Площадь сечения треугольника: Площадь треугольника

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\).

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\). Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\), не лежащей на прямой \(l\), то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\). Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\). Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA’\) и \(BB’\) (точки \(A’, B’\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A’B’\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\). Точка \(M=a\cap A’B’\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\).

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(A’P=\dfrac 14AA’, \ KC=\dfrac15 CC’\). Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\).

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA’, CC’\) перпендикулярны \((ABC)\), то точки \(A\) и \(C\) — проекции точек \(P\) и \(K\). \circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\), то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\), высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\), считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\), считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). Т.к. \(DO\perp (ABC)\), то и \(NO\perp (ABC)\). Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\).
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\), то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\), то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\), следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\).

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). \(L\) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\), хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\). \circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\), значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\).

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\).

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\). Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\).

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\), она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\). Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\). Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\), получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\). Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\), то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\). Но \(SB=SD\), значит и \(SK=SP\). Таким образом, можно найти только \(SP:PD\).

Рассмотрим \(\triangle ASC\). \circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), следовательно, \(AD=CD\), следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\).

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\); наклонная \(BK\perp AC\), значит и проекция \(HK\perp AC\). Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\). Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\).

Соединив точки \(A\) и \(H\), получим отрезок \(AN\), по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\). Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\).

Обозначим \(AB=CB=DB=x\). Тогда \(BK\), как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\), равна \(\frac12 AC\), следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\).

Рассмотрим \(\triangle BKD\). Найдем отношение \(DH:HK\).

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\), то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\). Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\). Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\).

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

Площадь — это размер поверхности!
Узнайте больше о площади или воспользуйтесь калькулятором площади.

Пример: Какова площадь этого прямоугольника?

Формула:

Площадь = w × h
w = ширина
h = высота

Мы знаем, что w = 5 и h = 3 , поэтому:

Площадь = 5 × 3 = 15

Пример: Какова площадь этого круга?

Радиус = r = 3

Пример: Какова площадь этого треугольника?

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Более сложный пример:

Пример: Сэм косит траву по цене 0,10 доллара за квадратный метр

Сколько зарабатывает Сэм, обрабатывая эту область:

Разобьем область на две части:

Часть A — квадрат:

Площадь A = a ² = 20 м × 20 м = 400 м ²

Часть B представляет собой треугольник. При взгляде сбоку он имеет основание 20 м и высоту 14 м.

Площадь B = ½b × h = ½ × 20 м × 14 м = 140 м ²

Итого общая площадь:

Площадь = Площадь A + Площадь B = 400 м ² + 140 м ² = 540 м ²

Сэм зарабатывает 0,10 доллара за квадратный метр

Сэм зарабатывает = 0,10 доллара × 540 млн ² = 54 доллара

Площадь треугольника (формула Герона) Калькулятор

[1] 2020/09/10 03:08 Мужской / До 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования

ответов

Комментарий / запрос

вариант отображения результата в виде квадратного корня, кратного

[2] 2020/08/11 18:10 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Ученица неполной средней школы / Полезно /

Цель использования

Проверка ответов

[3] 2020/08/10 20:00 Мужчина / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Немного /

Цель использования

Проверить результат

Комментарий / запрос

Отсутствует пошаговая визуализация

[4] 2020/07/21 00:30 Женщина / Моложе 20 лет / Начальная школа / Ученица неполной средней школы / Очень /

Цель использования

Перекрестная проверка

9 0002 [5] 2020/07/08 13:31 Мужчина / Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / Высшее образование / Очень /

Цель использования

Проверить работу

[6] 2020/07/ 07 00:56 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Неполный средний класс / Полезно /

Цель использования

Проверка ответов

Комментарий / запрос

Отображение ответов в виде корней вместо длинных чисел

[7] 2020/07/05 13:03 Мужской / До 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования

Проверка ответов

[8] 2020/06/ 21 20:12 Мужчина / До 20 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

для землеустройства

[9] 2020/06/04 21:01 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезное /

Назначение

Перекрестная проверка.

Комментарий / запрос

Дайте окончательный ответ, используя корни, а не десятичные дроби …

[10] 21.04.2020 15:58 Мужчина / До 20 лет / Средняя школа / Университет / Выпускник студент / Очень /

Комментарий / Запрос

Вы можете улучшить, преобразовав в корневой формат

Площадь равностороннего треугольника

Неравенства и отношения в треугольнике

Много информации можно получить даже из самых простых характеристик треугольников. В этом разделе мы узнаем о неравенства и отношения внутри треугольника, раскрывающего информацию о сторонах и углах треугольника. Во-первых, давайте взглянем на два существенных неравенства. которые характеризуют треугольники.

