелкните вкладку «Заливка & линии» и выберите «Заливка» или «Линия».
Перетащите ползунок прозрачности, чтобы достичь нужного эффекта.

Щелкните фигуру, которую вы хотите удалить, а затем нажмите клавишу DELETE. Чтобы удалить несколько фигур, щелкните их, нажав command, а затем нажмите кнопку DELETE.

См. также

Изменение размера объекта

Обрезка рисунка

Перемещение, поворот и группирование рисунка, текстового поля и других объектов

Выравнивание объектов в Word для Mac

Группирование и разгруппирование объектов

В книги и презентации можно добавлять фигуры, например квадраты, круги и стрелки. (Word в Интернете не поддерживает фигуры.) Чтобы добавить фигуру, на вкладке «Вставка» ленты выберите «Фигуры», а затем выберите фигуру.

После добавления фигуры ее можно переместить и размер. добавлять текст, маркеры или номера; вы также можете изменить цвет заливки или контур.

На вкладке «Вставка» выберите «Фигуры».
Выберите фигуру из коллекции.

Фигура стандартного размера сразу же вставляется в середину видимой страницы.
Выберите один из периметра фигуры и перетащите его внутрь или наружу, чтобы изменить размер фигуры.

Чтобы получить квадрат или круг (или ограничить размеры других фигур), удерживайте при перетаскивании клавишу SHIFT.
Чтобы переместить фигуру, наберем на нее указатель мыши, пока он не превратится в четырехнамерную стрелку. Затем щелкните и перетащите фигуру в нужное место.

Если в документе выбрана фигура, на ленте появляется вкладка «Фигура». В ней есть кнопки для таких кнопок, как добавление цвета заливки или контура либо выбор предопределяемого стиля фигуры.

Примечание: Если упрощенная лента отключена, на шаге она будет называться #4 «Формат». Дополнительные сведения о упрощенной ленте см. в новом внешний вид Office.

Вставьте фигуру или щелкните существующую фигуру и введите текст, как по ссылке:

Щелкните фигуру правой кнопкой мыши и выберите «Изменить текст».

В центре фигуры появится мигающий курсор.
Введите текст, который вы хотите добавить к фигуре.
Чтобы отформатирование и выравнивание текста, на вкладке «Главная» выберите параметры в группах «Шрифт», «Абзац» или «Выравнивание».

Экспресс-стили позволяют применить стиль к фигуре одним щелчком. Стили находятся в коллекции фигур.

Выделите фигуру, которую нужно изменить.
На вкладке «Фигура» (или «Формат», если у вас отключена упрощенная лента) откройте коллекции «Стили фигур» и выберите нужный быстрый стиль.

Выберите стрелку вниз в конце коллекции, чтобы открыть ее и увидеть полный список параметров:

Вы можете наостановить указатель мыши на параметр в коллекции, чтобы увидеть его краткое описание.

Выделите фигуру, которую нужно изменить.
На вкладке «Фигура» (или «Формат», если у вас отключена упрощенная лента) выберите стрелку вниз рядом с вкладкой «Заливка», чтобы открыть галерею цветов заливки.
Выберите цвет.
Чтобы сделать фигуру прозрачной, выберите «Нет заливки» в нижней части коллекции цветов.

Выделите фигуру, которую нужно изменить.
На вкладке «Фигура» (или «Формат», если вы все еще используете классическую ленту) выберите стрелку вниз рядом с вкладкой «Контур», чтобы открыть коллекции цветов контура.
Выберите цвет.
В нижней части коллекции также доступны параметрытолщины (толщина) контура и его сплошной, пунктирной или пунктирной линии. На указателе на пунктиры«Толченые» и «Штрихи» вы увидите всплывающее меню параметров.

Щелкните фигуру, которую вы хотите удалить, и нажмите клавишу DELETE. Чтобы удалить несколько фигур, выберите их, нажимая при этом CTRL, а затем нажмите кнопку DELETE.

Периметр восьмиугольника внутри круга

Привет, Кортни.

Я покажу вам, как решить эту проблему для обычного семиугольника (7-стороннего), и вы можете использовать этот метод для решения своей задачи восьмиугольника таким же образом.

