Угол правильного восьмиугольника: Восьмиугольник — это… Что такое Восьмиугольник?

Содержание

Чему равен внешний угол правильного восьмиугольника?

Если все есть необходимо отдать нуждающимся, например тяжело больным детям или в детдома. Также можно приумножить, вложив средства в ценные бумаги или под процент, но счастливее от этого вложения не станешь. А помочь нуждающимся это всегда на благо, причем еще большее, чем ожидаешь!

Есть масса всевозможных способов. Например, включить музыку под осеннее настроение, закрыть глаза и посидеть так пару минут, отдавшись эмоциям. А потом взять заранее приготовленные лист и ручку (или карандаш, как удобнее) и постараться описать свои эмоции. Есть и иной метод — составляете список из самых «осенних» слов. For example: листопад, сырость, ветер, низкое небо, улетающие птицы, густой туман и т.д. и вплетаете слова в текст, как в венок, чуть разбавляя своими впечатлениями и ощущениями от данных слов. Можно порассуждать на тему воплощения образа осени в строках какого-либо автора. Пушкин, Тютчев, Есенин, Пастернак и многие, многие другие писали об этом времени года. Можно и вовсе описать осень как-нибудь необычно, чтобы только в конце понятно стало, что это о ней, об осени. Например, нарисовать ее девушкой с серыми, как дождливое небо глазами и рыжими волосами и пр.В общем, творите, что хотите. Это вам не тест, который сводит на нет все творческие порывы, так что тут полная свобода!

7 месяцев назад

Да, вам должны оплатить в двойном размере, так как 23 февраля — это официальный праздничный выходной в России.

Если у вас пятидневка, то выход на работу 23 февраля может быть только с вашего согласия.

При этом вы можете выбрать: двойную оплату или отгул.

В русской орфографии существуют омонимичные (похожие) части речи, которые звучат одинаково, а пишутся по-разному. Подчинительный

союз чтобы пишется слитно. Он употребляется в сложноподчиненном предложении в качестве связующего звена между главной и подчинительной частями, например:

Я хотел, чтобы ты сказала мне правду.

Он спросил об этом, чтобы только нарушить неловкое молчание.

Следует отличать союз от местоимения что и частицы бы, которые пишутся раздельно.

Что бы вы хотели на завтрак ? (вопросительное местоимение «что» + частица «бы»).

Что бы вы мне ни говорили о нем, я все равно не поверю.(относительное местоимение «что» и частица «бы»).

Частицу «бы» можно перенести в другое место в предложении или вовсе изъять из предложения. Это служит доказательством раздельного написания местоимения и частицы.

Что вы хотели бы на завтрак ?

Что ни говорили бы вы мне, я все равно не поверю.

Рассказ Льва Толстого про льва и собачку несмотря на небольшой размер весьма трагичен и рождает сильное желание изменить его концовку, сделать ее более счастливой, сказочной. Например можно предложить такое окончание рассказа после слов

Она отказывалась от еды и только жалобно лакала воду горячим языком. Лев не знал что делать и постоянно вылизывал маленького друга своим шершавым языком. Собачка открывала глаза и жалобно поскуливала. Хозяин зверинца, которого давно тронула дружба столь разных дверей, вызвал ветеринара, но когда тот попытался подойти к собачке, лев сурово зарычал и заскреб когтями пол в клетке. Но ветеринар знал как обращаться с любым животным. Он ласково и спокойно объяснил льву, что он хочет помочь собачке, что иначе она может погибнуть и тогда лев отошел в угол клетки и позволил взять собачку. Три дня собачки не было. Бедный лев метался из одного угла клетки в другой, ни на минуту не успокаиваясь. На четвертое утро к клетке подошел старый ветеринар неся на руках собачку. Он опустил ее в клетку и собачка радостно завиляв хвостом бросилась ко льву. Счастью зверей не было предела. С тех пор они никогда не расставались, делили обеды и ужины, грели друг другу осенними вечерами и прожили 100 лет и 3 года.

Правильный восьмиугольник Вики

Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников.{\circ }}

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[ | код]

Пример:

  • t — длина стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь восьмиугольника
  • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}
  • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A/2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)/2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Симметрия[ | код]

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih1, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Разрезание правильного восьмиугольника[ | код]

Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

Разрезание правильного восьмиугольника

На 6 ромбов

Тессеракт

Применение восьмиугольников[ | код]

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Другие использования[ | код]

Производные фигуры[ | код]

Связанные многогранники[ | код]

Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Расширенные гиперкубы

Как начертить восьмиугольник с помощью циркуля

Деление окружности на равные части и по­строение правильных вписанных многоуголь­ников можно выполнить как циркулем, так и с помощью угольников и рейсшины.

Деление окружности на четыре равные части и построение пра­вильного вписанного четырех­угольника. Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части (рис. 115, а). Соединив точки пе­ресечения этих линий с окружностью прямы­ми, получают правильный вписанный четырех­угольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение пра­вильного вписанного восьмиуголь­ника. Две взаимно перпендикулярные линии, проведенные под углом 45° к центровым ли­ниям с помощью угольника с углами 45, 45 и 90° и рейсшины (рис. 115, б), вместе с центро­выми линиями разделят окружность на восемь равных частей.

