| Формулы преобразования | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам: | |||||||||
| (λ,G){\displaystyle (\lambda ,\,G)} | (E,G){\displaystyle (E,\,G)} | (K,λ){\displaystyle (K,\,\lambda )} | (K,G){\displaystyle (K,\,G)} | (λ,ν){\displaystyle (\lambda ,\,\nu )} | (G,ν){\displaystyle (G,\,\nu )} | (E,ν){\displaystyle (E,\,\nu )} | (K,ν){\displaystyle (K,\,\nu )} | (K,E){\displaystyle (K,\,E)} | |
| K={\displaystyle K=}модуль объемной упругости | λ+2G3{\displaystyle \lambda +{\frac {2G}{3}}} | EG3(3G−E){\displaystyle {\frac {EG}{3(3G-E)}}} | λ1+ν3ν{\displaystyle \lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}} | 2G(1+ν)3(1−2ν){\displaystyle {\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} | E3(1−2ν){\displaystyle {\frac {E}{3(1-2\nu )}}} | ||||
| E={\displaystyle E=}модуль продольной упругости Юнга | G3λ+2Gλ+G{\displaystyle G{\frac {3\lambda +2G}{\lambda +G}}} | 9KK−λ3K−λ{\displaystyle 9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}} | 9KG3K+G{\displaystyle {\frac {9KG}{3K+G}}} | λ(1+ν)(1−2ν)ν{\displaystyle {\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} | 2G(1+ν){\displaystyle 2G(1+\nu )} | 3K(1−2ν){\displaystyle 3K(1-2\nu )} | |||
| λ={\displaystyle \lambda =}первый параметр Ламе | GE−2G3G−E{\displaystyle G{\frac {E-2G}{3G-E}}} | K−2G3{\displaystyle K-{\frac {2G}{3}}} | 2Gν1−2ν{\displaystyle {\frac {2G\nu }{1-2\nu }}} | Eν(1+ν)(1−2ν){\displaystyle {\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} | 3Kν1+ν{\displaystyle {\frac {3K\nu }{1+\nu }}} | 3K(3K−E)9K−E{\displaystyle {\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}} | |||
| G={\displaystyle G=}модуль сдвига или второй параметр Ламе | 3K−λ2{\displaystyle 3{\frac {K-\lambda }{2}}} | λ1−2ν2ν{\displaystyle \lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}} | E2+2ν{\displaystyle {\frac {E}{2+2\nu }}} | 3K1−2ν2+2ν{\displaystyle 3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}} | 3KE9K−E{\displaystyle {\frac {3KE}{9K-E}}} | ||||
| ν={\displaystyle \nu =}коэф. пуассона | λ2(λ+G){\displaystyle {\frac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} | E2G−1{\displaystyle {\frac {E}{2G}}-1} | λ3K−λ{\displaystyle {\frac {\lambda }{3K-\lambda }}} | 3K−2G2(3K+G){\displaystyle {\frac {3K-2G}{2(3K+G)}}} | 3K−E6K{\displaystyle {\frac {3K-E}{6K}}} | ||||
| M={\displaystyle M=} | λ+2G{\displaystyle \lambda +2G} | G4G−E3G−E{\displaystyle G{\frac {4G-E}{3G-E}}} | 3K−2λ{\displaystyle 3K-2\lambda } | K+4G3{\displaystyle K+{\frac {4G}{3}}} | λ1−νν{\displaystyle \lambda {\frac {1-\nu }{\nu }}} | G2−2ν1−2ν{\displaystyle G{\frac {2-2\nu }{1-2\nu }}} | E1−ν(1+ν)(1−2ν){\displaystyle E{\frac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} | 3K1−ν1+ν{\displaystyle 3K{\frac {1-\nu }{1+\nu }}} | 3K3K+E9K−E{\displaystyle 3K{\frac {3K+E}{9K-E}}} |
Модуль Юнга — Лекции и примеры решения задач технической механики
Модуль Юнга (синонимы: модуль упругости I рода, модуль продольной упругости) – механическая характеристика материалов, определяющая их способность сопротивляться продольным деформациям. Показывает степень жесткости материала.
Назван в честь английского ученого Томаса Юнга.
Обозначается латинской прописной буквой E
Единица измерения – Паскаль [Па].
В сопротивлении материалов модуль продольной упругости участвует в расчетах на жесткость при растяжении-сжатии и изгибе, а также в расчетах на устойчивость.
Учитывая то, что практически все конструкционные материалы имеют значение E высокого порядка (как правило 109 Па), его размерность часто записывают с помощью кратной приставки «гига» (гигапаскаль [ГПа])
Для всех материалов его величину можно определить в ходе эксперимента по определению модуля упругости I рода.
Приближенно значение модуля можно определить по диаграмме напряжений получаемой при испытаниях на растяжение.
