Семиугольник — frwiki.wiki
Для одноименной статьи см Heptagone (альбом) .
Угольник представляет собой многоугольник с семью вершинами , так семь сторон и четырнадцать диагоналей .
Сумма внутренних углов в качестве перекрещивания семиугольника является ей радиан .
Регулярный угольник является угольник со стороны все равны и все внутренние углы равны. Их три: две звездочки ( правильные гептаграммы ) и одна выпуклая . Именно о последнем мы говорим, когда говорим о «правильном семиугольнике».
Правильный семиугольник — самый маленький из правильных многоугольников, который невозможно построить с помощью линейки и циркуля . Однако можно выполнить построение с помощью линейки и циркуля, если используются другие геометрические инструменты или если линейка может быть градуированной ( построение Neusis ). Также можно нарисовать приблизительный вариант, с небольшими ошибками, с помощью циркуля и безградуированной линейки.
Резюме
- 1 Характеристики правильного семиугольника
- 2 Невозможность построения с помощью линейки и компаса
- 3 Построение пересечением коник
- 4 Строительство от neusis
- 4.1 Предварительная конструкция
- 4.2 Конструкция Neusis
- 5 Примерные конструкции
- 5.1 Использование равностороннего треугольника
- 6 Правильный семиугольник в повседневной жизни
- 7 фрагментов истории
- 8 Примечания и ссылки
- 9 См. Также
- 9.1 Статья по теме
- 9.2 Внешние ссылки
Характеристики правильного семиугольника
- Все внутренние углы равны 5π / 7 рад .
- В углы в центре все равно 2л / 7 рад .
- Если сторона имеет длину а :
- радиус г по окружности равенрзнак равнов2грех(π7)≈1.
{2} -4x-1) = 0}.Для к не кратно 7, реальный х , следовательно , является корнем из 8 х 3 + 4 х 2 — 4 х — 1 , который является несократима наQ{\ displaystyle \ mathbb {Q}} и степени 3. Это находится в противоречии с результатом , установленным Wantzel , который утверждает, что минимальный многочлен конструктивного числа всегда имеет степень степени 2 . Таким образом, cos
Построение пересечением коник
Построение пересечением коник.
Однако семиугольник можно построить, используя коники , поскольку 7 — простое число в форме 2 α 3 β + 1 , или еще раз: поскольку семиугольник можно построить с помощью невзиса ( см. Ниже ).
На прилагаемом чертеже показана конструкция семиугольника с использованием единичной окружности и прямоугольный гиперболой центр Q (1/4 √ 7 /4) и проходящей через
Строительство от neusis
Конструкция по neusis или путем наклона является метод строительства с помощью градуированной линейки и состоящий в построении отрезка заданной длины, концы которого лежат на двух заданных кривых. Здесь речь идет о построении угла π / 7 .
Предварительная конструкция
На прилагаемом рисунке ABCDEFGA представляет собой многоугольник, все сегменты которого имеют длину 1. ABFD и AGCE выровнены.
Докажем, что угол DAE равен π / 7
- обозначим этот угол a , который также является углом BAC
- треугольник ABC равнобедренный, противоположный угол ACB также имеет значение a ;
- сумма углов треугольника равна π , угол ABC равен π — 2 a, а дополнительный угол CBD равен 2 a ;
- треугольник BCD равнобедренный, противоположный угол CDB также имеет такое же значение ( 2 a ), а угол BCD равен π — 4 a ;
- сумма углов ACB (которая равна a ), BCD ( π — 4 a ) и DCE равна π , поэтому DCE равна 3 a .
- Треугольник CDE равнобедренный, противоположный угол DEC также равен 3
- Треугольник ADE равнобедренный, это также значение угла EDA, а сумма углов равна 7 a , но также π
- поэтому a = π / 7 .
Докажем, что длина BE равна √ 2 :
- Обозначим через s и t длины BF и FD.
- Треугольник FDE равнобедренный, 2 cos (EDF) = t .
- Прямые (FC) и (DE) параллельны, угол ACF равен 3 a . Поскольку угол ACB равен a , угол BCF равен 3 a — a = 2 a . Следовательно, треугольник BFC равнобедренный и FC = FB = s
- Тот же параллелизм позволяет утверждать, согласно теореме Фалеса, что
- 1+s1+s+тзнак равноs1{\ displaystyle {\ frac {1 + s} {1 + s + t}} = {\ frac {s} {1}}}
- что в результате перекрестного произведения и упрощения дает s 2 + st = 1 .