Радиус этой окружности равен R. Это расстояние AO и AB, так как они оба являются радиусами. Это делает треугольник AOB равнобедренным.

В виде равнобедренного треугольника A = B. Пусть точка C выбрана путем проведения биссектрисы угла AOB. Итак, AOC = BOC.Но это означает, что BCO = ACO, потому что два треугольника, у которых есть два совпадающих угла, имеют все совпадающие углы. Это означает, что ACO похож на BCO. Поскольку у них есть общая сторона, они фактически совпадают. Это означает, что BC = AC, и это очень важный факт, который мы будем использовать.

Что такое угол AOC?

Конечно, он вдвое меньше AOB, но насколько он велик?

Обратите внимание, что мы произвольно выбрали — один из семи конгруэнтных треугольников , которые мы могли бы нарисовать, соединяя центр фигуры с одной из сторон семиугольника.Итак, если мы сложим все углы всех семи треугольников в центре, мы получим полный круг: 360 °.

Поскольку они равны, каждый угол одинаков: 360 ° / 7 = 51,43 °. Таким образом, угол AOC вдвое меньше: 25,72 °.

Заметьте также, что поскольку A-C-B коллинеарна (лежит на прямой), то угол BCO + ACO = 180 °. Но поскольку эти углы одинаковы из-за совпадающих треугольников, то ACO должен быть 90 °.

Итак, ACO — это прямоугольный треугольник, и вы знаете длину гипотенузы (R) и величину углов, поэтому вы можете рассчитать длину любой стороны.В данном случае нам нужна длина AC, поэтому мы используем функцию sin .

sin 25,72 ° = AC / AO
AC = AO sin 25,72 °

Поскольку AB = 2 AC, как мы показали ранее, AB = 2 AO sin 25,72 °.

А поскольку таких треугольников семь, равных, периметр семиугольника равен 7 AB.

и поэтому периметр = 7 x 2 AO sin 25,72 ° = 14 R sin 25,72 °.

Для радиуса R = 12 см периметр будет:

14 (12 см) sin 25.72 ° = 72,9 см.

Теперь вы попробуете это с восьмиугольником. Его периметр здесь должен быть больше, чем семиугольник на 12 см.
Стивен Ла Рок.

восьмиугольников

3 марта 2003 г. восьмиугольника в телескопе, составляющего . Восьмиугольники могут появляться во вторичных кольцах клетки, ребрах жесткости труб, вторичных держателях, коромыслах
и ряде других мест телескопов. В любительском телескопе восьмиугольники появляются чаще, чем любая другая форма за пределами кругов и квадратов.Но в отличие от этих более простых фигур,
не сразу очевидно, как расположить правильные восьмиугольники. Ширина ключевая . Самый простой способ создать восьмиугольник — сделать квадрат шириной желаемого восьмиугольника, а затем обрезать углы
на нужную величину. Итак, первое, что нам нужно знать, это какой ширины должен быть восьмиугольник.
Иногда мы можем сделать ширину любой, какой захотим, но часто восьмиугольник должен быть вписан в или
описан вокруг круга заданного диаметра (например, круговая тень вторичного зеркала или дуга
, очерченная тремя азимутальные опорные площадки на земле).Для круга, вписанного в восьмиугольник, это легко — круг
с диаметром, равным ширине восьмиугольника (или квадрата), точно поместится внутри многоугольника. Таким образом, для круга
, вписанного в правильный многоугольник,
W = D
, где W = ширина восьмиугольника или квадрата, а D — диаметр вписанного круга.

Просто немного сложнее разместить восьмиугольник внутри круга с вершинами (точками), только касающимися окружности
. Для окружности, описывающей восьмиугольник,
D = 1.0824 W
или наоборот:
W = 0,9239 D

Если вы знаете ширину восьмиугольника, длина каждой стороны будет
L = 0,4142 W
, где L — длина стороны.