Рис. 1 Начальный фрагмент диаграммы напряжений
В этом случае модуль Юнга равен отношению нормальных напряжений к соответствующим относительным деформациям, на участке диаграммы (рис. 1) до предела пропорциональности σ
E=σ/ε=tgα
В таблице 1 приведены сравнительные значения модуля для некоторых наиболее часто используемых материалов
Таблица 1
Материал | Модуль Юнга |
Сталь | 200 |
120 | |
Серый чугун | 110 |
Алюминий | 70 |
Дюралюминий | 74 |
Титан | 120 |
Бронза | 100 |
Латунь | 95 |
Медь | 110 |
Олово | 35 |
Хром | 300 |
Никель | 210 |
Кремний | 110 |
Свинец | 18 |
Бетон | 20 |
Дерево | |
Стекло | 70 |
Модуль упругости I рода служит коэффициентом пропорциональности в формуле описывающей закон Гука:
σ=Eε
Связка модуля Юнга с геометрическими характеристиками поперечных сечений бруса показывает их жесткость:
EA – жесткость поперечного сечения при растяжении-сжатии,
где A – площадь поперечного сечения стержня;
EI – жесткость поперечного сечения при изгибе,
где I – осевой момент инерции сечения балки.
Модуль упругости II рода (модуль сдвига) >
Примеры решения задач >
Модули упругости — это… Что такое Модули упругости?
величины, характеризующие упругие свойства материала. В случае малых деформаций, когда справедлив Гука законВ случае однородного изотропного тела М. у. одинаковы по всем направлениям. Четыре постоянные величины Е, G, K и ν связаны между собой двумя соотношениями:
Следовательно, только две из них являются независимыми величинами и упругие свойства изотропного тела определяются двумя упругими постоянными. В случае анизотропного материала постоянные Е, G и ν принимают различные значения в различных направлениях и величины их могут изменяться в широких пределах. Количество М. у. анизотропного материала зависит от структуры материала. Анизотропное тело, лишённое всякой симметрии в отношении упругих свойств, имеет 21 М. у. При наличии симметрии в материале число М. у. сокращается.
М. у. устанавливаются экспериментально-механическим испытанием образцов изучаемых материалов. М. у. не являются строго постоянными величинами для одного и того же материала, их значения меняются в зависимости от химического состава материала, от его предварительной обработки (термическая обработка, прокат, ковка и др.). Значения М. у. также зависят от температуры материала.
Лит.: Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, 2 изд., М., 1952.
модуль упругости — это… Что такое модуль упругости?
- модуль упругости
- [modulus of elasticity] — величина, характеризующая упругие свойства материала. В случае малых деформаций, когда справедлив закон Гука, т.е. имеет место линейная зависимость между напряжениями и деформациями, модуль упругости представляет коэффициент пропорциональности в этих соотношениях.
Модуль упругости определяют для трех видов деформаций: линейного растяжения, чистого сдвига и объемного сжатия. Способность материала упруго сопротивляться растяжению или сжатию характеризует модуль продольной упругости (модуль Юнга, модуль первого рода) Е. Он равен отношению нормального напряжения σ1 к относительному удлинению ε1/Е = σ1/ε1. Способность материала сопротивляться изменению формы при неизменяемом объеме характеризует модуль сдвига (модуль второго рода) С. Он равен отношению касательного напряжения т к величине угла сдвига γ/G = τ/γ-Способность материала сопротивляться изменению объема характеризует модуль объемного сжатия (модуль объемной упругости) К. Он равен отношению среднего нормального напряжения ϴ = (σ1 + σ2 + σ3)/3 к величине относительного сжатия объема (ϴ = Зе = ε1 + ε2 + ε3): K = σ/ϴ. В однородном изотропном теле модули упругости одинаковы по всем направлениям и связаны двумя соотношениями: G = E/[2(1 + ν)], К = E/[3(1-2ν)J, где ν — коэффициент Пуассона. В случае анизотропного материала постоянные £ и G принимают разные значения в разных направлениях и величины их могут меняться в широких пределах. Модуль упругости не являются строгопостоянными для одного и того же материала, их значения изменяются в зависимости от химического состава материала и его предварительной обработки (термической, давлением и др.) и температуры испытания.
Смотри также:
— Модуль
— модуль Юнга
— модуль пластичности
— кремниевый модуль
— каустический модуль
Энциклопедический словарь по металлургии. — М.: Интермет Инжиниринг. Главный редактор Н.П. Лякишев. 2000.