- Тогда теорема Аль-Каши в треугольнике BDE дает
- BE2знак равноBD2+DE2-2. {2} + st = 2}.
- BE2знак равноBD2+DE2-2.
Строительство от neusis
Речь идет о построении точки A на серединном перпендикуляре отрезка [DE] и точки B на отрезке [AD], таких что AB = 1 и BE = √ 2 . Затем мы воссоздадим предыдущий треугольник.
- Строим квадрат CDEF со стороной 1, рисуем серединный перпендикуляр (d) к [DE], а также к [CF], а также окружность с центром E и радиусом EC.
- Мы помещаем начало линейки на серединный перпендикуляр, линейка опирается на точку D, мы тащим по серединному перпендикуляру начало линейки к вершине фигуры, сохраняя давление на D, пока не появится окружность (C) пересекает линейку на градуировке 1. Затем мы получаем точки B и A на градациях 0 и 1 соответственно.
- Мы строим окружность, описанную в равнобедренный треугольник ADE (методом пересечения серединных перпендикуляров двух его сторон, который определяет центр O строящейся окружности, наиболее точное позиционирование заключается в том, чтобы взять две самые длинные стороны который также должен совпадать на уже начерченном срединном перпендикуляре (d) к DE), который также является описанной окружностью основного семиугольника DEGHAIJ DE, который достаточно построить, перенеся на циркуль по описанной окружности длину его первая дуга DE, начинающаяся из точек D, E и A, уже начерчена (DE = EG = GH = HA = AI = IJ = JD).
Этот метод, позволяющий нарисовать по крайней мере один правильный семиугольник со стороной 1 (но описанного радиуса, первоначально неизвестного), затем позволяет разделить диск на 7 равных частей, перемещая центр этого контрольного семиугольника в центр круга, который будет разделить, затем с помощью линейки, опираясь на общий центр и вершины первого семиугольника, нарисуйте радиусы, разрезающие круг, который нужно разрезать на 7 равных дуг:
- Эта вторая конструкция требует только, чтобы линейка и циркуль «скользили» по уже построенному унитарному семиугольнику, чтобы центры смещенного семиугольника совпадали с центром круга, который нужно разделить.
- Достаточно просто провести первую линию, соединяющую центр первого семиугольника с центром круга, который нужно разделить, затем провести параллели, проходящие через вершины первого семиугольника, и сослаться на циркуль на этих параллелях. расстояние между двумя центрами.
- После того, как второй единичный семиугольник нарисован и выровнен с центром круга, который нужно разделить, остается только использовать его, чтобы нарисовать 7 радиусов, пересекающих круг, который нужно разделить, и проходящих через вершины перемещенного единичного семиугольника, чтобы получить вписанный в диск правильный семиугольник любого радиуса, который нужно разделить на 7 равных частей.
Примерные конструкции
Использование равностороннего треугольника
Отношение между стороной семиугольника и радиусом описанной окружности равно . Это число очень близко к, и это число очень легко получить, используя равносторонний треугольник . 2грех(π/7)≈0,8677{\ Displaystyle 2 \ грех (\ пи / 7) \ приблизительно 0 {,} 8677}32≈0,866{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ приблизительно 0 {,} 866}
Отсюда следующая конструкция:
- Нарисуйте круг с радиусом 1 и центром M.
- Возьмите точку X на окружности. Окружность с центром X и радиусом XM пересекает предыдущую окружность в точках A и Y
- Прямые (AY) и (MX) пересекаются в точке H.
- Длина AH является хорошим приближением стороны семиугольника, вписанного в тот же круг.
По этому методу центральный угол составляет приблизительно 51,32 градуса вместо ожидаемых 51,43 (приблизительно) или относительной погрешности 2,15 на тысячу.
Семигранное розовое окно, церковь аббатства Больё-ан-Руэрг .
Семигранное окно в саду Юй в Шанхае ( Китай ).
- Огранка монеты 20 евроцентов выполнена в виде правильного семиугольника.
- В британских 20 и 50 пенсов монеты являются Рело семиугольники .
Фрагменты истории
Семиугольник — первый правильный многоугольник, который невозможно построить с помощью линейки и циркуля. Поэтому естественно, что после построения пятиугольника и шестиугольника греки, а затем арабы рассмотрели конструкцию семиугольника. Единственный текст греческого происхождения, прослеживаемый в точном построении семиугольника, приписывается Архимеду: « О делении круга на семь равных частей» . Он дошел до нас через арабский перевод Табита ибн Курры . Метод построения использует промежуточный шаг, состоящий в построении точки, уравнивающей площадь двух треугольников, но детали этого построения не приводятся. Поэтому мнения комментаторов разделились: это дыра в демонстрации? — отсутствующее сооружение требовало постройки neusis? — точка была получена пересечением коник?