Разметка восьмиугольника . Обычный простой способ — сначала разложить точный квадрат той же ширины, что и желаемый восьмиугольник,
, затем сделать отметки 0,2929W и 0,7071W с одной стороны (сторона восьмиугольника занимает 0,4142 ширины квадрата
, оставляя 0,2929 Вт с каждой стороны; 0.7071 равно 0,2929 + 0,4142). Нарисуйте две линии, перпендикулярные этой оси, проходящие через отметки
от одной стороны квадрата к другой. Теперь поверните квадрат на 90 градусов и нарисуйте две одинаковые линии
под прямым углом к первой паре. Пересечения между этими линиями разметки и сторонами квадрата составляют
восьми точек восьмиугольника. Теперь просто соедините точки, и у вас есть восьмиугольник. Изображение восьмиугольника внутри эллипса . В ньютоновском режиме вторичное зеркало расположено под углом 45 градусов к оптической оси
телескопа и принимает форму эллипса 45 градусов (то есть форму круга, если смотреть под углом 45
градусов, а не квадрата. на).Может быть желательно установить восьмиугольный держатель зеркала в пределах эллиптических контуров вторичной обмотки
. Чтобы уместить восьмиугольник внутри эллипса, нам просто нужно знать ширину прямоугольника, внутри которого должен уместиться восьмиугольник
, и соответствующим образом скорректировать линии макета. В эллипсе под 45 градусов большая ось в 1,4142 раза больше малой оси
(то есть малая ось умножена на квадратный корень 2). Ширина вписанного восьмиугольника будет в 0,9239 раз меньше малой оси
эллипса.Длина восьмиугольника будет умножена на квадрат корня 2, или в 1,3066 раз меньше малой оси
(или, если хотите, в 0,9239 раз больше большой оси). Разметьте прямоугольник с этими размерами . Затем нарисуйте линии макета, как раньше — сделайте отметки на 0,2929 и
0,7071 ширины прямоугольника и 0,2929 и 0,7071 длины прямоугольника. Проведите пары из
линий макета через эти метки и соедините точки, как раньше. У вас будет искаженный восьмиугольник, который точно
помещается в эллипс.Вы можете рисовать восьмиугольники так, чтобы они соответствовали эллипсу с любым углом наклона, если вы знаете большую и малую оси
эллипса.

Начертите восьмиугольник в круге


		По кругу (O) постройте правильный восьмиугольник внутри круга.
		Сделайте диаметр (AB) через окружность O.
		Постройте второй диаметр, перпендикулярный диаметру. AB.
		Отметьте точки пересечения второго диаметра перпендикуляра. окружность окружности O как точки C и G. Соедините боковые конечности диаметров (G с A, A с C, C к E, E к G), чтобы построить квадрат внутри круга O.
		Разделите пополам каждую сторону квадрата (GA, AC, CE и EG) и продлите биссектрисы по окружности круга.
		Отметьте точки, где биссектрисы пересекают окружность. окружности O как точки H, B, D, F. Должны быть отмечены четыре точки (H, B, D, F) вдоль окружность и четыре точки, где углы вписанного квадрата лежат на окружности круга (A, C, E, G).Эти точки отмечают вершины восьми углов вписанного восьмиугольника.
		Чтобы установить восемь сторон восьмиугольника, соедините последовательные отмеченные точки прямыми линиями (от A до B, от B до C, от C до D и т. д.).
		Удаление всех вспомогательных линий и маркеров показывает регулярный восьмиугольник с неопределенным периметром и неопределенными длинами сторон.

~ Поучительная анимация, в которой вышеупомянутая конструкция визуально Разъяснено ~

Геометрические свойства восьмиугольника | calcresource

Теоретические основы

Содержание

Определения

Восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами и восемью вершинами.Восьмиугольник, как и любой другой многоугольник, может быть выпуклым или вогнутым, как показано на следующем рисунке. Ни один из внутренних углов выпуклого восьмиугольника не превышает 180 °. Напротив, вогнутый восьмиугольник (или многоугольник) имеет один или несколько внутренних углов больше 180 °. Восьмиугольник называется правильным, если его стороны равны и внутренние углы равны . В этом отношении недостаточно иметь равные только стороны, поскольку восьмиугольник может быть вогнутым с равными сторонами. Как показано на рисунке ниже, можно определить множество возможных вогнутых восьмиугольников с равными сторонами, но с разными внутренними углами.Эти восьмиугольники называются равносторонними. Любой восьмиугольник, который не является правильным, называется неправильным.