- modulus of elasticity
- modulus
Смотреть что такое «модуль упругости» в других словарях:
Модуль упругости — Модуль упругости общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль… … Википедия
Модуль упругости — – коэффициент пропорциональности между приложенным к телу напряжением (в упругой области) и обусловленной им величиной деформации. [Тарасов В. В. Материаловедение. Технология конструкционных материалов: учебное пособие для вузов / В. В.… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
модуль упругости — Модуль 2., характеризующий сопротивление материала упругой деформации [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] модуль упругости Отношение силы растяжения, приходящейся на единицу площади поперечного сечения … Справочник технического переводчика
МОДУЛЬ УПРУГОСТИ — (Modulus of elasticity) см. Юнга модуль. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь
МОДУЛЬ УПРУГОСТИ — числовая величина, характеризующая зависимость между напряжением материала и его упругой деформацией. Указанная зависимость определяется законом Гука, устанавливающим, что напряжение равно М. у., умноженному на относительное удлинение (или… … Технический железнодорожный словарь
Модуль упругости Е — Отношение приращения напряжения к соответствующему приращению удлинения в пределах упругой деформации Источник: ГОСТ 1497 84: Металлы. Методы испытаний на растяжение оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
модуль упругости — 3.8 модуль упругости: Параметр, определяемый величиной деформации под воздействием нагружения, используется для характеристики прочности дорожных одежд. Источник: ОДМ 218.2.024 2012: Методические рекомендации по оценке прочности нежестких… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Модуль упругости (Е) — Modulus of elasticity Модуль упругости (Е). (1) Критерий жесткости материала; отношение напряжения вне предела пропорциональности к соответствующему напряжению. Если растягивающее напряжение 13,8 МПа приводит к удлинению на 1,0 %, модуль… … Словарь металлургических терминов
модуль упругости — tampros modulis statusas T sritis chemija apibrėžtis Įtempio ir santykinės deformacijos santykis. atitikmenys: angl. Young modulus; modulus of elasticity rus. модуль упругости; модуль Юнга ryšiai: sinonimas – Jungo modulis … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
модуль упругости — tampros modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. modulus of elasticity vok. Elastizitätsmodul, m rus. модуль упругости, m pranc. module d’élasticité, m … Fizikos terminų žodynas
| Формулы преобразования | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам: | |||||||||
| (λ,G){\displaystyle (\lambda ,\,G)} | (E,G){\displaystyle (E,\,G)} | (K,λ){\displaystyle (K,\,\lambda )} | (K,G){\displaystyle (K,\,G)} | (λ,ν){\displaystyle (\lambda ,\,\nu )} | (G,ν){\displaystyle (G,\,\nu )} | (E,ν){\displaystyle (E,\,\nu )} | (K,ν){\displaystyle (K,\,\nu )} | (K,E){\displaystyle (K,\,E)} | |
| K={\displaystyle K=}модуль объемной упругости | λ+2G3{\displaystyle \lambda +{\frac {2G}{3}}} | EG3(3G−E){\displaystyle {\frac {EG}{3(3G-E)}}} | λ1+ν3ν{\displaystyle \lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}} | 2G(1+ν)3(1−2ν){\displaystyle {\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} | E3(1−2ν){\displaystyle {\frac {E}{3(1-2\nu )}}} | ||||
| E={\displaystyle E=}модуль продольной упругости Юнга | G3λ+2Gλ+G{\displaystyle G{\frac {3\lambda +2G}{\lambda +G}}} | 9KK−λ3K−λ{\displaystyle 9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}} | 9KG3K+G{\displaystyle {\frac {9KG}{3K+G}}} | λ(1+ν)(1−2ν)ν{\displaystyle {\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} | 2G(1+ν){\displaystyle 2G(1+\nu )} | 3K(1−2ν){\displaystyle 3K(1-2\nu )} | |||
| λ={\displaystyle \lambda =}первый параметр Ламе | GE−2G3G−E{\displaystyle G{\frac {E-2G}{3G-E}}} | K−2G3{\displaystyle K-{\frac {2G}{3}}} | 2Gν1−2ν{\displaystyle {\frac {2G\nu }{1-2\nu }}} | Eν(1+ν)(1−2ν){\displaystyle {\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} | 3Kν1+ν{\displaystyle {\frac {3K\nu }{1+\nu }}} | 3K(3K−E)9K−E{\displaystyle {\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}} | |||
| G={\displaystyle G=}модуль сдвига или второй параметр Ламе | 3K−λ2{\displaystyle 3{\frac {K-\lambda }{2}}} | λ1−2ν2ν{\displaystyle \lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}} | E2+2ν{\displaystyle {\frac {E}{2+2\nu }}} | 3K1−2ν2+2ν{\displaystyle 3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}} | 3KE9K−E{\displaystyle {\frac {3KE}{9K-E}}} | ||||
| ν={\displaystyle \nu =}коэф. пуассона | λ2(λ+G){\displaystyle {\frac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} | E2G−1{\displaystyle {\frac {E}{2G}}-1} | λ3K−λ{\displaystyle {\frac {\lambda }{3K-\lambda }}} | 3K−2G2(3K+G){\displaystyle {\frac {3K-2G}{2(3K+G)}}} | 3K−E6K{\displaystyle {\frac {3K-E}{6K}}} | ||||
| M={\displaystyle M=} | λ+2G{\displaystyle \lambda +2G} | G4G−E3G−E{\displaystyle G{\frac {4G-E}{3G-E}}} | 3K−2λ{\displaystyle 3K-2\lambda } | K+4G3{\displaystyle K+{\frac {4G}{3}}} | λ1−νν{\displaystyle \lambda {\frac {1-\nu }{\nu }}} | G2−2ν1−2ν{\displaystyle G{\frac {2-2\nu }{1-2\nu }}} | E1−ν(1+ν)(1−2ν){\displaystyle E{\frac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} | 3K1−ν1+ν{\displaystyle 3K{\frac {1-\nu }{1+\nu }}} | 3K3K+E9K−E{\displaystyle 3K{\frac {3K+E}{9K-E}}} |
Модуль упругости — это… Что такое Модуль упругости?
Модуль упругости – коэффициент пропорциональности между приложенным к телу напряжением (в упругой области) и обусловленной им величиной деформации.
