В правильном шестиугольнике диагонали: углы, площадь и радиусы окружностей; интересные факты

2} $$

Большая диагональ правильного шестиугольника | FIFAFAQ.ru

Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.

– Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

– Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.

– Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

– Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник – это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник – это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 – 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
• меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.circ) :

  Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

  Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

  Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

  (r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
  ormalsize)

  Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

  Периметр правильного шестиугольника

  Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

  (S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>
  ormalsize),
  где (p) − полупериметр шестиугольника.

  Площадь правильного шестиугольника

  Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

  Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

  Правильным шестиугольником называется выпуклый многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и шестью углами.circ)

  Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
  (m = alargefrac >
  ormalsize)

  Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
  (r = m = alargefrac >
  ormalsize)

  Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
  (R = a)

  Периметр правильного шестиугольника
  (P = 6a)

  Площадь правильного шестиугольника
  (S = pr = largefrac >
  ormalsize),
  где (p) − полупериметр шестиугольника.

  Самая известная фигура, у которой больше четырех углов — это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.

  Чем он отличается от неправильного?

  Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

  В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

  В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

  Какие свойства требуется знать при решении задач?

  К тому, что указано выше, следует добавить:

  • диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
  • сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
  • используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.

  Введенные обозначения

  Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

  В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

  Формулы, которые описывают фигуру

  Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

  Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

  Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

  Задачи

  № 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

  Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра — тоже 4 см.

  Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3 ) 2 = 37,68 (см 2 ).

  Осталось сосчитать объем: V = 37, 68 * 4 = 150,72 (см 3 ).

  Ответ. V = 150,72 см 3 .

  № 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

  Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

  Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

  Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

  № 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

  Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

  Правильный многоугольник

  Правильный многоугольник — это многоугольник, все стороны и углы которого равны.

  Вокруг правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.

  Правильный шестиугольник

  Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны и углы которого равны.

  Описанный многоугольник

  Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности , то он называется описанным многоугольником .

  Виды параллельных проекций. Изображение плоских фигур в свободной параллельной проекции. Теорема Польке-Шварца, страница 3

  Для доказательства достаточно достроить трапецию до параллелограмма.

  В свободной параллельной проекции допустимо изображать:

  — окружность любым эллипсом;

  — треугольник любым треугольником;

  — параллелограмм любым параллелограммом;

  — четырехугольник любым четырехугольником с тем же отношением частей диагоналей;

  — трапецию любой трапецией с тем же отношением оснований.

  Приведем несколько примеров построения изображений правильных многоугольников, считая известными свойства каждого многоугольника.

       Пример 1. Построить изображение правильного пятиугольника в свободной параллельной проекции.

       Решение. Пусть A’B’C’D’E’ - правильный пятиугольник (рис. 8, а). Проведем диагонали A’C’ и B’D’ и опишем около него окружность.

  Рис.8,а

  DD’B’C’ ~ DB’M’C’, т.к.

  1.  ÐD’B’C’ - общий,

  2.  ÐB’C’A’ =ÐB’D’C’ - как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.

  Тогда                                                     (**)

  Т.к. A’E’ || B’D’, E’D’ || A’C’, A’E’=E’D’ (из свойств правильного пятиугольника), то A’E’D’M’ - ромб, т.е. M’D’=A’E’-B’C’.

  Обозначим B’C’=a, B’M’=x.

  Из равенства (**) имеем ,  ,  поэтому квадратное уравнение

  l²+l-1=0 имеет корни, из которых один не удовлетворяет условию задачи, тогда, следовательно .

  Отсюда получаем правило изображения правильного пятиугольника:

  Рис.8,б

  Проведем произвольную пару прямых, пересекающихся в точке М (рис. 8, б). На одной прямой отложим от  точки М три произвольных,  но равных отрезка по одну сторону и два таких же — по другую. Получаем точки B и D. Аналогичные построения для другой прямой (в общем случае откладываемые отрезки на второй прямой имеют другую длину) — точки А и С. Затем строим параллелограмм на отрезках BM и AM. Четвертая вершина параллелограмма — точка E.  ABCDE — изображение правильного пятиугольника.