Сумма внутренних углов любого восьмиугольника, выпуклого или вогнутого, всегда равна 1080 °. Это можно легко сделать, выяснив, сколько треугольников можно уместить внутри восьмиугольника. Для этого мы должны соединить все вершины прямыми линиями, избегая пересечений. Таким образом, внутри восьмиугольника можно определить ровно шесть треугольников. Вершины могут быть соединены по-разному (в результате получаются разные треугольники), однако количество треугольников остается неизменным шестью.Поскольку сумма внутренних углов в одном треугольнике равна 180 °, можно сделать вывод, что 6 треугольников, расположенных бок о бок, должны иметь размер до 6×180 = 1080 °.

Диагонали восьмиугольника разделяют его внутреннюю часть на 6 треугольников

Свойства правильных восьмиугольников

Симметрия

Правильный восьмиугольник имеет восемь осей симметрии. Половина из них проходит через диагонально противоположные вершины, а остальные — через середины противоположных ребер.

Оси симметрии правильного восьмиугольника

Внутренний угол и центральный угол

Правильные восьмиугольники по определению имеют равные внутренние углы.\ circ

Два оставшихся угла внутреннего треугольника, образованного двумя последовательными диагоналями и стороной восьмиугольника, равны 67,5 °. Это действительно \ varphi / 2, потому что диагонали восьмиугольника также являются осями симметрии, таким образом, внутренний угол \ varphi делится пополам (который равен 135 °).

Следует отметить, что внутренний и центральный углы являются дополнительными, так как их сумма составляет 180 °:

\ varphi + \ theta = 135 ° + 45 ° = 180 °

Правильный восьмиугольник состоит из восьми одинаковых равнобедренных частей. треугольники, имеющие общую вершину, центр многоугольника.

Окружность и вписанная окружность

Как любой правильный многоугольник, можно нарисовать окружность, проходящую через все восемь вершин восьмиугольника. Это окружность с описанием окружности или с описанной окружностью. Центр этого круга — центр восьмиугольника. Точно так же диагонали восьмиугольника — это диаметры описанной окружности. Радиус описанной окружности R_c обычно называют радиусом описанной окружности .

Можно также нарисовать еще один круг, который проходит через середины ребер восьмиугольника.Этот круг называется вписанным кругом или вписанным кругом . Радиус вписанной окружности R_i обычно называют inradius . Вписанная окружность касается всех восьми ребер, а ее центр совпадает с центром описанной окружности.

Описанные и вписанные окружности правильного восьмиугольника

Радиусы описанной окружности R_c и вписанной окружности R_i связаны с длиной ребер \ alpha. Эти отношения могут быть обнаружены с помощью прямоугольного треугольника со сторонами: радиус описанной окружности, внутренний радиус и половина края восьмиугольника, как показано на следующем рисунке.Используя базовую тригонометрию, мы можем найти:

\ begin {split} R_c & = \ frac {a} {2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = \ frac {a} {2 \ tan {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = R_c \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {split}

, где \ theta — центральный угол, а \ alpha — длина стороны. Оказывается, эти выражения верны для любого правильного многоугольника, а не только для восьмиугольника. Конкретные выражения для правильного восьмиугольника можно получить, установив θ = 45 °, значение центрального угла. Это следующие выражения:

\ begin {split} R_c & = \ frac {a} {2 \ sin {22.{\ circ}} = \ sqrt {2} -1

уравнения для радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса правильного восьмиугольника могут быть выражены в следующей альтернативной форме:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}}}

R_i = \ frac {a} {2 \ sqrt {2} -2}

R_c = \ frac {\ sqrt {{2} + \ sqrt {2}}} {2} а

Приблизительные выражения для окружности и внутреннего радиуса правильного восьмиугольника приведены ниже:

R_c = 1.307a

R_i = 1.207a

R_i = 0.924R_c

Площадь и периметр

Общая площадь прямоугольного восьмиугольника быть разделенным на 8 одинаковых равнобедренных треугольников, как показано на рисунке ниже.2

Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника — это просто сумма длин всех ребер: P = N a. Следовательно, для правильного восьмиугольника с 8 гранями:

P = 8a

Ограничивающая рамка

Ограничивающая рамка плоской формы — это наименьший прямоугольник, который полностью охватывает форму. Размеры этого прямоугольника определяются высотой h и шириной w. На следующем рисунке показана ограничивающая рамка правильного восьмиугольника. И высота, и ширина определяются как расстояние между двумя противоположными краями.{\ circ}}} = \ frac {a} {\ sqrt {2} -1}

, что приблизительно равно:

h = w \ приблизительно 2,414 a

Как нарисовать правильный восьмиугольник

Вы можете нарисовать правильный восьмиугольник, учитывая его радиус описанной окружности, используя только линейку и циркуль. Выполните шаги, описанные ниже:

Сначала просто нарисуйте линию (немного больше, чем требуемый диаметр описанной окружности).
На этой линии отметьте две точки: одна — центр многоугольника (точка O), а другая — точка его описанной окружности (точка A).Нарисуйте круг вокруг центральной точки с радиусом R_c, равным радиусу описанной окружности. Это описанная окружность. Отметьте еще одну точку, где описанная окружность пересекается с линией (точка B).
Затем постройте дугу окружности с центром в точке A и радиусом немного больше R_c.
Также дуга окружности с центром в точке B и таким же радиусом с шагом 3. Отметьте две точки, где две дуги пересекаются. Подсказка: протяните вторую дугу как можно дальше от точек пересечения.
Нарисуйте линию, проходящую через пересечения двух дуг с последнего шага (также проходящую через центральную точку O), и отметьте еще две точки, C и D, где эта линия пересекается с описанной окружностью (нарисованной на шаге 2). .
Используя тот же радиус, что и на шаге 4, поместите кончик циркуля в точку C и постройте новую дугу окружности, отметив ее пересечение с описанной окружностью.
Повторите ту же процедуру, на этот раз поместив наконечник в точку D и отметив новую точку пересечения описанной окружностью.
Нарисуйте линию, проходящую через точку пересечения, отмеченную на шаге 6, и центральную точку O. Отметьте две точки, E и F, где эта линия пересекается с описанной окружностью.
Нарисуйте линию, проходящую через точку пересечения, отмеченную на шаге 7, и центральную точку O.Отметьте две точки, G и H, где эта линия пересекается с описанной окружностью.
На данный момент вокруг описанной окружности определены восемь точек: A, B, C, D, E, F, G, H. Это вершины восьмиугольника. Нарисуйте между ними линейные отрезки, и правильный восьмиугольник теперь готов.

На следующем рисунке шаг за шагом показана процедура рисования. Обратите внимание, что открытие компаса остается таким же, начиная с шага 3 и далее. Есть только изменение (увеличение) между шагами 2 и 3.

Рисование правильного восьмиугольника с помощью линейки и циркуля. Обратите внимание, что отверстие компаса изменяется только между шагами 2 и 3.

Примеры

Пример 1

Определите радиус описанной окружности, внутренний радиус и площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны a = 4 дюйма.

Радиус описанной окружности и внутренний радиус в единицах длины стороны a для правильного восьмиугольника были получены в предыдущих разделах. Это:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}}}

R_i = \ frac {a} {2 \ sqrt {2} -2}

Следовательно, мы имеем просто подставить a = 4 ».{\ circ}}}).

2. Правильный восьмиугольник с заданной высотой / шириной

Высота (и ширина) правильного восьмиугольника связаны с длиной стороны a уравнением:

h = \ frac {a} {\ sqrt {2 } -1}

Перестановка:

a = h \ left (\ sqrt {2} -1 \ right)

Затем мы можем вычислить требуемую длину стороны a, если подставим h = 20 »:

a = 20 » \ left (\ sqrt {2} -1 \ right) \ приблизительно8.284 »

(В качестве альтернативы мы могли бы идеально использовать эквивалентное выражение для высоты: h = \ frac {a} {\ tan {22.{\ circ}}} ).