[Тарасов В. В. Материаловедение. Технология конструкционных материалов: учебное пособие для вузов / В. В. Тарасов, В. А. Килин.– Владивосток: Мор. гос. ун-т, 2009,– 140 с.]
Модуль упругости – модуль, характеризующий сопротивление материала упругой деформации.
[ГОСТ 25095-82]
Модуль упругости – коэффициент пропорциональности между нормальным
напряжением и относительным удлинением (укорочением) при простом растяжении (сжатии) прямого стержня в пределах закона Гука, получаемый как отношение нормального напряжения к со- ответствующей относительной линейной деформации. Выражают в паскалях (Па).
[Полякова, Т.Ю. Автодорожные мосты: учебный англо-русский и русско- английский терминологический словарь-минимум / Т.Ю. Полякова, Н.Г. Карасева, Д.В. Поляков. – М.: МАДИ, 2015. – 120 с.]
Рубрика термина: Теория и расчет конструкций
Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование, Абразивы, Автодороги, Автотехника, Автотранспорт, Акустические материалы, Акустические свойства, Арки, Арматура, Арматурное оборудование, Архитектура, Асбест, Аспирация, Асфальт, Балки, Без рубрики, Бетон, Бетонные и железобетонные, Блоки, Блоки оконные и дверные, Бревно, Брус, Ванты, Вентиляция, Весовое оборудование, Виброзащита, Вибротехника, Виды арматуры, Виды бетона, Виды вибрации, Виды испарений, Виды испытаний, Виды камней, Виды кирпича, Виды кладки, Виды контроля, Виды коррозии, Виды нагрузок на материалы, Виды полов, Виды стекла, Виды цемента, Водонапорное оборудование, Водоснабжение, вода, Вяжущие вещества, Герметики, Гидроизоляционное оборудование, Гидроизоляционные материалы, Гипс, Горное оборудование, Горные породы, Горючесть материалов, Гравий, Грузоподъемные механизмы, Грунтовки, ДВП, Деревообрабатывающее оборудование, Деревообработка, ДЕФЕКТЫ, Дефекты керамики, Дефекты краски, Дефекты стекла, Дефекты структуры бетона, Дефекты, деревообработка, Деформации материалов, Добавки, Добавки в бетон, Добавки к цементу, Дозаторы, Древесина, ДСП, ЖД транспорт, Заводы, Заводы, производства, цеха, Замазки, Заполнители для бетона, Защита бетона, Защита древесины, Защита от коррозии, Звукопоглащающий материал, Золы, Известь, Изделия деревянные, Изделия из стекла, Инструменты, Инструменты геодезия, Испытания бетона, Испытательное оборудование, Качество цемента, Качество, контроль, Керамика, Керамика и огнеупоры, Клеи, Клинкер, Колодцы, Колонны, Компрессорное оборудование, Конвеера, Конструкции ЖБИ, Конструкции металлические, Конструкции прочие, Коррозия материалов, Крановое оборудование, Краски, Лаки, Легкие бетоны, Легкие наполнители для бетона, Лестницы, Лотки, Мастики, Мельницы, Минералы, Монтажное оборудование, Мосты, Напыления, Обжиговое оборудование, Обои, Оборудование, Оборудование для производства бетона, Оборудование для производства вяжущие, Оборудование для производства керамики, Оборудование для производства стекла, Оборудование для производства цемента, Общие, Общие термины, Общие термины, бетон, Общие термины, деревообработка, Общие термины, оборудование, Общие, заводы, Общие, заполнители, Общие, качество, Общие, коррозия, Общие, краски, Общие, стекло, Огнезащита материалов, Огнеупоры, Опалубка, Освещение, Отделочные материалы, Отклонения при испытаниях, Отходы, Отходы производства, Панели, Паркет, Перемычки, Песок, Пигменты, Пиломатериал, Питатели, Пластификаторы для бетона, Пластифицирующие добавки, Плиты, Покрытия, Полимерное оборудование, Полимеры, Половое покрытие, Полы, Прессовое оборудование, Приборы, Приспособления, Прогоны, Проектирование, Производства, Противоморозные добавки, Противопожарное оборудование, Прочие, Прочие, бетон, Прочие, замазки, Прочие, краски, Прочие, оборудование, Разновидности древесины, Разрушения материалов, Раствор, Ригеля, Сваи, Сваизабивное оборудование, Сварка, Сварочное оборудование, Свойства, Свойства бетона, Свойства вяжущих веществ, Свойства горной породы, Свойства камней, Свойства материалов, Свойства цемента, Сейсмика, Склады, Скобяные изделия, Смеси сухие, Смолы, Стекло, Строительная химия, Строительные материалы, Суперпластификаторы, Сушильное оборудование, Сушка, Сушка, деревообработка, Сырье, Теория и расчет конструкций, Тепловое оборудование, Тепловые свойства материалов, Теплоизоляционные материалы, Теплоизоляционные свойства материалов, Термовлажносная обработка бетона, Техника безопасности, Технологии, Технологии бетонирования, Технологии керамики, Трубы, Фанера, Фермы, Фибра, Фундаменты, Фурнитура, Цемент, Цеха, Шлаки, Шлифовальное оборудование, Шпаклевки, Шпон, Штукатурное оборудование, Шум, Щебень, Экономика, Эмали, Эмульсии, Энергетическое оборудование
Источник: Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов. — Калининград. Под редакцией Ложкина В.П.. 2015-2016.