Деление окружности на восемь равных час­тей можно выполнить циркулем. Для этого из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом делаются засечки до взаимного пересечения, тем же радиусом делают две засечки из точек 3 и 5 (рис. 115, в). Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то полу­чится правильный вписанный восьмиугольник (рис. 115, в).

Деление окружности на три рав­ные части и построение правиль­ного вписанного треугольника вы­полняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, на­пример из точки Л пересечения центровых ли­ний с окружностью (рис. 116, а и б), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной ок­ружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на про­тивоположном конце диаметра, проходящего через точку Л. Последовательно соединив точ­ки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник. При построении правильного впи­санного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого через заданную точку 1 проводят диаметр (рис. 116, в). Точка А будет находить­ся на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R равным ра­диусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

При делении окружности на три равные час­ти с помощью угольника и рейсшины через точку 1 под углом 60° проводят две прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2 и 3 (рис. 117, а, б), точки 2 и 3 соединяют и получают правильный вписанный треугольник (рис. 117, в).

Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиуголь­ника выполняют с помощью угольника с уг­лами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диа­метра радиусом, равным радиусу данной окруж­ности, проводят дуги до пересечения с окруж­ностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 118). Последовательно соединив полученные точки, полу­чают правильный вписанный шестиугольник. Деление окружности на шесть равных час-1ен и построение правильного вписанного шестиугольника с помощью угольника и рейс­шины показано на рис. 119 и 120. Деление окружности на двенад­цать равных частей и построение правильного вписанного двенад­цатиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля.

При делении окружности циркулем из четы­рех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, рав­ным радиусу данной окружности, дуги до пере­сечения с окружностью (рис. 121). Соединив по­лученные точки, получают двенадцатиугольник.

При построении двенадцатиугольника с по­мощью угольника и рейсшины точки деления строят, как показано на рис. 119 и 120.

Деление окружности на пять и десять равных частей и построе­ние правильного вписанного пяти­угольника и десятиугольника пока­зано на рис. 122.

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 122, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиу­сом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рис. 122, б). Отрезок равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1 /5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 122, в) радиусом R, равным отрезку , делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки / строят точки 2 и 5 (рис. 122, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пяти­угольник (рис. 122, г).

Деление окружности на десять равных час­тей выполняют аналогично делению окруж­ности на пять равных частей (рис. 122), но сначала делят окружность на пять частей, на­чиная построение из точки /, а затем из точ­ки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 123, а). Соединив последова­тельно все точки, получают правильный впи­санный десятиугольник (рис. 123, б).

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 124 и 125.

Из любой точки окружности, например точ­ки Л, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 124, а) до пересечения с окруж­ностью в точках В и D. Соединим точки В и D прямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1 /7 дли­ны окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последова­тельности, показанной на рис. 124, б. Соединив последовательно все точки, получают правиль­ный вписанный семиугольник (рис. 124, в).

Деление окружности на четырнадцать рав­ных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 125, а).

Сначала окружность делится на семь рав­ных частей от точки /, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырна-дцатиугольник (рис. 125, б).

СОПРЯЖЕНИЯ

Рассматривая детали, видим, что в их конст­рукции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плав­ными, что повышает прочность деталей и де­лает их более удобными в работе. На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

На рис. 126, а изображена деталь, в которой плавные переходы одних плоскостей в другие представляют собой цилиндрические поверхнос­ти. На чертеже (рис. 126, б) эти плоскости изо­бражены прямыми линиями, а цилиндрические поверхности — дугами окружностей. Плавные переходы от одной прямой к другой в этих случаях выполняются дугой заданного радиуса.

Плавный переход одной цилиндрической поверхности в другую может являться цилинд­рической поверхностью (рис. 127, а). На черте­же эти цилиндрические поверхности изобра­жены дугами окружностей, (рис. 127, б). В этом случае плавный переход одной дуги окруж­ности в другую осуществляется дугой окруж­ности заданного радиуса.

На рис. 126, а и 127, а рассмотрены простей­шие примеры плавных переходов поверхностей. В чертежах более сложных деталей плавные переходы между поверхностями изображают­ся различными сочетаниями прямых, окруж­ностей и их дуг. Вариантов таких сочетаний может быть много, но их объединяет од­но — плавность перехода. Такой плавный пе­реход одной линии (поверхности) в другую ли­нию (поверхность) называют сопряжени­ем. При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т. е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания.

Задачи на сопряжения условно можно раз­делить на три группы.

Первая группа задачвключает в себя зада­чи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредствен­ное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

Построение окружности, каса­тельной к прямой, связано с нахождени­ем точки касания и центра окружности.

Задана горизонтальная прямая АВ, требует­ся построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 128). Точка касания выбирается произвольно. Так как точка касания не задана, то окружность ра­диуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно про­вести множество. Центры этих окружностей (O1, О2и т. д.) будут находиться на одина­ковом расстоянии от заданной прямой, т. е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 128). Назовем эту линию линией центров. Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоя­нии R. Так как центр касательной окруж­ности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например точку О. Прежде чем про­водить касательную окружность, следует опре­делить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точ­ки О на прямую АВ. В пересечении перпендику­ляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

В детали, которая изображена на рис. 129, а, пластина плавно переходит в цилиндр. При выполнении чертежа этой детали необходимо построить плавный переход прямой в окруж­ность.

