Определение модуля упругости: Модуль упругости — это… Что такое Модуль упругости?

Определение модуля упругости I рода

Лабораторная работа № 3

Цель работы – опытная проверка справедливости закона Гука при растяжении и определение модуля упругости I рода.

Основные сведения

Экспериментальные исследования на растяжение (сжатие) стандартных образцов показывают, что абсолютные удлинения, получающиеся в начальной стадии растяжения (сжатия), остаются прямопропорциональными растягивающей (сжимающей) силе и зависят от первоначальной длины образца l₀ и площади поперечного сечения А:

Величина ЕА называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Коэффициент Е носит название модуля упругости I рода (используют также название «модуль Юнга» или «модуль продольной упругости«) и является основной физической постоянной, характеризующей упругие свойства (жесткость) материала при линейной деформации.

Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Из формулы (3.1) следует, что модуль упругости

имеет размерность, что и напряжение, — в [Па] или кратных единицах — [кПа], [МПа], а для экспериментального определения его потребуется замерить величины: F, A, l, Δl.

Испытания проводятся на испытательной машине типа Р-5.

Испытывается образец квадратного сечения. Влияние возможной неточности изготовления образца на центральное приложение нагрузки устраняется за счет установки двух тензометров на противоположных продольных гранях образца.

В качестве тензодатчиков используются тензометры Аистова. Среднее удлинение, получаемое из  показания двух тензодатчиков, принимают равным удлинению оси образца.

Диапазон нагрузок зависит от состояния и класса точности установки и предела пропорциональности материала образца. Минимальная загрузка зависит от жесткости самой установки (выборка лифтов, затяжка клиньев и т.п.) и определяется опытным путем. Максимальная загрузка рассчитывается по формуле

Зная диапазон нагрузок, определяют количество и величину ступеней нагружения ΔF.

Порядок выполнения и обработка результатов

Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо ознакомиться с устройством машины Р-5 и рычажным тензометром Аистова.

Образец с закрепленными на нем тензодатчиками устанавливают в захватах машины и приводят в рабочее состояние.

Производят предварительное (минимальное) нагружение образца начальной нагрузкой и при этой нагрузке снимают показания приборов.

Далее нагрузку увеличивают плавно равными ступенями ΔF (5-6 ступеней) и производят соответственно снятие показаний с тензометров.

Доводить нагрузку до очередного значения нужно плавно, не «перескакивая» нужное значение. После осуществления загрузки последней ступени следует разгрузить образец до нагрузки, соответствующей минимальной.

При очередной ступени загрузки результаты опыта заносят в таблицу. Каждому приращению ΔF будет соответствовать приращение ΔП_1i и ΔП_2i, по которым подсчитывают среднее значение

ΔП_ср = (ΔП_1i + ΔП_2i)/2.

Истинное значение удлинения образца находим как

Δl_срi = ΔП_срiК,

где К = 10^-3 мм – цена 1 деления тензометра Аистова.

По значениям нагрузки F и суммарному нарастанию удлинения оси образца строят график диаграммы растяжения образца в координатах F : Δl, по которому проверяют линейность зависимости (справедливость закона Гука).

Для среднего приращения нагрузки (ступени нагружения) определяют среднюю продольную абсолютную деформацию

где П – число ступеней нагружения.

Модуль продольной упругости

где l – база тензометра Аистова.

Полученное в опыте значение модуля упругости Е_оп сравнивают с табличным Е_Т = 2·10¹¹ Па и определяют погрешность опыта.

В заключение работы делают выводы.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется закон Гука для линейного напряженного состояния? Как ограничить верхнюю максимальную нагрузку?
2. Каковы границы применения закона Гука?
3. Что характеризует модуль упругости Е, от чего он зависит и какова его размерность?
4. По какому геометрическому выражению с использованием диаграммы напряжений можно определить Е?
5. Почему при определении деформаций растянутого образца используют два тензометра?

Определение коэффициента Пуассона >
Другие лабораторные работы >

Как найти модуль упругости — Морской флот

Модуль Юнга (синонимы: модуль упругости I рода, модуль продольной упругости) – механическая характеристика материалов, определяющая их способность сопротивляться продольным деформациям. Показывает степень жесткости материала.

Назван в честь английского ученого Томаса Юнга.

Обозначается латинской прописной буквой E
Единица измерения – Паскаль [Па].

В сопротивлении материалов модуль продольной упругости участвует в расчетах на жесткость при растяжении-сжатии и изгибе, а также в расчетах на устойчивость.

Учитывая то, что практически все конструкционные материалы имеют значение E высокого порядка (как правило 10 9 Па), его размерность часто записывают с помощью кратной приставки «гига» (гигапаскаль [ГПа])

Для всех материалов его величину можно определить в ходе эксперимента по определению модуля упругости I рода.