Модуль упругости стали в кгс\см2, примеры
Одной из главных задач инженерного проектирования является выбор материала конструкции и оптимального сечения профиля. Необходимо найти тот размер, который при минимально возможной массе будет обеспечивать сохранение формы системы под воздействием нагрузки.
Например, какой номер стального двутавра использовать в качестве пролетной балки сооружения? Если взять профиль размерами ниже требуемого, то гарантировано получим разрушение строения. Если больше, то это ведет к нерациональному использованию металла, а, следовательно, утяжелению конструкции, усложнению монтажа, увеличению финансовых затрат. Знание такого понятия как модуль упругости стали даст ответ на вышепоставленный вопрос, и позволит избежать появления данных проблем на самом раннем этапе производства.
Общее понятие
Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) – один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).
В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.
Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.
Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.
Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы – чугун, бетон – сжимают до появления трещин.
Дополнительные характеристики механических свойств
Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:
- Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
- Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
- Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
- Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
- Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
- Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.
Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.
У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.
Значение модуля упругости
Необходимо заметить, что модуль Юнга не является постоянной величиной. Даже для одного и того же материала он может колебаться в зависимости от точек приложения силы.
Некоторые упруго — пластичные материалы обладают более или менее постоянным модулем упругости при работе как на сжатие, так и на растяжение: медь, алюминий, сталь. В других случаях упругость может изменяться исходя из формы профиля.
Вот примеры значений модуля Юнга (в миллионах кгс\см2) некоторых материалов:
- Чугун белый – 1,15.
- Чугун серый -1,16.
- Латунь – 1,01.
- Бронза — 1,00.
- Кирпичная каменная кладка – 0,03.
- Гранитная каменная кладка – 0,09.
- Бетон – 0,02.
- Древесина вдоль волокон – 0,1.
- Древесина поперек волокон – 0,005.
- Алюминий – 0,7.
Рассмотрим разницу в показаниях между модулями упругости для сталей в зависимости от марки:
- Стали конструкционные высокого качества (20, 45) – 2,01.
- Стали обычного качества (Ст.3, Ст.6) — 2,00.
- Стали низколегированные (30ХГСА, 40Х) – 2,05.
- Стали нержавеющие (12Х18Н10Т) – 2,1.
- Стали штамповые (9ХМФ) – 2,03.
- Стали пружинные (60С2) – 2,03.
- Стали подшипниковые (ШХ15) – 2,1.
Также значение модуля упругости для сталей изменяется исходя из вида проката:
- Проволока высокой прочности – 2,1.
- Плетенный канат – 1,9.
- Трос с металлическим сердечником – 1,95.
Как видим, отклонения между сталями в значениях модулей упругой деформации имеют небольшую величину. Поэтому в большинстве инженерных расчетов можно пренебречь погрешностями и брать значение Е=2,0.
Оцените статью:Рейтинг: 0/5 — 0 голосов
Что такое модуль упругости? (с рисунками)
Модуль упругости, также известный как модуль упругости или модуль Юнга, является мерой того, как материал или конструкция будут деформироваться и деформироваться при воздействии напряжения. Материалы деформируются по-разному при приложении нагрузок и напряжений, и соотношение между напряжением и деформацией обычно меняется. Способность материала сопротивляться или передавать напряжение важна, и это свойство часто используется для определения того, подходит ли конкретный материал для определенной цели.
Инженеры должны понимать прочность и эластичность конструкций и материалов.Это свойство часто определяется в лаборатории с использованием экспериментальной техники, известной как испытание на растяжение , которое обычно проводится на образце материала определенной формы и размеров.Доступны различные испытательные устройства, которые прикладывают очень точные нагрузки и напряжения к образцу, а также точно измеряют и записывают любую результирующую деформацию в материале. Модуль упругости известен для самых разных конструкционных материалов, включая металлы, дерево, стекло, резину, керамику, бетон и пластмассы.
Типовое измерение модуля упругости может быть использовано для определения того, сколько бетона может выдержать напряженное состояние, прежде чем он разрушится или деформируется.Модуль упругости описывает соотношение между напряжением, приложенным к материалу, и его соответствующей деформацией. Напряжение определяется как сила, приложенная к единице площади, с типичными единицами измерения фунтов на квадратный дюйм (фунт / кв. Дюйм) или ньютонов на квадратный метр, также известных как паскалях (Па). Деформация — это мера величины деформации материала при приложении напряжения и рассчитывается путем измерения степени деформации при воздействии напряжения по сравнению с исходными размерами материала.Модуль упругости основан на законе упругости Гука и может быть рассчитан путем деления напряжения на деформацию.
Для многих материалов при низких уровнях напряжения и при растяжении напряжение и деформация пропорциональны — это означает, что они постоянно увеличиваются и уменьшаются относительно друг друга.Деформация материала, возникающая при пропорциональном поведении напряжения и деформации, известна как упругая деформация или упругая деформация . Модуль упругости описывает взаимосвязь между напряжением и деформацией в этих условиях.
