Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, в любой шестиугольник можно вписать окружность.
Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром вписанной в него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его сторон. Отрезок, соединяющий центр с точкой касания вписанной окружности называется апофемом и является радиусом вписанной окружности.
Существует классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник
Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен 
По тригонометрической таблице tg(30°)=
Тогда формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник имеет следующий вид
Радиус вписанной окружности в шестиугольник равен половине произведения стороны и корня квадратного из 3
Пример расчета радиуса окружности вписанной в шестиугольникНайдите радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник со стороной 6
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, имеем
Все формулы для радиуса вписанной окружности
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d
α — острый угол
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a — сторона ромба
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб (
Правильные многоугольники. Радиус вписанной и описанной окружности
Для того, чтобы научиться решать задачи из задания В6 на нахождение радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул. Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике.
И применить эти знания в немного другой ситуации.
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.
Посмотрим, как
Здесь
АВ — сторона правильного треугольника
ОК — радиус вписанной окружности
ОВ, ОА — радиусы описанной окружности
Очевидно, что треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.
Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.
Угол AOB= 
, где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол 
— то есть его величину мы знаем всегда.
Мы видим, что:
радиус вписанной окружности r — является прилежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ
половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ
радиус описанной окружности R является гипотенузой прямоугольного треугольника ОКВ
Тогда:
Решим несколько задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание B7 (№ 27944)
Около окружности, радиус которой равен 
, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Проведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш «волшебный» прямоугольный треугольник:
По условию 
, надо найти 
Тогда 
Ответ: 4
2. Задание B7 (№ 27929)
Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
В этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:
Угол АОВ=
Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, 
. Отсюда 
Треугольник АОВ равнобедренный с углом 
, а, значит, равносторонний. Следовательно, 
и 
Ответ: 24.
Запомните: в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.
3. Задание B7 (№ 27917)
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 
.
Рассмотрим треугольник ВОК:
Ответ: 1,5
4. Задание B7 (№ 27909)
Сторона правильного треугольника равна 
. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Рассмотрим треугольник ВОК:
Ответ: 0,5
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
Радиус описанной окружности около шестиугольника
Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, около любого шестиугольника можно описать окружность.
Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром описанной вокруг него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин. Отрезок, соединяющий центр с вершинами называется радиусом правильного многоугольника и также является радиусом описанной около него окружности.
Формула радиуса описанной окружности около шестиугольника
Существует классическая формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного многоугольника
Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен 
По тригонометрической таблице sin(30°)=
Тогда формула радиуса описанной окружности около шестиугольника имеет следующий вид
Радиус описанной окружности около шестиугольника равен его стороне
Пример расчета радиуса окружности описанной около шестиугольникаНайдите радиус окружности описанной около правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности в него равен
Радиус описанной окружности около шестиугольника имеет вид R = a
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, получаем: 
Выразим сторону шестиугольника: 
Выразим радиус описанной окружности через радиус вписанной: 
Вписанный угол окружности
Вписанный угол окружности — Math Open Reference Определение: предполагаемый угол в точке на окружности двумя заданными точками на окружности. Попробуйте это Перетащите любую оранжевую точку. Обратите внимание, что при перемещении точки P вписанный угол остается постоянным. пока он находится в большая дуга образованный A, B.Для двух точек A и B прямые, идущие от них до третьей точки P, образуют вписанный угол ∠APB. Когда вы перетаскиваете точку P выше, обратите внимание, что вписанный угол постоянен.Это зависит только от положения A и B.
Перетаскивая P по кругу, вы увидите, что вписанный угол постоянен. Но когда P находится на малой дуге (кратчайшая дуга между A и B), угол остается постоянным, но является дополнением к обычной мере. То есть это 180-м, где m — обычная мера.
Формула вписанного угла
Если вы знаете длину малой дуги и радиус, вписанный угол определяется формулой ниже.
где:L — длина малой (кратчайшей) дуги AB
R — радиус окружности
π — Pi, приблизительно 3,142
Формула верна для точек большой дуги. Если точка находится на малой дуге, то будет добавлен правильный результат, но длину вспомогательной дуги все равно следует использовать в формуле.
Дуги и аккорды
Две точки A и B могут быть изолированными точками или конечными точками дуга или аккорд.Когда они являются конечными точками дуги, угол иногда называют периферийным углом дуги.Центральный угол
Аналогичное понятие — центральный угол. Это угол, образуемый двумя заданными точками в центре круга.
См. Определение центрального углаЦентральный угол всегда вдвое больше вписанного угла. См. Теорему о центральном угле.