Приближенно значение модуля можно определить по диаграмме напряжений получаемой при испытаниях на растяжение.

Рис. 1 Начальный фрагмент диаграммы напряжений

В этом случае модуль Юнга равен отношению нормальных напряжений к соответствующим относительным деформациям, на участке диаграммы (рис. 1) до предела пропорциональности σ _пц (тангенсу угла α наклона участка пропорциональности к оси деформаций ε ).

В таблице 1 приведены сравнительные значения модуля для некоторых наиболее часто используемых материалов

Одной из главных задач инженерного проектирования является выбор материала конструкции и оптимального сечения профиля. Необходимо найти тот размер, который при минимально возможной массе будет обеспечивать сохранение формы системы под воздействием нагрузки.

Например, какой номер стального двутавра использовать в качестве пролетной балки сооружения? Если взять профиль размерами ниже требуемого, то гарантировано получим разрушение строения. Если больше, то это ведет к нерациональному использованию металла, а, следовательно, утяжелению конструкции, усложнению монтажа, увеличению финансовых затрат. Знание такого понятия как модуль упругости стали даст ответ на вышепоставленный вопрос, и позволит избежать появления данных проблем на самом раннем этапе производства.

Общее понятие

Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) – один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).

В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.

Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.

Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.

Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы – чугун, бетон – сжимают до появления трещин.

Дополнительные характеристики механических свойств

Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:

• Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
• Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
• Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
• Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
• Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
• Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.

Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.

У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.

Значение модуля упругости

Необходимо заметить, что модуль Юнга не является постоянной величиной. Даже для одного и того же материала он может колебаться в зависимости от точек приложения силы.

Некоторые упруго – пластичные материалы обладают более или менее постоянным модулем упругости при работе как на сжатие, так и на растяжение: медь, алюминий, сталь. В других случаях упругость может изменяться исходя из формы профиля.

Вот примеры значений модуля Юнга (в миллионах кгссм2) некоторых материалов:

• Чугун белый – 1,15.
• Чугун серый -1,16.
• Латунь – 1,01.
• Бронза – 1,00.
• Кирпичная каменная кладка – 0,03.
• Гранитная каменная кладка – 0,09.
• Бетон – 0,02.
• Древесина вдоль волокон – 0,1.
• Древесина поперек волокон – 0,005.
• Алюминий – 0,7.

Рассмотрим разницу в показаниях между модулями упругости для сталей в зависимости от марки:

• Стали конструкционные высокого качества (20, 45) – 2,01.
• Стали обычного качества (Ст.3, Ст.6) – 2,00.
• Стали низколегированные (30ХГСА, 40Х) – 2,05.
• Стали нержавеющие (12Х18Н10Т) – 2,1.
• Стали штамповые (9ХМФ) – 2,03.
• Стали пружинные (60С2) – 2,03.
• Стали подшипниковые (ШХ15) – 2,1.

Также значение модуля упругости для сталей изменяется исходя из вида проката:

• Проволока высокой прочности – 2,1.
• Плетенный канат – 1,9.
• Трос с металлическим сердечником – 1,95.

Как видим, отклонения между сталями в значениях модулей упругой деформации имеют небольшую величину. Поэтому в большинстве инженерных расчетов можно пренебречь погрешностями и брать значение Е=2,0.

Если на изделие из определенного материала воздействовать некой силой, то он начинает сопротивляться этому действию: сжиматься, растягиваться или изгибаться. Способность к такому противостоянию можно оценить и выразить математически. Название этой прочностной характеристики – модуль упругости.

Параметр для каждого материала различный, и характеризует его прочность. Пользуются величиной при разработке конструкций, деталей и других изделий, с целью предотвращения нарушения их целостности.

Общее понятие

При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.

Определение модуля Юнга твердых тел

Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.

Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м 2 или по международной системе Па.

Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σ_z) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τ_z).

Опыт с пружинными весами

Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:

где ε – относительное удлинение или деформация.

Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм 2 или Н/м 2 :

Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.

В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.

Способы расчета модуля упругости

Известны также и другие характеристики упругости, которые описывают сопротивление материалов к воздействиям как к линейным, так и отличным от них.

Величина, которая характеризует сопротивление материала к растяжению, то есть увеличению его длины вдоль оси, или к сжатию – сокращению линейного размера, называется модулем продольной упругости.

Обозначается как Е и выражается в Па или ГПа.

Показывает зависимость относительного удлинения от нормальной составляющей cилы (F) к ее площади распространения (S) и упругости (Е):

Параметр также называют модулем Юнга или модулем упругости первого рода, в таблице показаны величины для материалов различной природы.

