Вершины шестиугольник: Вершина — шестиугольник — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Учитывая ориентированный граф, мне нужно найти минимальный набор вершин, из которых могут быть достигнуты все остальные вершины. Таким образом, результатом функции должно быть наименьшее число…

Пусть будет круг радиусом r. Я хочу узнать площадь шестиугольника, нарисованного вокруг круга. Дополнено образцовое изображение, за исключением того, что мне нужно, чтобы все были шестиугольника, а…

У меня есть неориентированный связный граф, и я хочу изолировать все его вершины, удалив не ребра, а вершины, я хочу свести число вершин, которые я удаляю, к минимуму. Я знаю, что для достижения…

Итак, я пытаюсь создать шестиугольники для своей игры. Первый вариант, который у меня был, — это иметь несколько изображений шестиугольника, но у меня возникли проблемы с кликабельной областью, так…

Я пытаюсь получить вершины шестиугольников, нарисованных методом hexbin(), используя matplotlib и python. Получил количество точек в каждом шестиугольнике, используя .get_arrays(), и попытался…

Таким образом, в основном у меня есть граф и ID конкретной вершины в графе в GraphX. Учитывая, что VertexID, как мне получить все непосредственно связанные вершины к этой одной вершине? (IE, только…

Я использую Titan на DynamoDB. у меня есть ориентированный реберный граф без циклов. Учитывая вершину, мне нужны все пути, исходящие из этой вершины. Путь означает только список(ы) вершин на каждом…

В моем случае есть две метки вершин: пользователь, продавец. Регистрация пользователя создание новой вершины с помощью пользовательского идентификатора вершины : g.addV(label,’User’, ‘id’,…

Многоугольники /qualihelpy

Две вершины многоугольника называются смежными, если они соединяются стороной многоугольника. Две стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несмежные вершины. 

Многоугольник называют выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. 

Например, на рисунке 8.22 изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 8.23 – невыпуклый.

Вершины многоугольника являются вершинами его углов. Различают внутренние и внешние углы многоугольника. 

Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом. 

Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника находят по формуле:

где n – число сторон (углов) многоугольника. 

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. 

Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все его углы равны. 

Например, на рисунке 8.24 изображен правильный треугольник, на рисунке 8.25 – правильный четырехугольник, а на рисунке 8.26 – правильный шестиугольник.

Внутренние углы правильного n-угольника находят по формуле: 

В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Как начертить объемный шестиугольник — Морской флот

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Начинаем складывать с квадрата.

Намечаем на квадрате диагонали.

С помощью защипа намечаем середину правой стороны.

Возвращаем правый угол в исходное положение.

Верхнюю половину правой стороны делим пополам. Для этого закрепку совмещаем с верхним углом. Обе закрепки должны быть параллельны левой стороне.

Сгибаем правый угол так, что бы линия сгиба прошла из середины основания, и намеченные закрепки совпали.

Переворачиваем на противоположную сторону.

Перегибаем правый угол. Линия сгиба идет из основания. Нижняя сторона правого угла совмещается с левой боковой стороной.

Возвращаем верхний треугольник.

По намеченной линии отрезаем верхнюю часть.

Расправляем фигурку и получаем правильный шестиугольник.

Построение шестигранника может производиться несколькими способами. Удобнее всего использовать стандартный набор чертежных инструментов: циркуль, линейку. Однако, в отсутствие циркуля, фигура этого типа может быть начерчена с помощью рейсшины, угольника заводского изготовления с углами 90/60/30°.

Шестигранники применяются для откручивания и закручивания болтов при ремонте и сборке мебели.

В обоих случаях особенностью построения является элементарное знание основ геометрии. В правильном шестиугольнике длина его стороны всегда равна радиусу окружности, описанной вокруг него, противоположные стороны параллельны, грани сопрягаются под углом 60°.

Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.