       Пример 2. Построить изображение правильного шестиугольника.

  Решение. Пусть A’B’C’D’E’F’ — правильный шестиугольник (рис. 9, а).

  Рис.9,а

  Опишем около него окружность и проведем отрезки A’D’, B’F’, C’E’. Тогда увидим, что диагональ A’D’ разделилась точками G’, H’, O’ (центр описанной окружности) на 4 равные части, причем B’C’||C’E’||F’E’, A’B’||E’D’, C’D’||A’F’, B’F’||C’E’.               (1)

  Тогда изобразить правильный шестиугольник можно следующим образом (рис. 9, б):

  Рис.9,б произвольный отрезок AD делим на 4 равные части, получаем точки G, O, H. Учитывая условия (1), присущие оригиналу, достраиваем изображение ABCDEF.

  Замечание 1.Существуют и другие способы построения правильного шестиугольника.  Например, зная, что B’C’E’F’ - прямоугольник, изобразим его произвольным параллелограммом BCEF и достроим до шестиугольника, исходя из свойств оригинала A’B’C’D’E’F’, которые сохранятся при параллельном проектировании.

  Выявив некоторые признаки, присущие оригиналу — это могут быть как алгебраические равенства (пример 1), так и геометрические свойства (пример 2) - мы переносим их на изображение. Это относится и к построению изображений многоугольников, вписанных в окружность (или описанных около нее).

   Замечание 2.При построении фигур, вписанных или описанных около окружности, зная, что изображением окружности является эллипс, а взаимно перпендикулярные диаметры окружности перейдут в сопряженные диаметры эллипса, помещают вершины (одну или несколько) в концы сопряженных диаметров и рассматривают расположение многоугольника относительно сопряженных диаметров, а затем переносят эти свойства на изображение.

  §3. Теорема Польке-Шварца.

  Теорема Польке-Шварца. Любой плоский четырехугольник ABCD вместе с его диагоналями (сплошной и пунктирной) может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’, если только не все вершины четырехугольника  лежат на одной прямой.

  Доказательство. Пусть задан произвольный плоский четырехугольник ABCD (рис.10, а). Докажем, что он может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’ (рис.10, б). Выберем на ребрах тетраэдра B’C’ и A’D’ точки K’ и M’ из условий:

  диагоналей прямоугольника с калькулятором

  диагоналей прямоугольника с калькулятором — Math Open Reference

  Попробуй это Перетащите любую вершину прямоугольника ниже. Он останется прямоугольником, и будет рассчитана длина диагонали.

  Прямоугольник имеет две диагонали. Каждый из них отрезок нарисованный между противоположным вершины (углы) прямоугольника. Диагонали обладают следующими свойствами:

  • Две диагонали конгруэнтные (одинаковой длины).На рисунке выше нажмите «показать обе диагонали», затем перетащите оранжевую точку в любую вершину прямоугольника и убедитесь, что это так.
  • Каждая диагональ делит пополам другой. Другими словами, точка, где диагонали пересечь (крест), делит каждую диагональ на две равные части
  • Каждая диагональ делит прямоугольник на две части. конгруэнтные прямоугольные треугольники. Поскольку треугольники конгруэнтны, они имеют одинаковую площадь, и каждый треугольник имеет половину площади прямоугольника
  .

  Длина по диагонали

  На рисунке выше нажмите «Сброс».Как видите, диагональ прямоугольника делит его на две части. прямоугольные треугольники, BCD и DAB. Диагональ прямоугольника — это гипотенуза этих треугольников. Мы можем использовать Теорема Пифагора чтобы найти длину диагонали, если мы знаем ширину и высоту прямоугольника.