Название материала	Значение параметра, ГПа
Алюминий	70
Дюралюминий	74
Железо	180
Латунь	95
Медь	110
Никель	210
Олово	35
Свинец	18
Серебро	80
Серый чугун	110
Сталь	190/210
Стекло	70
Титан	112
Хром	300

Модулем упругости второго рода называют модуль сдвига (G), который показывает сопротивление материала к сдвигающей силе (FG). Может быть выражена двумя способами.

• Через касательные напряжения (τ_z) и угол сдвига (γ):

• Через соотношение модуля упругости первого рода и коэффициента Пуасонна (ν):

Определенное в результате экспериментов значение сопротивления материала изгибу, называется модулем упругости при изгибе, и вычисляется следующим образом:

где F_р – разрушающая сила, Н;

L – расстояние между опорами, мм;

b, h – ширина и толщина образца, мм;

ƒ₁, ƒ₂– прогибы, образованные в результате нагрузки F₁ и F₂.

При равномерном давлении по всему объему на объект, возникает его сопротивление,

Прочность и модуль упругости при статическом изгибе

Определение прочности материала при изгибе проводится в соответствии с ГОСТ 4648–71, а модуля упругости – по ГОСТ 9550-81

.

Метод определения прочности при статическом изгибе заключается в кратковременном приложении нагрузки на образец пластмассы.

Образцы для испытаний изготавливают методом литья под давлением или механической вырезкой из пластин, полученных методом пластформования или прямого прессования. Образцы должны иметь вид бруска с размерами, указанными на рисунке 1 и в таблице 1. Рисунок 1: Вид образцов для испытаний на статический изгиб

 Таблица 1

Размеры, мм	Тип образца
	1	2
Длина L	120±2	Не менее 80±2
Ширина b	15±0,5	10±0,5
Толщина h	10±0,5	4±0,2

Для нагружения по трехточечной схеме применяют реверс (рисунок 2). Радиус наконечника 5±0,1 мм, радиус скругления опор 2±0,2 мм.

Нагружая образец до разрушения со скоростью передвижения наконечника 1–2 мм/мин (≈h/2) строят диаграмму деформирования, по максимальной нагрузке в момент разрушения определяют прочность при изгибе.

Модуль упругости при статическом изгибе определяют при нагружении образца в диапазоне до

0,2 F_p. Прогибы измеряют с погрешностью не более 0,1 мм индикатором часового типа ИЧ-10.

В ходе эксперимента измеряют прогибы при двух значениях нагрузки усилий F₁ = (0,05–0,1)×F_р и F₂ = 0,2 F_р. Отсчеты при выбранных значениях сил производят до получения стабильных показаний.

Также модуль упругости определяется

по диаграмме деформирования для нагрузок и прогибов, соответствующих значениям относительной деформации 0,1% и 0,3%.

---

Определение модуля упругости при изгибе: экспериментальная часть

Образец устанавливают в устройство с нагружающим наконечником и опорами, которое реализует трехточечную схему нагружения (см. рисунок 2). В зависимости от толщины образца расстояние между опорами устанавливают согласно соотношению  L_v=16·h±5.

Перед испытанием в средней трети образца замеряют его толщину и ширину с точностью до 0,01 мм. Образец устанавливают на опоры широкой стороной и производят нагружение наконечником по середине. Нагружение проводят плавно без толчков при постоянной скорости, равной

2 мм/мин. В процессе нагружения фиксируют нагрузку в момент разрушения. Образцы, разрушившиеся не в средней трети расстояния между опорами, в расчетах не используют.

Изгибающее напряжение σ_и при максимальной разрушающей нагрузке определяется так:

где F_p – разрушающая нагрузка, Н; L_v – расстояние между опорами, мм; b, h – ширина и толщина образца соответственно, мм.

Модуль упругости

вычисляют по формуле где F₁ = (0,05–0,1)×F_р и F₂ = 0,2 F_р – усилия при нагружении образца, Н;  f₁,  f₂ – прогибы, соответствующие нагрузкам F₁ и F₂, мм; L_v – расстояние между опорами, мм; b,

h – ширина и толщина образца, мм.

За результат измерения прочности и модуля упругости принимают среднее арифметическое значение для всех образцов.

Результаты испытаний заносят в протокол.