Метод выглядит следующим образом:

Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

• циркулем вычерчивается окружность — радиус является размером стороны;
• по линейке проводится радиус — точки пересечения этого отрезка будут углами многоугольника;
• находятся два угла многоугольника — циркуль переставляется в одну из точек пересечения отрезка (проведенный на предыдущем этапе диаметр), на дуге делаются отметки;
• находятся оставшиеся два угла — циркуль перемещается в противоположную точку пересечения отрезка с дугой окружности, создаются отметки пересечения на второй стороне окружности.

Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента. При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом. Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.

Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.

Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины — специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию. Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений. Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.

Способ построения выглядит следующим образом:

Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

• к одной стороне отрезка прикладывается угольник — короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
• на листе/заготовке вычерчивается линия — длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
• операция повторяется при развороте угольника — угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
• разворот угольника — теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
• уточнение размеров сторон — на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
• строительство двух оставшихся сторон — они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
• контроль параллельности — шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком

Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе. Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.

Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.

Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a — диаметр, b — сторона шестигранника.

В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:

• после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
• инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
• короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
• скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.

Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.

Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.

Домашнее задание с решениями к уроку 32 «Многоугольники» по книге В.В Ткачук «Математика

Урок 32. Многоугольники

Домашнее задание из В.В. Ткачук «Математика — абитуриенту»

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равна . Известно, что AD = 2, расстояние от точки пересечения биссектрис в треугольнике ABD до точки пересечения биссектрис в треугольнике ACD равно . Найдите длину стороны BC.
2. Известно, что в выпуклом четырехугольнике ABCD угол ACD равен 60^о, AD = 7, BC = 3. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Перпендикуляр из точки А на прямую CD делит угол BAD пополам. Найдите длину диагонали AC.
3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекает продолжение стороны DC за точку C в точке E. Известно, что AB = 2, BD = , CD = 5, BE:EC=4:3. Найдите угол BAD.
4. В выпуклом четырехугольнике NPQM сторона NP равна b. Точка А лежит на стороне PQ, а точка B — на стороне NM. Отрезок AB разбивает четырехугольник NPQM на два четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Известно, что разность периметров четырехугольников BAQM и ABNP равна 2p. Найдите сторону MQ.
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников BOC, COD и AOD равны соответственно 20, 40 и 60. Кроме того, AO = 8, AB = 15, угол BOA больше 31^о. Найдите угол BAO.
6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Площади треугольников ABE и DCE равны 1, а площадь четырехугольника ABCD не превосходит 4. Найдите BC, если AD = 3.
7. В выпуклом четырехугольнике ABCD имеем AB = 3, BD = , причем угол BCD равен 120^о. Кроме того,. площадь четырехугольника ABCD равна (ABCD+BCAD)/2. Найдите длину стороны AD.
8. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD, для которого AB = BC,  S_ABD=2S_BCD, угол ADC равен 120^о. Найдите все стороны четырехугольника ABCD.
9. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке M, AM = 2MD. Перпендикуляр, опущенный из вершины А на прямую BC, делит отрезок BC пополам. Найдите все стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен , угол BAD прямой и угол ABC равен 60^о.
10. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки К, лежащей на продолжении AF (KA<KF), KA = , проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Ее внешняя часть KN равна 2, и угол NFH тупой. Найдите угол HKF.
11. Выразите сторону правильного десятиугольника через радиус описанной окружности.
12. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность их периметров равна а.
13. В круг радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что углы BAF, BCD, DEF равны, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника.
14. Найдите площадь пятиугольника, ограниченного прямыми BC, CD, AN и MA, где A, B, D — три вершины квадрата ABCD со стороной а, N — середина BC, точка M лежит на стороне CD, причем CM:MD=2:1.
15. Правильный шестиугольник ABCDEK вписан в окружность радиуса R. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
16. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем BD параллельно AE, угол CAE в два раза больше угла CEA, угол CBD на  градусов превосходит угол CDB. Для треугольника ACE найдите отношение радиуса вписанной окружности к периметру.
17. Семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ вписан в окружность, центр которой лежит внутри него. Докажите, что сумму углов A₁, A₃, A₅ меньше 450^о.
18. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной из сторон взята точка А на расстоянии 1 от ближайшей вершины шестиугольника. Найдите расстояние от точки А до центра шестиугольника.
19. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точки А₁, B₁, C₁, D₁, E₁, F₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DE, EF, FA. Сторона шестиугольника равна а, причем AA₁=A₁B, B₁C=2BB₁, C₁D=3CC₁, D₁E=4DD₁, E₁F=5EE₁, F₁A=6FF₁. Найдите площадь шестиугольника A₁B₁C₁D₁E₁F₁.
20. [3] Прямая проходит через центр правильного n-угольника. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой (проходящей через центр) и найдите эту сумму.