Эластичность — это способность материала возвращаться в исходное состояние или размеры после снятия нагрузки или напряжения.Упругая деформация обратима, то есть деформация исчезнет после снятия напряжения и материал вернется в исходное состояние. Материалы, которые подвергаются интенсивным уровням напряжения, могут деформироваться до такой степени, что напряжение и деформация больше не будут вести себя пропорционально, и материал не вернется к своим первоначальным размерам. Это называется пластической деформацией или пластической деформацией .
.Модуль Юнга — определение, формула, единицы измерения, пример, часто задаваемые вопросы
- БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
- КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
- BNAT
- Классы
- Класс 1–3
- Класс 4-5
- Класс 6-10
- Класс 110003 CBSE
- Книги NCERT
- Книги NCERT для класса 5
- Книги NCERT, класс 6
- Книги NCERT для класса 7
- Книги NCERT для класса 8
- Книги NCERT для класса 9
- Книги NCERT для класса 10
- NCERT Книги для класса 11
- NCERT Книги для класса 12
- NCERT Exemplar
- NCERT Exemplar Class 8
- NCERT Exemplar Class 9
- NCERT Exemplar Class 10
- NCERT Exemplar Class 11 9plar
- RS Aggarwal
- RS Aggarwal Решения класса 12
- RS Aggarwal Class 11 Solutions
- RS Aggarwal Решения класса 10
- Решения RS Aggarwal класса 9
- Решения RS Aggarwal класса 8
- Решения RS Aggarwal класса 7
- Решения RS Aggarwal класса 6
- RD Sharma
- RD Sharma Class 6 Решения
- RD Sharma Class 7 Решения
- Решения RD Sharma Class 8
- Решения RD Sharma Class 9
- Решения RD Sharma Class 10
- Решения RD Sharma Class 11
- Решения RD Sharma Class 12
- PHYSICS
- Механика
- Оптика
- Термодинамика
- Электромагнетизм
- ХИМИЯ
- Органическая химия
- Неорганическая химия
- Периодическая таблица
- MATHS
- Статистика
- 9000 Pro Числа
- Числа
- Числа
- Число чисел Тр Игонометрические функции
- Взаимосвязи и функции
- Последовательности и серии
- Таблицы умножения
- Детерминанты и матрицы
- Прибыль и убытки
- Полиномиальные уравнения
- Разделение фракций
- Microology 0003000
- Книги NCERT
- FORMULAS
- Математические формулы
- Алгебраические формулы
- Тригонометрические формулы
- Геометрические формулы
- КАЛЬКУЛЯТОРЫ
- Математические калькуляторы
- 0003000
- 000 Калькуляторы
- 000 Физические модели 900 Образцы документов для класса 6
- Образцы документов CBSE для класса 7
- Образцы документов CBSE для класса 8
- Образцы документов CBSE для класса 9
- Образцы документов CBSE для класса 10
- Образцы документов CBSE для класса 1 1
- Образцы документов CBSE для класса 12
- Вопросники предыдущего года CBSE
- Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
- Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
- HC Verma Solutions
- HC Verma Solutions Класс 11 Физика
- HC Verma Solutions Класс 12 Физика
- Решения Лакмира Сингха
- Решения Лахмира Сингха класса 9
- Решения Лахмира Сингха класса 10
- Решения Лакмира Сингха класса 8
9000 Класс
- Дополнительные вопросы по математике для класса 8 CBSE
- Дополнительные вопросы по науке для класса 8 CBSE
- Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
- Вопросы
- CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
- CBSE Class 10 Science Extra questions
- Class 3
- Class 4
- Class 5
- Class 6
- Class 7
- Class 8 Класс 9
- Класс 10
- Класс 11
- Класс 12
- Решения NCERT для класса 11
- Решения NCERT для класса 11 по физике
- Решения NCERT для класса 11 Химия
- Решения NCERT для биологии класса 11
- Решение NCERT s Для класса 11 по математике
- NCERT Solutions Class 11 Accountancy
- NCERT Solutions Class 11 Business Studies
- NCERT Solutions Class 11 Economics
- NCERT Solutions Class 11 Statistics
- NCERT Solutions Class 11 Commerce
- NCERT Solutions for Class 12
- Решения NCERT для физики класса 12
- Решения NCERT для химии класса 12
- Решения NCERT для биологии класса 12
- Решения NCERT для математики класса 12
- Решения NCERT, класс 12, бухгалтерский учет
- Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
- NCERT Solutions Class 12 Economics
- NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
- NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
- NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
- NCERT Solutions Class 12 Commerce
- NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
- NCERT Solut Ионы Для класса 4
- Решения NCERT для математики класса 4
- Решения NCERT для класса 4 EVS
- Решения NCERT для класса 5
- Решения NCERT для математики класса 5
- Решения NCERT для класса 5 EVS
- Решения NCERT для класса 6
- Решения NCERT для математики класса 6
- Решения NCERT для науки класса 6
- Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
- Решения NCERT для класса 6 Английский язык
- Решения NCERT для класса 7
- Решения NCERT для математики класса 7
- Решения NCERT для науки класса 7
- Решения NCERT для социальных наук класса 7
- Решения NCERT для класса 7 Английский язык
- Решения NCERT для класса 8
- Решения NCERT для математики класса 8
- Решения NCERT для науки 8 класса
- Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
- Решения NCERT для класса 8 Английский
- Решения NCERT для класса 9
- Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
- Решения NCERT для математики класса 9
- Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 2 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 3
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 5 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 6
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 7 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 8