---

Образцы протоколов испытаний

ПРОТОКОЛ № ____ от _____________

Определения модуля упругости при изгибе по ГОСТ 9550–80

1. ИСПЫТАТЕЛЬНАЯ МАШИНА (тип, номер, год выпуска, шкала)
2. АППАРАТУРА: (реверс, измеритель прогиба, тип и основные характеристики)
3. МАТЕРИАЛ: (тип, марка или состав связующего, ГОСТ, дата изготовления)
4. ОБРАЗЦЫ: (тип, размеры, база, количество, метод изготовления)
5. УСЛОВИЯ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ: температура 20 °С, относительная влажность 50% в течение 24 ч.
6. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЯ: (температура, влажность, скорость нагружения)
7. РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ:

№ п/п	Lv, мм	Размеры образцов, мм		Нагрузка, Н		Прогиб, мм		Еи, ГПа
		h	b	F1	F2	f1	f2
1
…
Среднее арифметическое значение
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации, %

Испытания провел:

---

ПРОТОКОЛ № ____ от _____________

Испытания на статический изгиб по ГОСТ 4648–71

1. ИСПЫТАТЕЛЬНАЯ МАШИНА (тип, номер, год выпуска, шкала)
2. АППАРАТУРА: (реверс, измеритель прогиба, тип и основные характеристики)
3. МАТЕРИАЛ: (тип, марка или состав связующего, ГОСТ, дата изготовления)
4. ОБРАЗЦЫ: (тип, размеры, база, количество, метод изготовления)
5. УСЛОВИЯ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ: температура 20 °С, относительная влажность 50 % в течение 24 часов.
6. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЯ: (температура, влажность, скорость нагружения)
7. РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ:

№ п/п	Lv, мм	Размеры образцов, мм		Fp, Н	f, мм	sи, МПа
		h	b
1
…
Среднее арифметическое значение
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации, %

Вид разрушения (для каждого образца) –

Испытания провел:

---

 

Список литературы:
Пластмассы. Метод испытания на статический изгиб: ГОСТ 4648–71. – Взамен ГОСТ 4648–63; введ. 01.01.1973. – М.: Изд-во стандартов, 1992. – 12 с.
Пластмассы. Метод определения модуля упругости при растяжении, сжатии и изгибе: ГОСТ 9550–81. – Взамен ГОСТ 9550–71; введ. 01.07.1982. – М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004. – 8 с.
Расчеты и испытания на прочность. Методы механических испытаний композиционных материалов с полимерной матрицей (композитов). Метод испытания на изгиб при нормальной, повышенной и пониженной температурах: ГОСТ 25.604–82. – Введен 01.07.84. М.: Изд-во стандартов, 1983.– 16 с.
Автор: Кордикова Е.И., кандидат технических наук, доцент кафедры механики материалов и конструкций БГТУ
Источник: Композиционные материалы: Лабораторный практикум, 2007 год
Дата в источнике: 2007 год

Модуль сдвига (упругости II рода)

Модулем сдвига (модуль упругости II рода, модуль упругости при сдвиге) – называется физическая величина, характеризующая упругие свойства материалов и их способность сопротивляться сдвигающим деформациям.

Обозначается латинской буквой G,
единица измерения – Паскаль [Па] (гигапаскаль [ГПа])

В сопромате данный модуль используется в расчетах на сдвиг, срез и кручение.

Рис. 1 Деформация сдвига

Теоретически определяется отношением касательных напряжений τ к углу сдвига γ (рис. 1)

где
τ=F/A — касательные напряжения;
γ — угол сдвига;
F — сдвигающая сила;
A — площадь приложения силы F;
ΔS — величина сдвига;
a — размер элемента.

Опытное значение определяется по результатам эксперимента по определению модуля упругости II рода.

Таблица 1. Сравнительные значения модуля для некоторых материалов

Материал	Модуль сдвига G, [ГПа]
Сталь	80
Чугун	45
Медь	40
Титан	40
Алюминий	27
Стекло	26,2

Модуль упругости II рода можно определить с помощью известных модуля Юнга E и коэффициента Пуассона ν:

Модуль сдвига является коэффициентом пропорциональности в законе Гука при сдвиге:

τ=Gγ

При расчетах на кручение, GI_p – жесткость поперечного сечения вала, где I_p — полярный момент инерции поперечного сечения.