Задача аналогична предыдущей, но до­полнена условием, что точка касания задана, так как задан размер А (рис. 129, б), который определяет величину прямолинейного участка.

Отложив размер Л, находят точку касания (точку /С), затем из точки К восставляют пер­пендикуляр, на котором откладывают радиус R заданной окружности, и находят центр ок­ружности (точку О). При обводке сначала от точки касания проводится дуга заданного ра­диуса, а потом — прямая.

Из сказанного следует:

1) центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ответ

Проверено экспертом

Вспомогательная задача:
Разделить данный отрезок АВ пополам или провести серединный перпендикуляр к отрезку (рис. 1 внизу)
Из концов отрезка АВ одним и тем же радиусом, большим половины отрезка АВ провести две дуги. Через точки их пересечения проводим прямую. Это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Построение правильного восьмиугольника:
Проводим диаметр АВ. Строим CD – серединный перпендикуляр к АВ.
Хорду СВ делим пополам – прямая KL.
Хорду АС делим пополам – прямая MN.
Соединяем точки A, M, C, K, B, N, D и L. Получили правильный восьмиугольник.

Построение правильного пятиугольника.
Строим два перпендикулярных диаметра АВ и CD.
Делим пополам отрезок ОА – точка Е.
Из Е радиусом ЕС проводим дугу, которая пересекает ОВ в точке F.
Из С радиусом CF проводим дугу, которая пересекает окружность в точке G. CG – сторона правильного пятиугольника.
Проводим радиусом CG из точки G как из центра дугу, которая пересекает окружность в точке K. GK – вторая сторона.
И т.д.
Получаем правильный пятиугольник CGKLM.

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в атмосфере Сатурна. Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим эту фигуру поподробнее.

  • Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
  • Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
  • Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
  • Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2 )/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

Наверняка каждому из нас приходилось сталкиваться с тем, что нужно срочно что-то начертить, точный угол или многоугольник, а транспортира как нарочно под рукой нет, или Вы вообще никогда раньше ничего не чертили. Сегодня я хочу поделиться с Вами простыми схемами построения фигур на плоскости. Думаю, этот навык пригодится всем. Продолжение статьи:
http://www.livemaster.ru/topic/383001-postroenie-na-ploskosti-chast-2?ins >

Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.

Построение угла в 60

1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.

2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.

3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.

4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.

Построение угла в 45

1. Построим угол 60, кака описано выше.

2. Разделим полученный угол пополам.

3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.

Построение угла в 75

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.

3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.

Построение угла в 90


1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.

Разделение отрезка на равные части.

1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.

2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.

3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.

Построение правильного пятиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Разделим пополам расстояние ОВ. Разведём ножки циркуля на расстояние FC . Из точки F проведём дугу через С. Дуга пересечёт горизонтальную линию в точке G .

3. Расстояние CG будет длиной стороны пятиугольника. Из вершины С отложим пять раз расстояние CG .

Построение правильного шестиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм.

2. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

3. Из точки А на линии окружности отложим шесть раз радиус нашей окружности. Соединив прямыми точки пересечения, получим шестиугольник.

Построение правильного семиугольника.

1. Проведём окружность заданного радиуса. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Из точки D проведём дугу радиусом равным радиусу окружности.

3. Дуга пересечёт окружность в точках E и G .

4. Длина отрезка EF на хорде EG равна длине стороны семиугольника. Из вершины С семь раз отложим расстояние EF .

Общий метод построения многоугольников.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии. Продолжим горизонтальную лини. За точки А и В.

2. Из точки D проведём дугу радиусом, равным радиусу окружности так, чтобы дуга пересекла горизонтальную линию.

3. При помощи вспомогательной прямой разделим вертикальную линию на столько равных частей, сколько сторон многоугольника требуется получить. Для примера показано построение одиннадцатиугольника.

4. Из точки Е проведём прямые через нечётные точки раздела вертикальной линии так, чтобы эти прямые пересекли окружность. Такую же операцию проведём из точки G . Полученные лучи пересекают окружность в точках, соединив которые прямыми получаем одиннадцатиугольник.

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник
— искомый.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.

Третий способ построения пятиугольника

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Построение шестиугольника

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB
— искомый.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

Построение вписанных и описанных правильных многоугольников сводится, как уже было сказано, к делению окружности на столько равных частей, сколько в многоугольнике сторон. Однако точное деление окружности путем геометрического построения возможно лишь на 3, 4, 5 и 15 равных частей, а также при делении на число частей, получаемое последовательным удвоением этих чисел. В остальных случаях приходится…

Построение овала (коробовой кривой) по данной длине АВ. Делим длину ЛВ на 3 равные части и из D и Е радиусом DF описываем дуги которые пересекутся в F и G; соединяем D и E c F и G и продолжаем эти прямые, как на фигуре; далее радиусом AD = BE из точек D и Е…

Первый способ построения. Проводим горизонтальную (АВ) и вертикальную (CD) оси и из точки их пересечения М откладываем в соответствующем масштабе полуоси. Наносим малую полуось от точки М на большой оси до точки Е. Эллипс, первый способ построения Делим BE на 2 части и одну наносим от точки М на большой оси (до F или H)…

Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

“>

Расчет углов правильного многоугольника онлайн

Многоугольник представляет плоскую замкнутую геометрическую фигуру, у которой может быть три, четыре и более сторон, пересекающихся в трех, четырех и более точках, называющихся вершинами. Называются они в соответствии с количеством сторон или вершин. Например, многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольник, с шестью — шестиугольник и т. д. Правильным называют многоугольник с равными углами и сторонами. Например, квадрат. Если в задании известна одна из этих величин, несложно узнать остальные. В равностороннем n-угольнике, сумма всех углов рассчитывается как:

(n — 2) 180°

а сумма всех его сторон будет равна:

P = na

P — периметр;
а — сторона;
n — количество сторон.