Неравенства треугольника

Напомним, что неравенство — это математическое выражение относительного размера или заказ двух предметов.В геометрии мы видим использование неравенств, когда говорим о длине сторон треугольника, или мера углов треугольника. Начнем изучение неравенств треугольника, рассмотрев теорему о неравенстве треугольника.

Теорема о неравенстве треугольника

Сумма длин двух сторон треугольника всегда должна быть больше, чем длина третьей стороны.

Давайте посмотрим, что означает эта теорема в терминах треугольника, который мы имеем ниже.

Теорема о неравенстве треугольника дает три неравенства:

Поскольку на рисунке выполнены все неравенства, мы знаем эти три длины сторон могут образовывать треугольник.

Важно понимать, что каждое неравенство должно выполняться. Если для некоторых причина, треугольник должен был иметь одну сторону, длина которой была больше, чем сумма две другие стороны, у нас будет треугольник с отрезком, который либо слишком короткий (чтобы треугольник не был замкнут) или слишком длинный (чтобы сторона треугольник выходит слишком далеко).

Не все наши неравенства на диаграмме выше. Начало координат

Поперечные сечения куба

Когда плоскость пересекает куб, получается множество форм поперечного сечения.

Последние пять из них (невырожденные случаи) проиллюстрированы ниже и на http://cococubed.asu.edu/images/raybox/five_shapes_800.png. Некоторые из них также показаны на видео ниже.

Можно использовать [1] для интерактивных экспериментов с поперечными сечениями, заданными точками на краях или гранях, в то время как [2] показывает, как завершить поперечное сечение геометрически, если заданы три точки на краях.

Давайте будем систематическими в определении свойств приведенных выше сечений. Во-первых, если плоскость параллельна ребру (любому из четырех параллельных ребер), поперечное сечение можно рассматривать как линию или прямоугольник с большим размером длины, чаще всего другим. Этот прямоугольник становится квадратом, если плоскость параллельна грани.

Если плоскость не параллельна грани, мы можем установить систему координат, в которой единичный куб помещается в первый октант, выровненный с осями координат, а нормаль к плоскости имеет положительные координаты x, y и z.Другими словами, мы можем предположить, что плоскость имеет уравнение и пересекает точки и, где положительные.

Сечение удовлетворяет и неравенствам, и. Это можно считать пересечением двух регионов

, каждый из которых представляет собой остроугольный треугольник в той же плоскости (острый, потому что можно показать, что сумма квадратов любых двух сторон строго больше, чем квадрат третьей стороны). Обратите внимание, что треугольники имеют параллельные стороны, ограниченные парами параллельных граней куба.Следовательно, два треугольника противоположно подобны с центром подобия.

На следующей диаграмме показаны координаты вершин двух треугольников, которые в данном случае пересекаются в шестиугольнике.

Центр подобия двух треугольников — это пересечение двух линий, соединяющих соответствующие стороны — это может быть точка, которая является пересечением диагонали единичного куба от начала координат (до) и плоскости.

Длины сторон треугольников и расстояния между соответствующими параллельными сторонами могут быть найдены с помощью теоремы Пифагора и показаны ниже для одной пары соответствующих сторон (остальные длины могут быть найдены путем циклической перестановки).

Подводя итог, можно сказать, что все возможные поперечные сечения куба, где плоскость не параллельна ребру, могут быть описаны пересечением двух противоположно подобных треугольников с соответствующими параллельными сторонами.

Тип полученного многоугольника зависит от того, какие вершины на рисунке ниже выбраны, что определяется значениями.

На этом рисунке выбрана вершина многоугольника поперечного сечения, если соблюдается связанное с ней ограничение.Красная вершина имеет конфликтующее ограничение с двумя соседними синими вершинами, поэтому можно выбрать либо красную точку, либо одну или несколько синих точек в этой области. Обратите внимание, что для того, чтобы плоскость вообще пересекала куб, нам нужно находиться на другой стороне плоскости от начала координат, или, другими словами,.

Давайте рассмотрим несколько примеров. Во-первых, если все больше 1, мы выбираем следующий треугольник.

Аналогичным образом, если все меньше 1, будет выбран противоположно подобный треугольник на красных вершинах.

Далее, если мы получим следующий параллелограмм.

Если мы получим либо пятиугольник (параллелограмм, усеченный в вершине), либо трапецию, в зависимости от того, или соответственно.

:

:

Наконец, если меньше 1 и больше 1, мы получаем шестиугольник.

Для получения подробной информации о вычислении площадей таких многоугольников обратитесь к [3], особенно к методу, применяющему принцип косинуса площадей, который связывает площадь фигуры с ее проекцией.Для расчета объемов, относящихся к областям, полученным по поперечному сечению, см.