Механические характеристики материалов >
Примеры решения задач >

Статические методы определения модулей упругости

СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ  [c.206]

Чаще всего используют статические методы определения модулей упругости, точность которых достаточна для технических расчетов, особенно применительно к условиям работы деталей, близким к статическим. Обычные виды нагружения для определения модулей Е и G — растяжение и кручение. Модули упругости при этом рассчитывают согласно закону Гука  [c.206]

Определение модулей упругости производится статическими и динамическими методами. Однако в условиях высоких температур статическое нагружение сопровождается неупругими явлениями в материале образца, ползучестью и релаксацией. Установка точных тензометров на образец внутри печи весьма затруднена. Поэтому в современных исследованиях используются динамические методы определения модулей упругости материалов при высоких температурах, основанные на связи частоты собственных колебаний образца с модулями упругости. В исследуемом образце возбуждаются упругие резонансные колебания и измеряется их частота. Зная геометрические размеры образца и его плотность и, пользуясь известными формулами теории колебаний, определяют значения модулей упругости.  [c.449]

При сравнении результатов измерения модулей упругости, полученных статическим и динамическим методами, разница в определении составила 1,68%, а в определении G—0,4%. Указанные цифры не выходят за пределы погрешностей статического метода измерения модулей упругости. Следовательно, можно на основании сравнительных испытаний заключить, что погрешности измерения модулей нормальной и касательной упругости разработанным методом не превышают погрешностей статических методов измерений.  [c.454]

Преимущества динамических методов определения модулей упругости — их более высокая точность по сравнению со статическими, а также гибкость методики, позволяющей проследить на одном и том же образце зависимость модулей упругости от различных факторов, в частности от температуры, без значительного силового воздействия.  [c.207]

Методы определения модулей упругости можно подразделить на статические, в которых непосредственно измеряют напряжения и деформации, а модули упругости (МУ) рассчитывают как коэффициенты пропорциональности, и динамические, в которых используется либо связь скоростей распро-  [c.256]

При определении модуля упругости статическим методом его значения будут меняться в зависимости от времени испытания, так как на упругую деформацию могут накладываться деформации, связанные с ползучестью. Поэтому при высоких температурах предпочтительнее применять динамические методы определения модуля упругости.  [c.125]

Экспериментальные методы определения модулей упругости можно разделить на статические и динамические.  [c.190]

Динамические методы определения модулей упругости позволяют проводить измерения при малых деформациях с большей точностью, чем статические при этом погрешность измерения не превышает 1% [57].  [c.190]

Так в работе [11] утверждается, что значения динамического и статического модуля упругости тождественны или отличаются между собой незначительно. Экспериментальным подтверждением служат результаты определения модуля упругости вибрационным методом, которые практически не отличаются от статического модуля упругости при сжатии—растяжении и изгибе. Другими исследователями утверждается [2, 22, 24], что между динамическим и статическим модулями упругости имеется существенное различие, которое зависит от реологических параметров материала (вязкости, тангенса механических потерь), степени анизотропии,  [c.77]

Определение модуля упругости статическим методом  [c.225]

Для контроля подобных дефектов автор рекомендует ультразвуковой метод испытаний. Проведя ультразвуковые и статические испытания с целью определения модуля упругости в зависимости от ориентации волокна и температуры, автор установил, что динамический модуль упругости значительно отличается от статического, причем при повышении температуры это различие заметно увеличивается. Кроме того, при смещении волокон основы между слоями на определенный угол (10°) упругие свойства в этом направлении заметно изменяются. Приведенные полярные диаграммы показывают на зависимость как динамического, так и статического модуля от угла между направлением волокон и направлением испытания.  [c.70]

Определению модуля упругости, даже при комплексном изучении механических свойств сплавов, до сих пор уделялось сравнительно мало внимания. Данные о нем для различных сплавов и сталей при повышенных температурах можно найти в литературе лишь в немногих случаях. Одна из основных причин такого положения заключается в том, что трудно экспериментально определить модуль упругости при высоких температурах статическим методом.  [c.72]

Определение модуля упругости непосредственным измерением величины упругой деформации, особенно при высоких температурах, требует изготовления сложных образцов и точного измерения малых деформаций. Для определения упругих свойств керамических материалов, кроме обычных статических методов испытания, используют также динамические методы, основанные на учете упругих колебаний, вызываемых звуковыми волнами.  [c.158]

Модуль упругости. В графите модуль упругости может быть определен как статическими методами при растяжении, сжатии и изгибе, так и динамическими (динамический модуль упругости и динамический модуль сдвига).  [c.52]

При разработке описываемой установки было проведено сравнение результатов определения модулей нормальной и касательной упругости статическим и разработанным динамическим методом. Для  [c.452]

Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. Затем подробно излагаются методы решения статической пространственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях для композитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости. Дается определение регулярной структуры, квазипериодической структуры и описывается метод решения статических пространственных задач теории упругости для композитов, у которых тензор модулей упругости не обладает свойством периодичности по координатам. Разрабатывается теория нулевого приближения , по которой можно, решая задачу только по теории эффективного модуля, найти приближенно микроперемещения и микронапряжения. Рассматриваются условия неидеального контакта, когда один компонент композита может, например, проскальзывать относительно другого.  [c.91]