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 9
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 10 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 11 Решения
- NCERT для математики класса 9 Глава 12 Решения NCERT
- для математики класса 9 Глава 13
- NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
- Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
- Решения NCERT для науки класса 9
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13 Решения NCERT
- для науки класса 9 Глава 14
- Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
- Решения NCERT для класса 10
- Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
- Решения NCERT для математики класса 10
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 2
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 3
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 4
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 5 Решения NCERT для математики класса 10, глава 6
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 7
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 8
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 9
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 10
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава ter 13
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
- Решения NCERT для класса 10 науки Глава 1
- Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 2
- Решения NCERT для класса 10, глава 3
- Решения NCERT для класса 10, глава 4
- Решения NCERT для класса 10, глава 5
- Решения NCERT для класса 10, глава 6
- Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 7
- Решения NCERT для класса 10, глава 8
- Решения NCERT для класса 10, глава 9
- Решения NCERT для класса 10, глава 10
- Решения NCERT для класса 10, глава 11
- Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 12
- Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 13
- NCERT S Решения для класса 10 по науке Глава 14
- Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 15
- Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 16
- Class 11 Commerce Syllabus
- Учебный план класса 11
- Учебный план класса 11
- Учебный план экономического факультета 11
- Учебный план по коммерции класса 12
- Учебный план класса 12
- Учебный план класса 12
- Учебный план
- Класс 12 Образцы документов для торговли
- Образцы документов для предприятий класса 11
- Образцы документов для коммерческих предприятий класса 12
- TS Grewal Solutions
- TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
- TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
Отчет о движении денежных средств 9 0004 - Что такое предпринимательство
- Защита потребителей
- Что такое основные средства
- Что такое баланс
- Что такое фискальный дефицит
- Что такое акции
- Разница между продажами и маркетингом
- Образцы документов ICSE
- Вопросы ICSE
- ML Aggarwal Solutions
- ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
- ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
- ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
- ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths Решения Математика класса 6
- Решения Селины
- Решения Селины для класса 8
- Решения Селины для класса 10
- Решение Селины для класса 9
- Решения Фрэнка
- Решения Фрэнка для математики класса 10
- Франк Решения для математики 9 класса
- ICSE Class
- ICSE Class 6
- ICSE Class 7
- ICSE Class 8
- ICSE Class 9
- ICSE Class 10
- ISC Class 11
- ISC Class 12
- 900 Экзамен по IAS
- Мок-тест IAS 2019 1
- Мок-тест IAS4
- Экзамен KPSC KAS
- Экзамен UPPSC PCS
- Экзамен MPSC
- Экзамен RPSC RAS
- TNPSC Group 1
- APPSC Group 1
- Экзамен BPSC
- Экзамен WPSC
- Экзамен
- Экзамен GPSC
- Ответный ключ UPSC 2019
- Коучинг IAS Бангалор
- Коучинг IAS Дели
- Коучинг IAS Ченнаи
- Коучинг IAS Хайдарабад
- Коучинг IAS Мумбаи
- Программа BYJU NEET
- NEET 2020
- NEET Eligibility
- NEET Eligibility
- NEET Eligibility 2020 Подготовка
- NEET Syllabus
- Support
- Разрешение жалоб
- Служба поддержки клиентов
- Центр поддержки
- GSEB
- GSEB Syllabus GSEB Образец статьи 003 GSEB Books
- MSBSHSE Syllabus
- MSBSHSE Учебники
- MSBSHSE Образцы статей
- MSBSHSE Вопросы
- 9000
- AP 2 Year Syllabus
- MP Board Syllabus
- MP Board Образцы документов
- Учебники MP Board
- Assam Board Syllabus
- Assam Board
- Assam Board
- Assam Board Документы
- Bihar Board Syllabus
- Bihar Board Учебники
- Bihar Board Question Papers
- Bihar Board Model Papers
- Odisha Board
- Odisha Board
- Odisha Board 9000
- ПСЕБ 9 0002
- PSEB Syllabus
- PSEB Учебники
- PSEB Вопросы и ответы
- RBSE
- Rajasthan Board Syllabus
- RBSE Учебники
- RBSE
- 000 RBSE 000 HPOSE
- 000 HPOSE
- 000 000 HPOSE
- 000 HPOSE
- 000 000
000 HPOSE - 000 HPOSE 000
- JKBOSE Syllabus
- JKBOSE Образцы документов
- Шаблон экзамена JKBOSE
- TN Board Syllabus 9000 Papers 9000 TN Board Syllabus
Модуль сдвига (модуль жесткости)
- БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
- КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
- BNAT
- Классы
- Класс 1–3
- Класс 4-5
- Класс 6-10
- Класс 110003 CBSE
- Книги NCERT
- Книги NCERT для класса 5
- Книги NCERT, класс 6
- Книги NCERT для класса 7
- Книги NCERT для класса 8
- Книги NCERT для класса 9
- Книги NCERT для класса 10
- NCERT Книги для класса 11
- NCERT Книги для класса 12
- NCERT Exemplar
- NCERT Exemplar Class 8
- NCERT Exemplar Class 9
- NCERT Exemplar Class 10
- NCERT Exemplar Class 11 9plar
- RS Aggarwal
- RS Aggarwal Решения класса 12
- RS Aggarwal Class 11 Solutions
- RS Aggarwal Решения класса 10