  В виде формулы: где:
  w — ширина прямоугольника
  h — высота прямоугольника

  Калькулятор

  Воспользуйтесь калькулятором выше, чтобы вычислить свойства прямоугольника.

  Введите длину двух сторон, и оставшаяся часть будет рассчитана. Например, введите длину двух сторон. Будут найдены площадь, периметр и длина диагонали.

  Что попробовать

  1. На рисунке вверху страницы нажмите «сбросить» и «скрыть детали». Затем перетащите углы, чтобы создать произвольный прямоугольник. Рассчитайте длину диагоналей. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.
  2. Прямоугольник имеет высоту 12 и диагональ 31.Найдите ширину прямоугольника и используйте анимацию или калькулятор выше, чтобы проверить свой ответ.

  Другие полигоны

  Общие

  Типы многоугольника

  Площадь различных типов полигонов

  Периметр различных типов полигонов

  Углы, связанные с многоугольниками

  Именованные полигоны

  (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
  Все права защищены.

  Диагоналей квадрата с калькулятором — Math Open Reference

  Диагонали квадрата с калькулятором — Math Open Reference

  Попробуй это Перетащите любую вершину квадрата ниже.Он останется квадратом, и будет рассчитана длина диагонали.

  У квадрата две диагонали. Каждый из них отрезок нарисованный между противоположным вершины (углы) квадрата. Диагонали обладают следующими свойствами:

  • Две диагонали конгруэнтные (одинаковой длины). На рисунке выше нажмите «показать обе диагонали», затем перетащите оранжевую точку в любую вершину квадрата и убедитесь, что это так.
  • Каждая диагональ делит пополам другой.Другими словами, точка, где диагонали пересечь (крест), делит каждую диагональ на две равные части
  • Каждая диагональ делит квадрат на две части. конгруэнтный равнобедренный прямоугольные треугольники. Поскольку треугольники совпадают, у них одинаковые площадь, и каждый треугольник имеет половину площади квадрата.

  Длина по диагонали

  На рисунке выше нажмите «Сброс». Как видите, диагональ квадрата делит его на две части. прямоугольные треугольники, BCD и DAB.Диагональ квадрата — это гипотенуза этих треугольников. Мы можем использовать Теорема Пифагора чтобы найти длину диагонали, если мы знаем длину стороны квадрата.

  В виде формулы: где s — длина любой стороны

  , что упрощается до:

  Калькулятор

  Используйте калькулятор выше, чтобы рассчитать свойства квадрата.

  Введите любое одно значение, и остальные три будут рассчитаны. Например, введите длину стороны, и будет рассчитана диагональ.

  Точно так же, если вы войдете в область, будет рассчитана длина стороны, необходимая для получения этой области.

  Координатная геометрия

  Если вы знаете координаты из вершины квадрата, вы можете рассчитать все остальные свойства, включая длину диагонали. Подробнее об этом см. Квадрат (Координатная геометрия)

  Что попробовать

  На рисунке вверху страницы нажмите «сбросить» и «скрыть детали». Затем перетащите любой угол, чтобы создать произвольный квадрат.Рассчитайте длину диагоналей. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.

  Другие полигоны

  Общие

  Типы многоугольника

  Площадь различных типов полигонов

  Периметр различных типов полигонов

  Углы, связанные с многоугольниками

  Именованные полигоны

  (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
  Все права защищены.

  определение шестиугольника по The Free Dictionary

  Если наш друг подходит к нам ближе, мы видим, что его линия становится больше; если он уходит от нас, становится меньше: но все равно он выглядит как прямая линия; будь он Треугольником, Квадратом, Пентагоном, Шестиугольником, Кругом, что угодно — прямой линией, которую он смотрит, и ничего больше.