Процесс медленного статического нагружения является аналогом изотермического нагружения, когда испытываемый образец успевает достичь теплового равновесия с окружающей средой. Помимо теплового расширения, вклад в величину измеряемой деформации вносят обратимые процессы смещения дефектов кристаллической решетки — примесных атомов, вакансий, дислокаций. Поэтому в литературе к модулям упругости, определенным статическими методами, часто применяют термин релаксированный модуль упругости .  [c.257]

Для определения статического модуля упругости в соответствии с ГОСТом прикладывается нагрузка, равная 1—5% от разрушающей, при скорости 100—150 кгс/см в минуту. При этой нагрузке многие стеклопластики проявляют свои неупругие свойства и вследствие упругого последействия происходит заметное увеличение деформации даже в указанном уровне напряжений, что приводит к снижению статического модуля упругости по сравнению с модулем, определенным импульсным акустическим методом, так как при этом создаются иные условия испытания образца. Процесс деформирования при ультразвуковых испытаниях носит знакопеременный характер, время действия напряжений одного знака составляет миллионные доли  [c.116]

Здесь — релаксированный модуль упругости, а т s и Тег — соответственно время релаксации при постоянной деформации и при постоянном напряжении. При изучении отжига за счет вакансий наиболее важным является определение изменения времени релаксации. Поскольку различие между Те и Тз составляет всего несколько процентов, пользуются средним геометрическим временем релаксации х = [5]. Использованные Зинером в исследованиях явлений неупругости статические и динамические методы были применены им и для изучения вакансий.  [c.358]

Отсюда следует, что при повышенных и высоких температурах более надежными оказываются динамические методы измерения упругости. Однако во многих случаях, в особенности при не очень высоких температурах, достаточно удобными являются статические методы. Поскольку при динамическом определении теплообмен с окружающей средой уменьшается, динамические модули приближаются к адиабатическим.  [c.240]

На величину модуля Е заметное влияние оказывает способ его определения. Установлено, что модуль упругости, определенный с помощью динамических (вибрационных, радиотехнических) методов, имеет несколько более высокие значения, чем определенный обычным статическим методом (по изменению величины деформации с изменением деформирующего усилия). Модуль, определенный динамическим методом, может считаться также и более точным, поскольку быстрые колебания, имеющие место при применении динамических (вибрационных) методов, препятствуют протеканию ползучести и устраняют упругое последействие [9].  [c.40]

Необходимым условием использования сейсмоакустических методов с целью определения статических модулей упругости является установление расчетных соотношений (графиков связи) между величинами Е и [1 и характеристиками, определяемыми по результатам сейсмоакустических исследований. В качестве последних могут выступать как сейсмические характеристики среды-скорости (гр, и коэффициенты (ар, а5) либо декременты (0р, Э ) поглощения продольных и поперечных волн используемой частоты /, так и динамические модули д и [Яд, с хорошей точностью определяемые по данным сейсмоакустических измерений.  [c.209]

Несмотря на то, что между статическими модулями упругости и сейсмическими характеристиками среды теоретически существуют определенные связи (см. 6), на практике обычно идут по пути установления между ними корреляционных зависимостей. При этом применяют методы прямой и косвенной корреляции [36].  [c.209]

Возможности статических методов определения модулей упругости материалов ограничены, так как для испытаний требуются образцы довольно большого размера и лoн нoй формы. Кроме того, для обеспечения достаточной точности необходимы значительные деформации, что делает метод не пригодным для материалов с низким значением предела упругости.  [c.260]

Необходимо иметь в виду, что модуль упругости, определяемый статическим методом, является в той или иной мере релак-сированным , так как на чисто упругую деформацию накладываются деформации, связанные с упругим последействием и ползучестью. В результате величина его меняется в зависимости от времени испытания. Это особенно проявляется при высоких температурах, при которых обычные статические методы определения модуля упругости оказываются недостаточно точными.  [c.72]

Модуль упругости. Значение модуля упругости Е и точность его определения имеют большое значение при расчетах напряжений в деталях. В настоящее время широко используются два метода определения модуля упругости В статический и динамический. Сравнительно большая скорость измерения и диапазон используемых напряжений практически исключают возможность протекания процессов ползучести при статическом методе. Тем не менее между значениями Евмп и Ест обычно наблюдается различие, достигающее 20%, связанное с использованием разных диапазонов напряжений при динамическом методе о- модуля упругости обнаруживаются при его измерении на образцах разных размеров, в различных лабораториях, на металле разных плавок, с разным уковом и т.п.  [c.71]