3. Правильный восьмиугольник с заданным радиусом описанной окружности

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника связан с длиной стороны a по формуле:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}} }

Следовательно:

a = R_c \ left (\ sqrt {2- \ sqrt {2}} \ right)

Из последнего уравнения мы можем вычислить требуемую длину стороны a, если мы подставим R_c = 10 » :

a = 10 » \ left (\ sqrt {2- \ sqrt {2}} \ right) \ приблизительно 7,654 »

(В качестве альтернативы мы могли бы идеально использовать эквивалентное выражение для радиуса окружности: R_c = \ гидроразрыв {а} {2 \ sin {22.2

См. Также

Как построить идеальный восьмиугольник

Во время Второй мировой войны мой отец был помощником главного плотника в «Морских пчелах» (строительный батальон) на Сайпане. Однажды его команде было поручено разметить формы восьмиугольной бетонной площадки для водонапорной башни. LT, талантливый молодой инженер-строитель, которым он был, посоветовал моему отцу подождать, пока он вернется с углами и размерами формы, и чтобы команда ничего не делала.Затем он ушел в офис, чтобы использовать свою книгу триггерных таблиц и логарифмическую линейку. Как только он ушел, отец разложил блокнот и заставил людей работать.
Когда LT вернулся, он был в ярости, но затем, когда он измерил форму, он был поражен, обнаружив, что мой отец выложил ее идеально. «Как вы это сделали, шеф?» «О, я не знаю. Просто собрал все вместе. Думаю, повезло».
Нет, ему не просто повезло. Он точно знал, что делал. В начале войны мой отец хотел записаться в армию, но ему не разрешили, потому что он работал на верфи, жизненно важной оборонной промышленности.Поэтому, чтобы поступить в армию, ему пришлось бросить работу на верфи. Пока обрабатывалась его вербовка, он все еще должен был содержать свою семью, поэтому он работал на нескольких работах, в том числе на одной, где он устанавливал дорожные знаки. Делая там знаки остановки, он научился построить идеальный восьмиугольник.
И это работает для восьмиугольника любого размера. Без необходимости рассчитывать какие-либо измерения.

Процедура:

Доказательство:

Конечно, мне нужно было убедиться, что это действительно работает, поэтому я выполнил доказательство.Да, конечно, работает. Спустя десятилетия я снова получил доказательство. Я не буду утверждать, что это математически строго — что с уроком геометрии было более 30 лет назад — но он должен подтвердить метод построения.