  Представьте себе огромный лист бумаги, на котором прямые линии, треугольники, квадраты, пятиугольники, шестиугольники и другие фигуры, вместо того, чтобы оставаться на своих местах, свободно перемещаются по поверхности или по поверхности, но без возможности подняться над ней. или погружаясь под ним, очень похоже на тени — только жесткие и со светящимися краями — и тогда вы получите довольно правильное представление о моей стране и соотечественниках.

  Далее мы должны предположить, но это не проблема, что после образования шестиугольных призм путем пересечения смежных сфер в том же слое, она может удлинить шестиугольник до любой длины, необходимой для удержания запаса меда; так же, как грубая смиренная пчела добавляет цилиндры воска в круглые рты своих старых коконов.

  Когда у пчел есть место, на котором они могут стоять в надлежащих положениях для работы, — например, на деревянной опоре, помещенной прямо под середину соты, растущей вниз, так что соту приходится располагать над ней. Лицевая сторона слипа — в этом случае пчелы могут заложить фундамент одной стены нового шестиугольника в его строго нужном месте, выступая за пределы других завершенных ячеек.

  «Вместо того, чтобы использовать квадрат или прямоугольник, как это делалось до сих пор, вы предположите, что ваше место заключено в правильный шестиугольник, преимущество этого многоугольника в том, что он предлагает больше углов, чем четырехугольник.В день шестого апреля фургон Дербейфилда встретил множество других фургонов с семьями на вершине груза, построенного по почти неизменному принципу, столь же характерному, вероятно, для сельского рабочего, как шестиугольник для пчелы. Виконт де Шаньи и я были заключены в тюрьму в виде правильного шестиугольника, полностью выровненного с зеркалами. Ожидается, что системы управления документами Hexagon обеспечат передачу данных и документов, которые могут поддерживать отправку документов и обратную связь для документации и тегов.Компания заявила, что Андерссон ушел в отставку, чтобы использовать другие возможности за пределами Hexagon. Blue Hexagon доказал свою способность обнаруживать известные и неизвестные сетевые угрозы при первом столкновении со скоростью, эффективностью и охватом, что устанавливает новый стандарт киберзащиты.Audi AG, a дочерняя компания Volkswagen AG (Xetra: VW) выбрала новую дочернюю компанию Hexagon Composites, Hexagon Purus, для проекта разработки водорода. Управление крупных аэропортов Торонто (GTAA) объявило, что выбрало программный пакет Hexagon от отдела безопасности и инфраструктуры для улучшить управление инцидентами и работой в международном аэропорту Торонто Пирсон, говорится в сообщении компании.

  Если диагональ прямоугольника составляет 17 см и | Район Вопросы и ответы

  • Бесплатные вопросы и ответы
    • • Способности и рассуждения
      • Общие знания
      • Пазлы
      • Интервью
      • Технический
      • Сертификаты
      • Экзамены
      • Должностные роли
      • Верно или неверно
  • Мок-тесты
  • Мок-тесты
  • Способности и рассуждения
  • Общие знания
  • Пазлы
  • Интервью
  • Технический
  • Сертификаты
  • Экзамены

  Количество диагоналей в многоугольнике — концепция

  • Начать бесплатную пробную версию
  • Кто мы Are
  • Бесплатное видео
  • Лучшие учителя
  • Охваченные темы
  • Членство
    • Личный
    • Учитель
    • Школа
  • Обзор тем
    • • Математика
      • Предалгебра
      • Алгебра
      • Геометрия
      • Алгебра 2
      • Тригонометрия
      • Предварительный расчет
      • Исчисление
    • • Наука
      • Биология
      • Химия
      • Физика
    • • Английский
      • Грамматика
      • Письмо
      • Литература
    • • Подготовка к экзаменам
      • АКТ
      • Красная книга АКТ
      • AP US Gov
      • AP История США
      • AP Biology
      • AP Calculus AB
      • Старый SAT
      • Старый PSAT
    • • Колледж
      • Стань лучше Оценка
      • Колледж Приложение
  .

  No related posts.