Статические методы можно использовать для определения модулей упругости металлов и сплавов как в холодном, так и в горячем со1Стояниях при значительных деформациях. Однако при таких деформациях возможен выход материала из области упругого состояния. Это наблюдается при исследовании металлов и сплавов с низкими пределами упругости, а также Бри вы сокотем-пературных измерениях.  [c.190]

Таучерт и Мун [176] использовали с этой целью монотонный импульс и сравнили полученные результаты с характеристиками материала, найденными резонансным и статическим методами. Модули упругости эпоксидных боро- и стеклопластиков, определенные статическим и динамическим (при распространении волны вдоль волокон) методами, различались в пределах 2%. Была такнш установлена возможность предсказания рассеяния волн по результатам резонансных испытаний материалов. Таугерт [172, 173] использовал ультразвуковые волны для описания всех упругих постоянных различных композиционных материалов, а также измерил рассеяние ультразвуковых волн и установил, что предварительное растяжение увеличивает демпфирующие характеристики [174]. Рид и Мансон [142] исследовали рассеяние импульса напряжений в композиционных материалах.  [c.304]

Пластическая деформация и ползучесть могут заметно уменьшить измеренные значения статических модулей упругости, поэтому динамический модуль упругости оказывается больше статического (модуль упругости при статическом растяжении жестких асбопластмасс составляет 1-—13 ГПа, модуль, определенный ультразвуковым методом, 20—25 ГПа). Модуль упругости является характеристикой, необходимой при оценке прочности материала. При упругом контактировании трущихся поверхно-  [c.161]

Метод сил был представлен в гл. 4 в форме определения деформации изгиба. Далее был приведен пример применения этого метода для вычисления перемещ,ений элементов конструкции при изгибе, кручении и сдвиге, а также при действии краевой нагрузки. В этом последнем случае прогиб статически определимой конструкции вычисляется по формуле 6 = 2 SobJ/AE, где Sq — продольное усилие в элементе, вызванное реальной внешней нагрузкой bi усилие в элементе, вызванное фиктивной единичной нагрузкой в направлении определяемого прогиба 6 ПАЕ — гибкость элемента I — длина элемента Е — модуль упругости А — площадь попереч-1Н0Г0 сечения.  [c.190]

Для получения экспериментальных зависимостей в условиях естественного залегания пород используют различные способы нагружения от-дельных участков массива объемом 1-10 м с параллельным наблюде-нием за изменением скорости упругих волн на акустических частотах Обычно эти исследования проводят в комплексе со статическими опы тамй по определению модуля деформации скальных пород. При этоЫ в СССР в основном используется метод штампов [36], в другие странах-метод гидравлических подушек [21]. Эти опыты весьма тру доемки и дорогостоящи. Методика комплексных статических и сейсмо  [c.34]

Так, в механике горных пород используют понятие о модуле упругости, определяемом как коэффициент пропорциональности между величиной действующего напряжения и упругой деформацией в ходе проведения статических испытаний с помощью различных методов гидравлического сжатия, радиальных прессов, штампов, плоских доМ кратов, прессиометрии и т. д. При этом методика статических испытаний предполагает определение Е в условиях значительных напряжений действующих в одном направлении в течение длительного времени. же относится и к другим определяемым в ходе статических испытани11 модулям.  [c.42]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных  [c.512]

---

Определение модуля упругости стальных тросов для компьютерного моделирования

[1] Я. Борошка, Я. Хулин, О. Лесняк, Стальные тросы. Альфа Братислава, 1982, 479 с. (оригинал на словацком языке).

[2] Дж.Борошка, Э. Штроффек, Определение модуля упругости стальных канатов, Руды 11 (1979) 304–308. (оригинал на словацком языке).

[3] Т.Wyss, Stahldrahtseile der Transport un Főrderanlagen, Schweizer Druck — und Verlaghaus, Zűrich, (1956).

[4] J. Hankus, Langsverformungen von Főrderseilen, Glűckauf — Forschungshefte 2 (1976) 19–21.

[5] Г. Федорко, Е. Станова, В. Мольнар, Н. Хусакова, С. Кмет, Компьютерное моделирование и анализ методом конечных элементов спиральных треугольных нитей, Достижения в инженерном программном обеспечении 73 (2014) 11-21.

DOI: 10.1016 / j.advengsoft.2014.02.004

[6] С.Кмет, Е. Станова, Г. Федорко, М. Фабиан, Дж. Броднянский, Экспериментальное исследование и анализ методом конечных элементов четырехслойной спиральной нити, изогнутой на изогнутой опоре, Engineering Structures 57 (2014), 475-483.