Определяем угол правильного n-угольника:

А = (n — 2) / n х 180°

Если в задании имеется радиус вписанной окружности ®, тогда сторону (а) правильного n-угольника определяет по формуле:

a = 2r · tg · 180° / n

 a = 2r · tg · π / n

Если задан радиус ® описанной окружности, то находим сторону по формуле:

a = 2 R · sin · 180° / n

a = 2 R · sin · π / n

Соответственно, если известна сторона правильного n-угольника, находим r вписанной окружности:

r = a / (2 tg · 180° / n)

r = a / (2 tg · π / n)

и R описанной окружности n-угольника по его стороне:

R= a / (2 sin · 180° / n)

R= a / (2 sin · π / n)

Онлайн калькулятор поможет вам быстро и правильно определить число и величину сторон правильного многоугольника, размер его внешнего и внутреннего углов, а также другие показатели.

Расчет углов правильного многоугольника



диагоналей правильного восьмиугольника в геометрии GRE

Ученики любят пропустить основы, задавая такие вопросы, как: сколько вершин у восьмиугольника? Сколько диагоналей у восьмиугольника? В чем разница между правильным восьмиугольником и ну восьмиугольником? И геометрия GRE действительно углубляется в сложную математику полигонов.

Но прежде чем мы перейдем к этому, я начну с двух сложных математических задач GRE.

Геометрия GRE: задачи многоугольников

1) В правильном пятиугольнике P нарисованы все пять диагоналей.Каков угол между двумя этими диагоналями в точке пересечения их в вершине пятиугольника?

(А) 12 °

(В) 36 °

(С) 54 °

(Г) 60 °

(В) 72 °

2) Сколько диагоналей у правильного 20-стороннего многоугольника?

(А) 60

(В) 120

(К) 170

(Г) 240

(R) 400

Объяснения этих практических проблем появятся в конце этой статьи блога.Забегайте вперед, нажав здесь.

Полигоны

Во-первых, немного базовой терминологии, чтобы начать это обсуждение. Многоугольник — это любая геометрическая фигура, все стороны которой являются прямыми отрезками. Любой треугольник — многоугольник. Любой четырехугольник (включая трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники и квадраты) является многоугольником. Пятиугольник — это 5-сторонний многоугольник. Шестигранник — это 6-сторонний многоугольник. Восьмиугольник — это восьмиугольный многоугольник.Круг, парабола или что-нибудь с изогнутой стороной — это , а не многоугольник.

Точка пересечения двух сторон многоугольника называется вершиной . Количество вершин многоугольника всегда равно количеству его сторон.

Еще один важный факт, касающийся многоугольника, касается суммы углов. Возможно, вы знаете, что сумма трех углов в любом треугольнике равна 180 °. Возможно, вы даже знаете, что сумма четырех углов в любом четырехугольнике равна 360 °. Этот образец является обобщающим.Сумма всех n углов в любом n-стороннем многоугольнике:

сумма углов = (n — 2) * 180 °

Таким образом, любой пятиугольник (n = 5) будет иметь углы в сумме 3 * 180 = 540 °. У любого шестиугольника (n = 6) углы в сумме составляют 4 * 180 = 720 °. Любой восьмиугольник (n = 8) будет иметь углы в сумме 6 * 180 = 1080 °. (См. Блог о геометрических формулах GRE)

Наконец, есть это парадоксальное слово « обычный ». На обыденном языке «обычный» означает «обычный, ничем не примечательный, банальный».«В геометрии это означает прямо противоположное! Форма является правильной тогда и только тогда, когда она одновременно и равносторонняя, и равноугольная, то есть тогда и только тогда, когда все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны. «Обычная» версия любого многоугольника — это самая элитная, наиболее симметричная версия этого многоугольника. «Правильный треугольник» — это то, что мы называем равносторонним треугольником. «Правильный четырехугольник» — это квадрат. Для более высоких полигонов вы, скорее всего, увидите обычную версию на GRE, потому что тест (как и все математики) любит симметрию.

Диагонали многоугольника

Теперь мы можем поговорить о диагоналях. Диагональ — это любая линия, проходящая внутри многоугольника, которая соединяет две несмежные вершины. Что это значит? Во-первых, начиная с любой вершины, смежная вершина — это либо вершина, соединенная с начальной вершиной одной стороной многоугольника.

Рассмотрим неправильный четырехугольник:

Начнем с вершины A. Начиная с вершины A, мы соединяемся сторонами этого четырехугольника как с B, так и с D; вершины B и D — это те, которые смежны с вершиной A.Единственная вершина, не соединенная с A стороной четырехугольника, — это C. C — единственная несмежная вершина A, а A — это C. Таким образом, одна диагональ идет от A к C. Нетрудно увидеть, что другая идет от B к D. Любой четырехугольник имеет только две диагонали.