Рассмотрим диаграмму ниже, на которой квадрат ABCD используется для построения восьмиугольника:
Из определения правильного многоугольника мы знаем:
Что правильный восьмиугольник будет содержать 8 одинаковых равнобедренных треугольников.
Что внутренний угол каждого треугольника — например, угол FZG — будет составлять одну восьмую полного круга; т.е. 360 ° / 8 = 45 °.
Каждая грань восьмиугольника будет одинаковой длины; например, отрезки EF и FG.
Подход доказательства будет заключаться в демонстрации того, что все три этих факта верны для восьмиугольника, построенного из квадрата ABCD.
Для начала посчитаем длины отрезков линии:
Присвойте длину s стороне квадрата; например, отрезок AB.Поскольку это квадрат, мы знаем, что все четыре стороны имеют одинаковую длину, равную s.
Длина диагоналей (AC и BD) получается из теоремы Пифагора:
s ² + s ² = AC ²
AC = КОРЕНЬ (2 с ²)
AC = s * КОРЕНЬ (2)
Компас установлен на половину длины диагонали, следовательно, на AC / 2 или SQRT (2) * s / 2.
Линейные сегменты, созданные с помощью компаса, имеют длину SQRT (2) * s / 2; например, AE, BG, CF.
Более короткие отрезки линии, которые образуются вокруг каждого угла (например, BE, BF), имеют длину:
с — КОРЕНЬ (2) * с / 2
Грани восьмиугольника, лежащие на квадрате (например, FG), имеют длину:
FG = с — 2 * (с — КОРЕНЬ (2) * с / 2)
FG = с — 2 с + КОРЕНЬ (2) * с
FG = s * (1-2 + КОРЕНЬ (2))
FG = s * (КОРЕНЬ (2) — 1)
Теперь рассмотрим длину граней восьмиугольника, которые лежат поперек углов квадрата и образованы путем обрезания углов (например, EF).Это можно определить, применив теорему Пифагора, оказывается, что мы имеем дело с снова прямоугольные равнобедренные треугольники (например, треугольник BEF), как и треугольник ABC в пункте 2 выше. Таким образом, мы уже знаем, что длина отрезка EF будет BE * SQRT (2). Следовательно:
EF = BE * SQRT (2)
EF = (s — SQRT (2) * s / 2) * SQRT (2) [из пункта 5]
EF = s * SQRT (2) — s
EF = s * SQRT (2) — s
EF = s * (SQRT (2) — 1)
EF = FG [из позиции №6]
Факт № 3, «каждая грань восьмиугольника будет одинаковой длины; например, отрезки EF и FG» было доказано.
Чтобы определить внутренний угол FZG, мы делим его пополам, опуская перпендикуляр ZH. ZH имеет длину s / 2, а FH составляет половину длины FG, s / 2 * (SQRT (2) — 1). Это образует прямоугольный треугольник ZHF с внутренним углом FZH и тригонометрическим свойством:
загар (FZH) = FH / ZH
загар (FZH) = (с / 2 * (КОРЕНЬ (2) — 1)) / (с / 2)
загар (FZH) = КОРЕНЬ (2) — 1
загар (FZH) = 0,414213562373
FZH = арктан (0,414213562373)
ФЖ = 22.5 °
FZG = 2 * FZH
FZG = 2 * 22,5 °
FZG = 45 °
Факт №2, «внутренний угол каждого треугольника — например, угол FZG — будет составлять одну восьмую полного круга, то есть 360 ° / 8 = 45 °» было доказано.
При осмотре мы видим, что восьмиугольник разделен на восемь равнобедренных треугольников. Каждый треугольник имеет одинаковые углы и одинаковую длину сторон. Следовательно, это 8 одинаковых треугольников.
Факт №1, «правильный восьмиугольник будет содержать 8 одинаковых равнобедренных треугольников» было доказано.
Все три факта доказаны. Следовательно, этот щенок представляет собой правильный восьмиугольник.
QED

Ссылки

Морская история моего отца была моим единственным источником для этого метода и основой этой страницы. Но как только я закончил писать, я поискал в Google для , построил восьмиугольник и нашел еще. В некоторых из них используются круги, но я понимаю их как общие методы построения n-угольников, тогда как я считаю, что метод моего отца создает только восьмиугольники:

Обратная связь

Я впервые загрузил эту страницу 22 февраля 2008 года.Четыре месяца спустя я получил это письмо:
Огромное спасибо!
Мне нужно сделать шторку для восьмиугольного окна дома, расположенного по адресу какое-то расстояние, и измерил только плоско-плоский размер. Я понял это было бы легко вывести метод построения. Не так! Ваш метод будет спаси мне день и сделай меня героем в глазах моей жены.
Еще раз спасибо
Рад, что смог помочь.

Вернуться к началу страницы
Вернуться на главную страницу DWise1
Свяжитесь со мной.

Делитесь и наслаждайтесь!

Впервые загружено 22 февраля 2008 г..
Обновлено 08 июля 2011 г.

Калькулятор восьмиугольника | Pi Day

Калькулятор прост в использовании. Просто введите известные значения, и калькулятор быстро выдаст вам нужные результаты.Периметр, площадь, длина диагоналей, а также радиус вписанного круга и описанного круга будут доступны в мгновение ока.

Что такое правильный восьмиугольник?

Правильный восьмиугольник — это геометрическая форма с 8 равными длинами и 8 равными углами. Сумма внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080 градусов, что делает каждый угол равным 135 градусам.

Площадь правильного восьмиугольника:

Правильный восьмиугольник можно представить себе как квадрат с обрезанными или укороченными углами.2 \)

Периметр

Проще всего рассчитать периметр. Это просто сумма длин всех сторон. Следовательно, периметр, отмеченный буквой P, равен 8a.

Предположим, что вы не знаете длину ребра, но знаете его площадь. Периметр определяется по формуле:

\ (P = \ sqrt {\ frac {32A} {\ sqrt {2} +1}} \)

Диагонали

При большом количестве диагоналей задача вычисления длина может показаться устрашающей.Во-первых, есть три разных типа диагоналей; мы назовем их «короткими», «средними» (также известными как высота восьмиугольника) и «длинными».