DOI: 10.1016 / j.engstruct.2013.09.019

[7] В.Мольнар, Г. Федорко, Б. Стехликова, П. Михалик, Статистическое сравнение прядей веревки с помощью теста ANOVA и теста Крускала-Валиса, Управление образованием Technics Technologies 6 (4) (2011) 1121-1126.

.

Новый подход к определению модуля Юнга

Разработан новый метод вибрационной балки для быстрого определения динамического модуля Юнга. Метод основан на измерении резонансной частоты изгибных колебаний частично закрепленной прямоугольной балки. Образец в форме полосы, закрепленный одним концом на датчике силы и свободный на другом, образует консольную балку Эйлера-Бернулли с линейной пружиной и торсионной пружиной на закрепленном конце. Балка подвергается свободным изгибным колебаниям, просто высвобождая ее из положения изгиба, и ее динамический отклик, обнаруженный датчиком силы, обрабатывается с помощью анализа БПФ.Идентифицированные собственные частоты сначала используются в частотном уравнении для нахождения соответствующих модальных чисел, а затем для вычисления модуля Юнга. Достоверность процедуры была проверена на ряде промышленных материалов путем сравнения измеренного модуля с известными значениями из литературы, и было обнаружено хорошее согласие.

1. Введение

Модуль Юнга является фундаментальным свойством материала, и его определение широко используется в науке и технике [1, 2]. Это ключевой параметр в машиностроительном проектировании, позволяющий прогнозировать поведение материала под действием сил деформации или более, чтобы получить представление о качестве материала.Модули Юнга определяются из статических и динамических тестов. В статических измерениях [3, 4], таких как классическое испытание на растяжение или сжатие, на материал действует одноосное напряжение, а модуль упругости рассчитывается из поперечных и осевых деформаций как наклон кривой зависимости напряжения от деформации в начале координат. . Динамические методы [5–12] более точны и универсальны, поскольку в них используются очень малые деформации, намного ниже предела упругости, и поэтому они практически неразрушающие, что позволяет проводить повторные испытания одного и того же образца.К ним относятся ультразвуковые эхо-импульсные [6, 7] или стержневые резонансные методы [4, 8–14]. В методе звуковых импульсов динамический модуль Юнга определяется путем измерения скорости звука в образце. В резонансном методе линейно-упругий, однородный и изотропный материал с плотностью, обычно имеющей форму стержня известных размеров, подвергается поперечным или изгибным колебаниям, собственная частота -й моды которых связана с модулем Юнга соотношением [ 15, 16] можно точно измерить.В (1) — модальное собственное значение, которое зависит от граничных условий, — длина стержня при колебании, — его площадь поперечного сечения, и — второй момент поперечного сечения, равный для стержня радиуса и для прямоугольный брус шириной и глубиной. Зная модальные числа, просто измерив резонансные частоты, геометрию и плотность образца, модуль Юнга можно определить из (1) как Испытываемый образец обычно размещается таким образом, чтобы имитировать условия свободного или зажатого конца [10–12], когда, связанная с режимом изгиба, является постоянным.

В данной статье мы развиваем новый подход, в котором прямоугольный образец в форме полосы, прикрепленный к датчику силы, образует луч Эйлера-Бернулли с частичными ограничениями поступательного и вращательного движения на фиксированном конце. Эта особенность расширяет возможности метода резонансных пучков, делая его пригодным для материалов с высокой жесткостью и низкой плотностью, и в этом случае трудно определить частоты резонансного изгиба с высокой точностью.

2. Теоретические основы

Рассмотрим прямоугольный брусок постоянной плотности, размеры поперечного сечения которого ширина и глубина намного меньше длины.Штанга прикреплена одним концом к датчику силы с помощью линейных и торсионных пружин постоянных (см. Рисунок 1), а в остальном может свободно перемещаться в поперечном направлении z . Для небольших прогибов, то есть эффектами инерции вращения и деформации сдвига можно пренебречь. В этом случае, если пренебречь прогибом из-за веса, изгибное смещение стержня в точке определяется уравнением Эйлера-Бернулли [10] с граничными условиями при: которые соответствуют балансу сил и моментов соответственно.На свободном конце не действуют момент и поперечная сила, то есть Уравнения (3) — (5) полностью определяют линейную задачу о колебаниях изгиба, в которой собственные частоты балки зависят от жесткости пружины и. Применяя метод разделения переменных, решение (3) можно привести к следующему виду: где описывает нормальный режим, а (=,: резонансная частота) — угловая частота режима. Подстановка (6) в (3) дает задачу на собственные значения в виде обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка где связано с угловой частотой и модальным числом дисперсионным соотношением При граничном условии (4) решение (7) допускает вид изгибной собственной моды: где связанные коэффициенты и определены как с и выражены через экспериментально доступные величины:

.