Обратите внимание, что треугольника НИКОГДА не имеют диагоналей. : если мы начнем с любой вершины треугольника, две другие вершины будут смежными. В треугольнике просто нет несмежных вершин, поэтому диагонали невозможны.Среди четырехугольников есть особые правила для диагоналей параллелограмма и категорий внутри параллелограммов:

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам: то есть точка пересечения двух диагоналей является средней точкой каждой из них.

Ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами. Диагонали ромба пересекают друг друга и перпендикулярны.

Прямоугольник — это параллелограмм с четырьмя углами 90 °. Прямоугольники ромба делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину.Это связано со старинной уловкой плотников. Когда плотник отрезает две пары одинаковой длины, чтобы сделать стороны дверной или оконной рамы, он знает, что у него есть параллелограмм из-за одинаковой длины, но как он узнает, есть ли у него прямоугольник? Без точного оборудования очень сложно измерить разницу, скажем, между углом 89 ° или 90 °. Что ж, все, что нужно сделать плотнику, — это измерить две диагонали: если эти две легко измеряемые длины равны, то гарантировано, что у него четыре прямых угла!

Квадрат — это параллелограмм, прямоугольник и ромб.Это правильный четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя углами 90 °. Диагонали квадрата делят друг друга пополам, имеют одинаковую длину и перпендикулярны.

Диагонали правильного Пентагона

Пятиугольник — это любой пятиугольник, сумма углов которого составляет 540 °, как мы видели выше. Единственный пятиугольник, который вы можете встретить на GRE, — это самый симметричный, правильный пятиугольник. Поскольку углы равны, мы можем разделить сумму углов на пять.

540 ° / 5 = 108 °

Это угол каждого из пяти углов пятиугольника.

Вот правильный пятиугольник с пятью диагоналями.

Сколько диагоналей у пятиугольника? У любого пятиугольника ровно пять диагоналей. Эти диагонали повторяют форму классической пятиконечной звезды, например, звезды на флаге Соединенных Штатов Америки. Длина и деления этой звезды тесно связаны с этим магическим и мистическим числом, золотым сечением; Сакральная геометрия призвана дать представление о смысле жизни, но вам не нужно знать ничего из этого для GRE!

Как мы можем найти углы в этой форме? Ну, мы знаем, что каждый большой угол пятиугольника составляет 108 °.Взгляните, например, на треугольник ABC. Этот треугольник — равнобедренный, потому что AB = BC, и мы знаем, что угол ABC = 108 °. Два других угла должны быть равны: назовите их x.

108 ° + х + х = 180 *

2x = 180 ° — 108 ° = 72 °

х = 36 °

Это означает, что угол BAC = угол BCA = 36 °, как и многие другие симметрично связанные углы вокруг формы. Мы могли бы вычесть (угол BAC) из (угла BAE) и получить (угол CAE)

угол CAE = (угол BAE) — (угол BAC) = 108 ° — 36 ° = 72 °

Отсюда мы можем найти много других углов внутри формы.Мы могли бы использовать аналогичные средства, чтобы найти углы, включающие диагонали любого более высокого многоугольника.

Диагонали правильного шестиугольника

Шестиугольник — это любой шестигранный многоугольник, сумма углов которого равна 720 °, как мы видели выше. В правильном шестиугольнике,

каждый угол = 720 ° / 6 = 120 °

Сколько диагоналей у шестиугольника? Начиная с одной вершины, две другие вершины являются смежными, поэтому 3 вершины не являются смежными, что делает возможными три диагонали из одной вершины.От A мы можем провести диагонали к C, D и E.

От каждой вершины по три диагонали. Поскольку существует шесть вершин, вы можете подумать, что всего будет 3 * 6 = 18 диагоналей, но этот метод подсчета учитывает все дважды. Видите ли, диагональ от A до C будет считаться один раз как диагональ от A и еще раз как диагональ от C до A. Таким образом, количество диагоналей в шестиугольнике равно 18/2 = 9. Это могут быть группы по две. виды. Шесть более коротких диагоналей вместе образуют шестигранную звезду, Маген Давид.Три более длинные диагонали образуют всего три симметрично пересекающихся сегмента, то, что в математике называется «вырожденной шестиконечной звездой».

На этих двух диаграммах показаны девять диагоналей правильного шестиугольника. Конечно, шестиконечная звезда просто состоит из двух перекрывающихся равносторонних треугольников, направленных в противоположных направлениях. (Этот геометрический факт привел к обширным мистическим рассуждениям о Звезде Давида в Каббале, но, опять же, вам не нужно понимать никакой мистики для GRE!)

Диагонали правильного семиугольника

Семиугольник — это любой семигранный многоугольник (n = 7).Иногда его называют «септагон», но математическое название предпочтительнее «семиугольник». Сумма его углов будет

.

(n — 2) * 180 ° = 5 * 180 ° = 900 °

Это означает, что каждый из семи углов правильного семиугольника будет иметь размер

.