Связь с теоремой Фалеса
См. Рисунок выше. Если две точки A и B образуют диаметр окружности, вписанный угол будет 90 °, что составляет Теорема Фалеса.Вы можете убедиться в этом сами, решив приведенную выше формулу, используя длину дуги, равную половине длины окружности.
Вы также можете перемещать точки A или B выше, пока вписанный угол не станет точно 90 °. Вы увидите, что тогда точки A и B диаметрально противоположны друг другу.
Другие темы в круге
Общие
Уравнения окружности
Углы по окружности
Дуги
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Как построить правильный шестиугольник по одной стороне с помощью циркуля и линейки или линейки
Как построить правильный шестиугольник учитывая одну сторону. Строительство начинается с нахождения центра шестиугольника, а затем его рисования. описанный круг это круг, который проходит через каждый вершина. Затем компас обходит круг, отмеченный с каждой стороны.
Пошаговые инструкции для печати
Вышеупомянутая анимация доступна как распечатываемый лист с пошаговыми инструкциями, который можно использовать для изготовления раздаточных материалов или когда компьютер недоступен.
Объяснение метода
Эта конструкция очень похожа на построение шестиугольника, вписанного в круг, за исключением того, что нам дан не круг, а вместо него одна из сторон. Шаги 1-3 нужны, чтобы нарисовать этот круг, и с тех пор конструкции такие же.
Центр круга находится с использованием того факта, что радиус правильного шестиугольника (расстояние от центра до вершины) равна длине каждой стороны. См. Определение шестиугольника.
Проба
Изображение ниже — это последний рисунок из приведенной выше анимации.
| Аргумент | Причина | |
|---|---|---|
| 1 | ABCDEF — шестигранник | Это многоугольник с шестью сторонами. См. Определение шестиугольника. |
| 2 | AB, BC, CD, DE, EF, FA все совпадают. | Нарисовано с той же шириной компаса AF. |
| 3 | A, B, C, D, E, F все лежат на окружности O | Построением |
| 4 | ABCDEF — правильный шестиугольник | Из (1), (2). Все его вершины лежат на окружности, а все стороны равны. Это определяет правильный шестиугольник. Видеть Определение и свойства правильного многоугольника |
— Q.E.D
Попробуйте сами
Щелкните здесь, чтобы распечатать лист с двумя проблемами, которые можно попробовать.Когда вы перейдете на страницу, используйте команду печати браузера, чтобы распечатать столько, сколько хотите. Печатная продукция не защищена авторскими правами.Другие конструкции, страницы на сайте
линий
Уголки
Треугольники
Правые треугольники
Центры треугольника
Окружности, дуги и эллипсы
Полигоны
Неевклидовы конструкции
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Вписанная окружность многоугольника — математическая открытая ссылка
Вписанная окружность многоугольника — математическая открытая ссылкаОпределение: самый большой круг, который поместится внутри многоугольника, который касается каждой стороны.
Попробуй это Отрегулируйте правильный многоугольник ниже, перетащив любую оранжевую точку или изменив количество сторон. Обратите внимание на поведение вписанной окружности многоугольника.
Вписанная окружность правильного многоугольника — это наибольшая окружность, которая помещается внутри многоугольника и касается каждой стороны. в одном месте (см. рисунок выше), поэтому каждая из сторон представляет собой касательная к вписанной окружности.Если количество сторон 3, это равносторонний треугольник и вписанная в него окружность ровно такой же, как описанный в Введении треугольника.
Внутренний радиус правильного многоугольника точно такой же, как и его апофема. Формулы ниже такие же, как для апофемы. Для начала используйте формулу, в которой используются предоставленные вам факты.
Inradius с учетом длины стороны
По определению, все стороны правильного многоугольника равны по длине. Если вам известна длина одной из сторон, внутренний радиус определяется по формуле: где
s — длина любой стороны
n — количество сторон
tan — функция касательной, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии)
Inradius с учетом радиуса (окружности)
Если ты знаешь радиус (расстояние от центра до вершины): где
r — радиус (окружной радиус)
n — количество сторон
cos — функция косинуса, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии)
Неправильные многоугольники
Неправильные многоугольники не считаются вписанной окружностью или даже центром.Если бы вы нарисовали многоугольник наугад, он
маловероятно, что существует круг, каждая сторона которого является касательной.
Исключение составляет трехсторонний многоугольник (треугольник). У всех треугольников всегда есть вписанная окружность.
(См. Окружность треугольника)Некоторые математики считают вписанную окружность наибольшей окружностью, которая помещается внутри многоугольника, без требования, чтобы он касался всех сторон.Ясно, что согласно этому определению всегда можно нарисовать такой круг.
Другие полигоны
Общие
Типы полигонов
Площадь различных типов полигонов
Периметр различных типов полигонов
Углы, связанные с многоугольниками
Именованные полигоны
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.