- Решения RS Aggarwal класса 9
- Решения RS Aggarwal класса 8
- Решения RS Aggarwal класса 7
- Решения RS Aggarwal класса 6
- RD Sharma
- RD Sharma Class 6 Решения
- RD Sharma Class 7 Решения
- Решения RD Sharma Class 8
- Решения RD Sharma Class 9
- Решения RD Sharma Class 10
- Решения RD Sharma Class 11
- Решения RD Sharma Class 12
- PHYSICS
- Механика
- Оптика
- Термодинамика
- Электромагнетизм
- ХИМИЯ
- Органическая химия
- Неорганическая химия
- Периодическая таблица
- MATHS
- Статистика
- 9000 Pro Числа
- Числа
- Числа
- Число чисел Тр Игонометрические функции
- Взаимосвязи и функции
- Последовательности и серии
- Таблицы умножения
- Детерминанты и матрицы
- Прибыль и убытки
- Полиномиальные уравнения
- Разделение фракций
- Microology 0003000
- Книги NCERT
- FORMULAS
- Математические формулы
- Алгебраические формулы
- Тригонометрические формулы
- Геометрические формулы
- КАЛЬКУЛЯТОРЫ
- Математические калькуляторы
- 0003000
- 000 Калькуляторы
- 000 Физические модели 900 Образцы документов для класса 6
- Образцы документов CBSE для класса 7
- Образцы документов CBSE для класса 8
- Образцы документов CBSE для класса 9
- Образцы документов CBSE для класса 10
- Образцы документов CBSE для класса 1 1
- Образцы документов CBSE для класса 12
- Вопросники предыдущего года CBSE
- Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
- Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
- HC Verma Solutions
- HC Verma Solutions Класс 11 Физика
- HC Verma Solutions Класс 12 Физика
- Решения Лакмира Сингха
- Решения Лахмира Сингха класса 9
- Решения Лахмира Сингха класса 10
- Решения Лакмира Сингха класса 8
9000 Класс
- Дополнительные вопросы по математике для класса 8 CBSE
- Дополнительные вопросы по науке для класса 8 CBSE
- Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
- Вопросы
- CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
- CBSE Class 10 Science Extra questions
- Class 3
- Class 4
- Class 5
- Class 6
- Class 7
- Class 8 Класс 9
- Класс 10
- Класс 11
- Класс 12
- Решения NCERT для класса 11
- Решения NCERT для класса 11 по физике
- Решения NCERT для класса 11 Химия
- Решения NCERT для биологии класса 11
- Решение NCERT s Для класса 11 по математике
- NCERT Solutions Class 11 Accountancy
- NCERT Solutions Class 11 Business Studies
- NCERT Solutions Class 11 Economics
- NCERT Solutions Class 11 Statistics
- NCERT Solutions Class 11 Commerce
- NCERT Solutions for Class 12
- Решения NCERT для физики класса 12
- Решения NCERT для химии класса 12
- Решения NCERT для биологии класса 12
- Решения NCERT для математики класса 12
- Решения NCERT, класс 12, бухгалтерский учет
- Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
- NCERT Solutions Class 12 Economics
- NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
- NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
- NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
- NCERT Solutions Class 12 Commerce
- NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
- NCERT Solut Ионы Для класса 4
- Решения NCERT для математики класса 4
- Решения NCERT для класса 4 EVS
- Решения NCERT для класса 5
- Решения NCERT для математики класса 5
- Решения NCERT для класса 5 EVS
- Решения NCERT для класса 6
- Решения NCERT для математики класса 6
- Решения NCERT для науки класса 6
- Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
- Решения NCERT для класса 6 Английский язык
- Решения NCERT для класса 7
- Решения NCERT для математики класса 7
- Решения NCERT для науки класса 7
- Решения NCERT для социальных наук класса 7
- Решения NCERT для класса 7 Английский язык
- Решения NCERT для класса 8
- Решения NCERT для математики класса 8
- Решения NCERT для науки 8 класса
- Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
- Решения NCERT для класса 8 Английский
- Решения NCERT для класса 9
- Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
- Решения NCERT для математики класса 9
- Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 2 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 3
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 5 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 6
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 7 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 8
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 9
- Решения NCERT для математики класса 9, глава 10 Решения NCERT
- для математики класса 9, глава 11 Решения
- NCERT для математики класса 9 Глава 12 Решения NCERT
- для математики класса 9 Глава 13
- NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
- Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
- Решения NCERT для науки класса 9
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
- Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13 Решения NCERT
- для науки класса 9 Глава 14
- Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
- Решения NCERT для класса 10
- Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
- Решения NCERT для математики класса 10
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 2
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 3
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 4
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 5
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 6
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 7
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 8
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 9
- Решения NCERT для математики класса 10, глава 10
- Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11