каждый угол = 900 ° / 7 = 128,5714286… °

Угловые размеры не целые! Вот почему GRE вряд ли спросит вас о правильном семиугольнике, и именно поэтому вы, вероятно, никогда особо не говорили о правильных семиугольниках в школьной геометрии.Вот почему большинство людей даже не знают, как назвать этого зверя! Их нецелочисленная угловая мера делает их первой «белой вороной» в семействе обычных многоугольников! Я не буду больше говорить о них, потому что они почти никогда не появляются на GRE, но я покажу вам две возможные семиконечные звезды по их диагоналям: эти звезды навязчиво красивы из-за их идиосинкразической симметрии.

Диагонали правильного восьмиугольника

Восьмиугольник — это любой восьмиугольный многоугольник, сумма углов которого составляет 1080 °, как мы видели выше.В правильном восьмиугольнике

каждый угол = 1080 ° / 8 = 135 °

Этот угол является дополнением к углу 45 °. Правильный восьмиугольник — типичная форма знака остановки во многих частях мира.

Сколько диагоналей у восьмиугольника? Сколько вершин у восьмиугольника?

Начиная с одной вершины, две другие вершины являются смежными, поэтому пять вершин не являются смежными, что делает возможными пять диагоналей из одной вершины. От A, B и H — симметричные вершины, поэтому мы можем провести диагонали к C, D, E, F и G.

Логика аналогична шестиугольнику: пять в каждой вершине, восемь вершин, но при этом каждая диагональ считается дважды, поэтому общее число равно 5 * 8/2 = 20. AC и AG — это то, что мы могли бы назвать «3 диагоналями вершин»: их восемь, образующих звезду. AF и AD, каждая из которых параллельна двум сторонам, — это то, что мы могли бы назвать «четырьмя диагоналями вершин»: восемь из них образуют другую звезду. Наконец, AE подобен диаметру всего восьмиугольника, пересекающему его центр: таких линий четыре, и они образуют вырожденную восьмиконечную звезду.

Так же, как шестиконечная звезда состояла из двух перекрывающихся равносторонних треугольников, первая восьмиконечная звезда слева состоит из двух отдельных перекрывающихся квадратов: квадратный ACEG и квадратный BDFG. (Названия этих квадратов напоминают линии на W. 4th Street!) Между этими тремя звездами (считая вырожденный объект справа как «звезду») у нас есть все 20 диагоналей правильного восьмиугольника.

Сводка

Вперед и вверх! Методы, обсуждаемые в этом блоге, могут быть расширены для применения к шестиугольнику (n = 9), десятиугольнику (n = 10) или любому более высокому многоугольнику.Вооружившись этой информацией, вы сможете ответить на все вопросы GRE о диагонали многоугольника! Если при чтении этого блога у вас были какие-то моменты «ага», вы можете еще раз взглянуть на практические задачи вверху, прежде чем читать объяснения ниже.


Объяснение практических проблем

1) Давайте посмотрим на пятиугольник с пятью диагоналями.

Примером угла между двумя диагоналями в вершине может быть угол EBD, где диагонали BD и BE пересекаются в вершине B.

Мы будем следовать логике, изложенной выше.

Треугольник BCD равнобедренный, BC = CD, угол BCD = 108 °. Два других угла равны: назовите их каждый x.

108 ° + х + х = 180 *

2x = 180 ° — 108 ° = 72 °

х = 36 °

Итак, угол CBD = 36 °. Итак, треугольник ABE во всех отношениях равен треугольнику BCD, поэтому угол ABE также должен быть равен 36 °. Таким образом, мы можем вычесть из большого угла в вершине B.

(угол EBD) = (угол ABC) — (угол CBD) — (угол ABE)

(угол EBD) = 108 ° — 36 ° — 36 ° = 36 °

Ответ = (В)

2) Если мы начнем с одной вершины 20-стороннего многоугольника, то с каждой стороны будет по соседней вершине.Не считая этих трех вершин, было бы 17 несмежных вершин, поэтому из любой вершины можно было бы провести 17 возможных диагоналей. Двадцать вершин, 17 диагоналей от каждой вершины, но этот метод учитывает диагонали дважды, как указано выше.

Количество диагоналей = (17 * 20) / 2 = 17 * 10 = 170

Ответ = (В)

Примечание редактора. Этот пост был первоначально опубликован в январе 2014 года и был обновлен для обеспечения актуальности, точности и полноты.

П.С. Готовы улучшить свой GRE? Начни сегодня.

Самые популярные ресурсы

Infogalactic: ядро ​​планетарного знания

В геометрии восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon , «восемь углов») представляет собой 8-сторонний многоугольник или 8-угольник.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] , а также может быть построен как квазирегулярный усеченный квадрат t {4}, в котором чередуются два типа ребер.

Свойства общего восьмиугольника

Диагонали зеленого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу.

Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080 °. Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.

Если квадраты построены полностью внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины отрезков, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равдиагональным, так и ортодиагональным (то есть диагонали которого равны по длине и имеют одинаковую длину). под прямым углом друг к другу). [2] : Опор. 9

У середины восьмиугольника эталонного восьмиугольника восемь вершин находятся в серединах сторон эталонного восьмиугольника. Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника средней точки, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата. [2] : Опор. 10

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это замкнутая фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами.Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 8-го порядка. Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли {8}. Внутренний угол в каждой вершине правильного восьмиугольника составляет 135 °.

Площадь

Площадь правильного восьмиугольника со стороной a равна

.

Радиус окружности R , площадь равна

С точки зрения апофемы r (см. Также начертанный рисунок), площадь составляет

Эти последние два коэффициента заключают в скобки значение пи, площадь единичного круга.