Формулы для расчета длин на самом деле довольно просты в использовании.

Short = \ (a (\ sqrt {2} + \ sqrt {2}) \)

Medium = \ (a (\ sqrt {2} +1) \)

Long = \ (a (\ sqrt {4} +2 \ sqrt {2}) \)

Cicrumradius и Inradius

Проще говоря, радиус описанной окружности равен половине длины самой длинной диагонали, а inradius — половине высоты восьмиугольника.

Степень вырезания восьмиугольника из дерева | На главную

Уэйд Шадди Обновлено 28 декабря 2018 г.

Восьмиугольники — это восьмиугольные фигуры, которые часто используются ландшафтными дизайнерами, плотниками или плотниками. Они могут быть построены вокруг деревьев для обрамления, рамок для картин или чего-либо, имеющего цилиндрическую или круглую форму. Чтобы сделать восьмиугольник, нужно восемь отдельных кусков дерева, и все они вырезаны точно так же. Сделать это можно обычной торцовочной пилой.

Уголки

Каждый кусок дерева должен быть обрезан до 22.Угол 5 градусов на каждом конце. Если вы используете настольную торцовочную пилу, у нее почти наверняка есть настройка для этого угла. Если вы используете ручной режущий инструмент в сочетании с угловой коробкой, она, вероятно, также будет иметь настройку на угол 22,5 градуса.

Скос досок

Для квадратных досок установите торцовочную пилу влево или вправо и разрежьте все восемь досок, перевернув половину из них вверх дном, чтобы отрезать левый или правый митр. Для досок, которые не являются квадратными, вам нужно будет вырезать половину митров слева и половину справа.Независимо от того, используете ли вы ручной инструмент или настольный инструмент, помните, что углы на концах досок не должны быть параллельны, а должны быть обращены друг к другу.

Длина

Каждая доска должна быть одинаковой длины, чтобы получить хороший восьмиугольник без зазоров. Лучше всего обрезать все восемь досок с одного конца. Рассчитайте необходимую длину, а затем установите упор на торцовочной пиле. Поверните лезвие на другую сторону и снова обрежьте все доски, регулируя длину стопором.Если вы используете ручной инструмент с пилой, тщательно измерьте и отметьте разрезы карандашом перед резкой.

Регулировка

Положите восьмиугольник на ровную поверхность. Скорее всего, его потребуется отрегулировать, так как скорее всего будут митры, которые не будут плотно прилегать друг к другу, ни на коротком, ни на длинном конце углового среза.

Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как построить правильный 8 угольник

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Как начертить правильный 8 угольник. Как построить правильный восьмиугольник

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Некоторые математические задачи нерешаемы, и это не так уж плохо

Упражнения

Ответы

На правах рекламы

Урок геометрии и информатики. Тема урока по учебному плану: Построение правильных многоугольников (1)

Основные свойства правильного многоугольника: углы, диагонали, окружности

Свойства правильного многоугольника

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

Восьмигранник вписанный в окружность

Свойства

Добавление фигур

Добавление фигуры в Excel, Outlook, Word или PowerPoint

См. также

Добавление фигуры

См. также

Периметр восьмиугольника внутри круга

восьмиугольников

Начертите восьмиугольник в круге

Геометрические свойства восьмиугольника | calcresource

Теоретические основы

Содержание

Определения

Свойства правильных восьмиугольников

Симметрия

Внутренний угол и центральный угол

Окружность и вписанная окружность

Площадь и периметр

Ограничивающая рамка

Как нарисовать правильный восьмиугольник

Примеры

Пример 1

2. Правильный восьмиугольник с заданной высотой / шириной

3. Правильный восьмиугольник с заданным радиусом описанной окружности

См. Также

Как построить идеальный восьмиугольник

Процедура:

Доказательство:

Ссылки

Обратная связь

Калькулятор восьмиугольника | Pi Day

Периметр

Степень вырезания восьмиугольника из дерева | На главную

Уголки

Скос досок

Длина

Регулировка

Добавить комментарий Отменить ответ