Многие арабские математики , чтобы прокомментировали текст Архимеда и от X — го века , методы строительства с использованием пересечения два конических (два или гиперболой гиперболы и притчи ) предлагаются, либо заполнить пробел демонстрация Архимеда, либо предложить другие постройки (Абу аль-Джуд, Ас-Сиджи , Ас-Сагани (англ.
) , Абу Сахл аль-Кухи , Ибн Сахл , Ибн аль-Хайтам , Камаль ад-Дин ибн Юнус (умер около 1242 г.)). Связь между построением семиугольника и разрешением уравнения третьей степени изучается Абу Насром Мансуром .Кажется, что из всех этих трактатов о семиугольнике ни один не был переведен на латынь. Тем не менее, мы находим следы строительства семиугольника со ссылкой на метод Архимеда в Де трицепсе по Иордану Nemorarius .
Примечания и ссылки
- ↑ См. Теорему 3.6, с. 195 Ж.-М. Арнодьеса и П. Делезоида, « Числа (2, 3) -конструкции », Adv. Математика. , т. 158, п о 2, стр. 169-252 ( читать онлайн ).
- ↑ См. Стр. 373-374 по Ж.-М. Arnaudiès и П. Delezoide, « Геометрические построения на пересечениях коники », Бюллетень де л ‘ APMEP , т. 446, г., стр. 367-382 ( читать онлайн ).
- ↑ Эта цифра подробно описана в книге Жана-Дени Эйдена, Le jardin d’Eiden: Une année de colles en Math Spé MP , Paris, Calvage & Mounet,, 690 с. ( ISBN 978-2-916352-27-5 ).
- ↑ (in) Январь Хогендийк , « Греческое и арабское построение правильного семиугольника » , Arch. Hist. Exact Sci. , т. 30,, стр. 197–330, стр. 204 .
- ↑ (in) Генри Менделл, « Архимед и регулярный гептагон», селон Сабит ибн Курра ‘ на CSULA .
- ↑ (in) Рошди Рашед , Теория коник, геометрических конструкций и практической геометрии Ибн аль-Хайтама: История арабских наук и математики , т. 3, стр. 299 в Google Книгах .
- ↑ Hogendijk 1984 , стр. 201.
- ↑ Hogendijk 1984 , стр. 240.
- ↑ Hogendijk 1984 , стр. 270.
Смотрите также
Связанная статья
Тригонометрические формулы в kπ / 7
Внешние ссылки
- Батист Горин, О правильном семиугольнике и его построении [PDF]
- Еще одна примерная конструкция ( GeoGebra с линейкой и компасом). Точность: 0,1%.
Полигоны
От 1 до 10 сторон - Хенагон (1)
- Дигон (2)
- Треугольник (3)
- Четырехугольник (4)
- Трапеция
- Описывающая трапеция
- Параллелограмм
- Алмаз
- Прямоугольник
- Квадратный
- Антипараллелограмм
- Псевдоквадрат
- воздушные змеи
- Записываемый четырехугольник
- Трапеция
- Пентагон (5)
- Правильный выпуклый пятиугольник
- Шестиугольник (6)
- Гептагон (7)
- Восьмиугольник (8)
- Эннеагон (9)
- Десятиугольник (10)
От 11 до 20 сторон Хендекагон (11) · Додекагон (12) · Трехкадр (13) · Тетрадекагон (14) · Пентадекагон (15) · Шестиугольник (16) · Гептадекагон (17) · Октадекагон (18) · Эннеадекагон (19) · Икосагон (20) Превосходство до 20 сторон Триаконтагон (30) · тетраконтагон (40) · пентаконтагон (50) · гексаконтагон (60) · гептаконтагон (70) · октаконтагон (80) · Эннеаконтагон (90) · гектогон (100) · Дигектогон (200) · Тригектогон (300) · Тетрагектогон (400) · Пентагектогон (500) · Гексагектогон (600) · Гептагектогон (700) · Октагектогон (800) · Эннеагектогон (900) · чилигон (1000) · мириагон (10000) Другие классификации, кроме количества сторон - Классификация по выпуклости
- Перекрестный многоугольник
- Простой многоугольник
- Невыпуклый многоугольник
- Звездный многоугольник
- Выпуклый многоугольник
- Невыпуклый многоугольник
- Классификация по углам и сторонам
- Равноугольный многоугольник
- Равносторонний многоугольник
- Правильный многоугольник
- Рейтинг по кругу
- Записываемый многоугольник
- Описывающий многоугольник
- Бицентрический многоугольник
Правильные звездчатые многоугольники Пентаграмма · Гексаграмма · гептаграмма · Octogramme (в) · Эннеаграмма · декаграмм (в) · Hendécagramme (в) · dodecagram Описание - Боковая сторона
- горная вершина
- Вершина
- На основе
- Внутренний угол / Внешний угол
- Периметр
- Область
- Теорема Пика
Замечательные линии и круги - Диагональ
- Апофема
- Описанный круг
- Написанный круг
Отношения между полигонами - Двойственность
- Огранка
- Звездчатость
Строительство - Теорема Гаусса-Вантцеля
- Построение правильного пятиугольника
Расслоение - Теорема Уоллеса-Больяи-Гервиена
- Равнодушие
<img src=»//fr.
wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>Как нарисовать пятиугольник (67 фото) » Рисунки для срисовки и не только
Построение правильного пятиугольника вписанного в окружность
Как начертить правильный пятиугольник в окружности
Как построить пятиугольник циркулем
Как построить пятиугольник циркулем
Как построить правильный пятиугольник
Равносторонний пятиугольник чертеж
Как построить правильный 5 угольник
Построение правильного пятиугольника с помощью циркуля
Как построить правильный 5 угольник
Пятиугольник Рело
Построение правильного пятиугольника в окружности
Как построить правильный 5 угольник
Как построить пятиугольник в окружности
Равносторонний пятиугольник чертеж
Рисование звезды циркулем
Начертить пятиугольник
Построение правильного пятиугольника в окружности
Равносторонний пятиугольник чертеж
Равносторонний пятиугольник чертеж
Построение правильных многоугольников
Равносторонний пятиугольник
Построение правильнихмногоугольников
Пятиугольник в виде домика
Восьмиугольник правильный чертеж
Правильный пятиугольник на клеточной бумаге
Геометрия построение пятиугольника
Равносторонний пятиугольник чертеж
Как начертить правильный шестиугольник
Как начертить 5 угольник
Правильный шестиугольник чертеж
Регулярный пятиугольник
Пентаграмма Пифагора
Как начертить правильный шестиугольник
Построение правильных многоугольников
Многоугольники пятиугольник
Равносторонний пятиугольник
Правильный пятиугольник на клеточной бумаге
Шестиугольника начерти два 2 пятиугольника
Правильный пятиугольник внутренний пятиугольник
Шестиугольник разделить на 2 пятиугольника
Пятиугольник со стороной 4 см
Правельнвц многоугольника
Треугольник четырехугольник пятиугольник
Пятиугольник и шестиугольник
Правильный 5 угольник
Центр правильного пятиугольника
Геометрические фигуры семиугольник
Вписанный правильный восьмиугольник
Пятиугольник в круге с помощью циркуля
Гексагон Призма
Как построить пятиугольник циркулем
Осевая симметрия пятиугольника построение
Пятиугольник вписанный в окружность построение
Пентагон форма пятиугольника
Семиугольник чертеж
Пятиугольник вписанный в квадрат
Правильный 5 ти угольник
Построение пятиугольника циркулем
Пятиугольник ABCDE
Начертить правильный шестиугольник
Произвольный пятиугольник
Правильный пятиугольник построение
Пятиугольник со стороной 3 см
Равносторонний пятиугольник чертеж
Построение пятиугольника
Правильный пятиугольник вписанный в окружность
Семиугольник
СемиугольникСемиугольник
Гептагон (7-сторонний многоугольник) был формой большой загадки в геометрии. Невозможно построить семиугольник
только с компасом и линейкой. Однако существует множество приближений, некоторые из которых я приведу здесь.Эта первая конструкция является самой простой. Это очень хорошее приближение к семиугольнику. Дан кружок O (желтый): - Найдите A , случайную точку на окружности.
- Найдите M , середину OA .
- Проведите перпендикуляр через M . Он пересекает окружность O в точке B .
- Нарисуйте круг в точке B (голубой) так, чтобы он пересекал M . Окружность B пересекается с окружностью O в две точки семиугольника. Вы можете использовать их, чтобы найти остальных.
Существует метод аппроксимации почти любого правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Особенно полезно с странные формы, такие как семиугольники и девятиугольники. Они сложны тем, что предполагают разделение строк.- Начертить круг O . Нарисуйте AB , диаметр круга O .
- Разделить AB на n количество частей (n — количество сторон, в данном случае 7!).