Площадь также может быть выражена как

, где S — длина восьмиугольника или второй самой короткой диагонали; и a — длина одной из сторон или оснований. Это легко проверить, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются с четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это 45–45–90 треугольников). и помещает их прямыми углами внутрь, образуя квадрат.Края этого квадрата равны длине основания.

Учитывая длину стороны a , пролет S равен

Площадь будет такая же, как указано выше:

Выраженная в пролете площадь

Другая простая формула для площади —

Чаще всего известен пролет S , и длина сторон и должна определяться, как при разрезании квадратного куска материала на правильный восьмиугольник.Из вышеизложенного,

Две длины концов e с каждой стороны (длины сторон треугольников (зеленые на изображении), усеченные из квадрата), а также могут быть рассчитаны как

Строительные и элементарные постройки

Построение правильного восьмиугольника путем складывания бумажного листа

Правильный восьмиугольник может быть построен следующим образом:

  1. Нарисуйте круг и диаметр AOB, где O — центр, а A, B — точки на окружности.
  2. Нарисуйте COD другого диаметра, перпендикулярно AOB.
  3. (Попутно заметьте, что A, B, C, D — вершины квадрата).
  4. Начертите биссектрисы прямых углов AOC и BOC, образуя еще два диаметра EOF и GOH.
  5. A, B, C, D, E, F, G, H — вершины восьмиугольника.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля, так как 8 = 2 3 , степень двойки:

Каждая сторона правильного восьмиугольника образует половину прямого угла в центре круга, соединяющего его вершины.Таким образом, его площадь можно вычислить как сумму 8 равнобедренных треугольников, что дает результат:

для восьмиугольника со стороной .

Стандартные координаты

Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

  • (± 1, ± (1 + √2))
  • (± (1 + √2), ± 1).

Симметрия

Симметрия
11 симметрий правильного восьмиугольника.Линии отражений синие по вершинам, пурпурные по краям, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет симметрию Dih 8 , порядок 16. Есть 3 двугранные подгруппы: Dih 4 , Dih 2 и Dih 1 , и 4 циклические подгруппы: Z 8 , Z 4 , Z 2 и Z 1 , последнее подразумевает отсутствие симметрии.

На правильном восьмиугольнике существует 11 различных симметрий.Джон Конвей обозначает полную симметрию как r16 . [3] Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g для их центральных порядков вращения. . Полная симметрия правильной формы — r16 , и никакая симметрия не помечена как a1 .

Наиболее распространенными восьмиугольниками высокой симметрии являются d8 , изогональный восьмиугольник, образованный четырьмя зеркалами, может чередоваться длинные и короткие края, и p8 , изотоксальный восьмиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами с чередующимися двумя разными внутренними углами.Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного восьмиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Косой восьмиугольник

Наклонный восьмиугольник — это косой многоугольник с 8 вершинами и ребрами, который не находится в одной плоскости. Внутренний вид такого восьмиугольника в целом не определен. Зигзагообразный восьмиугольник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой восьмиугольник является вершинно-транзитивным с равной длиной ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный скошенный восьмиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях квадратной антипризмы с той же симметрией D 4d , [2 + , 8], порядок 16.

Рассечение правильного восьмиугольника

Коксетер утверждает, что каждый параллельный 2 угольника м может быть разделен на m (m-1) / 2 ромба. Для восьмиугольника м = 4, и его можно разделить на 6 ромбов, с одним примером, показанным ниже.Это разложение можно увидеть как 6 из 24 граней в плоскости проекции многоугольника Петри тессеракта. [4]

Правильный восьмиугольник в разрезе

С 6 ромбами

Тессеракт

Использование восьмиугольников

Восьмиугольный план этажа Купола Скалы.

Восьмиугольная форма используется как элемент дизайна в архитектуре. Купол Скалы имеет характерный восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — еще один пример восьмиугольной конструкции.Восьмиугольный план также использовался в церковной архитектуре, такой как собор Святого Георгия, Аддис-Абеба, базилика Сан-Витале (в Равенне, Италия), Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), баптистерий Флоренции, церковь Zum Friedefürsten (Германия) и количество восьмиугольных церквей в Норвегии. Центральное пространство Ахенского собора, Палатинская капелла Каролингов, имеет правильный восьмиугольный план этажа. Использование восьмиугольников в церквях также включает меньшие элементы дизайна, такие как восьмиугольная апсида собора Нидарос.

Другое применение

Производные цифры

Родственные многогранники

Восьмиугольник в виде усеченного квадрата является первым в последовательности усеченных гиперкубов:

Усеченные гиперкубы

правильный восьмиугольник Википедия

Форма многоугольника с восемью сторонами

В геометрии восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon , «восемь углов») является восьмиугольным или восьмиугольным многоугольником.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и также может быть построен как квазирегулярный усеченный квадрат, t {4}, который чередует два типа ребер. Усеченный восьмиугольник t {8} представляет собой шестиугольник {16}. Трехмерным аналогом восьмиугольника может быть ромбокубооктаэдр с треугольными гранями на нем, подобными замененным ребрам, если рассматривать восьмиугольник как усеченный квадрат.

Свойства общего восьмиугольника []

Диагонали зеленого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу.

Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080 °.Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.