- Нарисуйте два круга, один в точке A и один в точке B (голубой), каждый с радиусом AB . Они пересекаются в точке C .
- Точка D — вторая точка диаметра слева.
- Нарисуйте линию из C до D , продолжая его до исходного круга, где он пересекается в E .
- A и E — две точки семиугольника. Используйте их, чтобы найти остальных.
- Вы можете использовать этот приблизительный любой n-gon !
Эта следующая конструкция была сформулирована мной. Это не так точно в других, но это относительно легко. - Начертить круг O . Нарисуйте ОА и ОВ так, чтобы они были перпендикулярны друг друга и A и B находятся на круге O .
- Нарисуйте BC так, чтобы он был перпендикулярен AB (фиолетовый) и имел половину его длины.
- Проведите линию через CA (голубой).
- Нарисуйте круг в точке C так, чтобы он пересекал B (красный). Круг C (красный) крестики СА (голубой) по адресу D .
- В точке A нарисуйте окружность, пересекающую D . Окружность A пересекает окружность O в двух точках семиугольника.
Вот очень сложная конструкция, но очень точная. - Начертить круг O . Нарисуйте ABCDE , пятиугольник, вписанный в окружность O .
- Нарисуйте еще один круг в точке O , на этот раз внутри пятиугольника (фиолетовый). Для этого найдите середину одной из сторон
пятиугольника и нарисуйте окружность, пересекающую эту точку.
- Нарисовать OA . OA пересекается с маленьким кругом (фиолетовым) в точке F .
- Нарисуйте круг в точке F (голубой), который пересекает A . Он пересекает OA в точке H . Нарисовать круг в точке A (голубой), который пересекает H . Круг A (голубой) пересекает OA на G .
- Нарисуйте маленький круг в точке O (желтый), который пересекает H . Вписать равносторонний треугольник, ХИДЖ внутри этого круга (желтый).
- Проведите линию через точки I и J .
- Нарисуйте окружность в точке O , пересекающую точку G . Этот круг пересекает IJ в точках К и Л .
- G,K,L — 3 точки семиугольника. Используйте их, чтобы найти остальных!
Подробнее см. NexusjournalЭто новое строительство. Он предполагает использование сетки . - Найти точку (2,4) . Нарисуйте окружность с центром в начале координат, пересекающую эту точку.
- Нарисуйте линию в точке y = -1 . Эта линия пересекает окружность в двух точках семиугольника.
Здесь показана конструкция Нейзиса для семиугольника, включающая отмеченную линейку. Вы можете найти больше информации на Мир математики. - Возьмите линейку (например, лист бумаги) и отметьте на ней две точки, А и В .
- Построить сегмент CD , равный AB .
- Найдите середину CD и назовите ее M . Проведите биссектрису через точку M .
- Нарисуйте отрезок CE так, чтобы CE был перпендикулярен CD и имел одинаковую длину.
- Нарисуйте окружность с центром D и точкой пересечения E .
- Возьмите отмеченную линейку и поместите ее так, чтобы A касается дуги, B касается серединного перпендикуляра CD , и линейка касается точки C .
- Тогда угол CBM или q равен p/14. Таким образом, 4q даст вам 2p/7, чего мы и хотели!
© 7 апреля 2003 г. Робин Ху. Все права защищены. Вписать семиугольник в круг
Чертеж укрепления: практические конструкции: вписать семиугольник по кругу
- радиус г по окружности равенрзнак равнов2грех(π7)≈1.
{2} -4x-1) = 0}.
{2} -2}}} {4}}}.
{2} + st = 2}.
) , Абу Сахл аль-Кухи , Ибн Сахл , Ибн аль-Хайтам , Камаль ад-Дин ибн Юнус (умер около 1242 г.)). Связь между построением семиугольника и разрешением уравнения третьей степени изучается Абу Насром Мансуром .
373-374 по Ж.-М. Arnaudiès и П. Delezoide, « Геометрические построения на пересечениях коники », Бюллетень де л ‘ APMEP , т. 446, г., стр. 367-382 ( читать онлайн ).
30,, стр. 197–330, стр. 204 .
240.
wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>
Невозможно построить семиугольник
только с компасом и линейкой. Однако существует множество приближений, некоторые из которых я приведу здесь.
Они сложны тем, что предполагают разделение строк.
Для этого найдите середину одной из сторон
пятиугольника и нарисуйте окружность, пересекающую эту точку.
Nexusjournal
круг. Начертите радиус (OA) окружности. Это может быть выполнено путем
создание прямой линии из точки O, центра круга, в любую точку
по окружности круга.