Если квадраты построены полностью внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равдиагональным, так и ортодиагональным (то есть диагонали которого равны по длине и под прямым углом друг к другу). [2] : Опор. 9

У середины восьмиугольника эталонного восьмиугольника восемь вершин находятся в средних точках сторон эталонного восьмиугольника.Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника средней точки, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата. [2] : Опор. 10

Правильный восьмиугольник []

Правильный восьмиугольник — это замкнутая фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 8-го порядка. Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли {8}.{2},}

где S — длина восьмиугольника, или второй по длине диагонали; и a — длина одной из сторон или оснований. Это легко проверить, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются с четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это 45–45–90 треугольников). и помещает их прямыми углами внутрь, образуя квадрат. Края этого квадрата равны длине основания.{2}.}

ОБЫЧНЫЙ ПОЛИГОННЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР


Калькулятор правильных многоугольников Прокрутите вниз до инструкций и определений.
Чтобы увидеть список из 22 многоугольников с целыми углами, щелкните здесь.
Правильные многоугольники

Этот калькулятор работает только для правильных многоугольников — те многоугольники, у которых ВСЕ стороны равны и ВСЕ внутренние углы равны.
На рисунке ниже показан правильный восьмиугольник .
Внешний круг, окружающий его, называется описанным кругом (или описанным кругом) а внутренний круг, окруженный восьмиугольником, называется вписанный круг (или вписанный круг).
Угол EAB — один из 8 внутренних углов.
Угол ДСП — один из 8 внешних углов и равен центральному углу ACB.
Линия AC называется радиусом описанной окружности (радиус внешней, описанный круг).
Линия CD называется внутренним радиусом или апофемой (радиус вписанной окружности).
Чтобы увидеть список из 22 многоугольников с целыми углами, щелкните здесь.

Введите данные в первые 2 поля справа, затем нажмите «Рассчитать».

Сумма внутренних углов = (Количество сторон -2) • 180 градусов Количество сторон = (Сумма внутренних углов ÷ 180) + 2 Каждый внешний угол = каждый центральный угол = (360 градусов) ÷ (Количество сторон) Сумма ВСЕХ внешних углов в любом многоугольнике = 360 градусов
Имена многоугольников
Стороны Имя Стороны Имя Стороны Имя
3 треугольник 9 неугольник 15 пятиугольник
4 четырехугольник 10 десятиугольник 16 шестигранник
5 пятиугольник 11 пятиугольник 17 гептадекагон
6 шестигранник 12 двенадцатигранник 18 восьмиугольник
7 семиугольник 13 трехугольник 19 enneadecagon
8 восьмиугольник 14 четырехугольник 20 икосагон

По умолчанию установлено 5 значащих цифр, но вы можете это изменить. введя другое число в поле выше.

Ответы отображаются в экспоненциальном представлении и для удобства чтения числами между .001 и 1000 будут отображаться в стандартном формате (с одинаковым количеством значащие цифры.)
Ответы должны отображаться правильно, но есть несколько браузеров, которые будут отображать нет вывода вообще. Если да, введите ноль в поле выше. Это устраняет все форматирование, но это лучше, чем не видеть вывод вообще.


Вернуться к указателю геометрии

Вернуться на главную страницу

Авторское право 1999 — 1728 Программные системы

определение восьмиугольника и синонимов восьмиугольника (английский)

В геометрии восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon , «восемь углов») представляет собой многоугольник с восемью сторонами.Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли {8}.

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это замкнутая фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 8-го порядка. Внутренний угол в каждой вершине правильного восьмиугольника составляет 135 °, а сумма всех внутренних углов составляет 1080 ° (как для любого восьмиугольника). Площадь правильного восьмиугольника со стороной a равна

.

В пересчете на R (окружной радиус) площадь составляет

В пересчете на r (inradius), площадь составляет

Эти последние два коэффициента заключают в скобки значение пи, площадь единичного круга.

Площадь также может быть получена следующим образом:

, где S — длина восьмиугольника или второй самой короткой диагонали; и a — длина одной из сторон или оснований. Это легко доказать, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон касаются четырех сторон квадрата), а затем взять угловые треугольники (это треугольники 45–45–90) и расположив их прямыми углами внутрь, образуя квадрат.Края этого квадрата равны длине основания.

Учитывая длину стороны a , пролет S составляет:

Площадь будет такая же, как указано выше:

Выраженная в пролете площадь:

Другая простая формула для площади —

, где d — расстояние между параллельными сторонами (то же, что и пролет S на схеме).

Строительство


Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Стандартные координаты

Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

  • (± 1, ± (1 + √2))
  • (± (1 + √2), ± 1).

Использование восьмиугольников

  • Во многих частях света знаки остановки имеют форму правильного восьмиугольника.

  • Зонты часто имеют восьмиугольный контур.

  • Знаменитый дизайн ковра Бухара включает восьмиугольный мотив «слоновья нога».

  • План улиц и кварталов района Эшампле в Барселоне основан на неправильных восьмиугольниках

Производные цифры

полигонов Петри

Восьмиугольник — это многоугольник Петри для этих 12 однородных многогранников высшей размерности, показанных в этих наклонных ортогональных проекциях на плоскостях Кокстера A 7 , B 4 и D 5 .

См. Также

Список литературы

Внешние ссылки

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.