Ответы к домашнему заданию урока 32 из В.В. Ткачук «Математика — абитуриенту»

2. 4
4. p+b
5. 30^o
6. 3
7. 1 или 2
8. AB = BC = , CD = , AD = 
9. AB = BC = 2, CD = 1, AD = , 

Урок 1. многоугольники. четырёхугольник — Геометрия — 8 класс

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD, DE, EF, FA так, что смежные отрезки (имеющие общую точку) лежат на одной прямой, а не смежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником.
Точки A, B, C, D, E, F называются вершинами многоугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA – сторонами многоугольника.
Многоугольник с n вершинами имеет n сторон и называется n-угольником.
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне называются соседними. Отрезок, соединяющий любые не соседние вершины многоугольника, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Примером выпуклого многоугольника является четырехугольник. У него 4 вершины, 4 угла, 4 стороны, 2 диагонали.
Треугольник является многоугольником. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Возникает вопрос: можно ли найти сумму углов произвольного n-угольника?
Рассмотрим поочередно четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. Одну из вершин этих многоугольников соединим диагоналями с другими вершинами так, чтобы получились треугольники. Первый множитель в формуле для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника равен 180°, так как мы разбивали на треугольники. А второй множитель на 2 меньше числа сторон многоугольника, то есть равен n – 2
Получается формула для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника: (n – 2) * 180º

Почему снежинка шестиугольная

— Я слышал этот вопрос миллион раз, и он каждый раз вызывает у меня недоумение. Люди это рассматривают как какой-то таинственный парадокс снежинок. Не знаю, кто его придумал, но с какой стати все кристаллы льда должны быть одинаковыми?

Разве что-то во Вселенной бывает абсолютно одинаковым? Не бывает двух одинаковых кристаллов соли, двух одинаковых отпечатков пальцев или двух одинаковых цветочков ромашки. Там, где растет один кристалл и где другой, могут быть разные температурные режимы, разные течения питающего раствора. Они абсолютно одинаковыми и не должны быть. Но они могут быть очень похожими.

— Что еще можно добавить о снежинках из научно-популярных фатов?

— Очень часто, даже как правило, снежинки являются так называемыми скелетными кристаллами. Это само по себе достаточно необычно. Большинство веществ образуют кристаллы, являющиеся выпуклыми многогранниками. А снежинки являются не выпуклыми многогранниками, а, наоборот, выпирают наружу ребра и вершины, а грани являются как бы вдавленными внутрь.

Обычная снежинка выглядит подобно ветке дерева: от ствола отходят ветки, а от них — еще более мелкие ветки. Это фрактальная структура, если хотите. Почему же так происходит в случае снежинок? Обычно скелетные кристаллы образуются при быстрой кристаллизации из сильно пересыщенных растворов или переохлажденных расплавов и газов. То есть такие скелетные формы образуются, когда кристалл растет быстро и пытается дотянуться до максимального количества питательной среды. Если бы кристаллы льда — снежинки — образовывались в более равновесных условиях, то они бы выросли как выпуклые многогранники (и такие кристаллы тоже известны). Но интересно, что в атмосфере, когда идет образование снега, условия не такие — они далеки от равновесных.

— Со снежинками современной науке все предельно ясно и понятно? Ими уже никто не занимается?

— Есть много людей, которые занимаются льдом. Лед вызывает большой интерес у людей, там интересная физика. Про лед можно долго рассказывать — у него есть много полиморфных модификаций, которые образуются, в частности, при высоких давлениях. Там много интересных явлений, таких как аморфизация, вызванная давлением. Если вы берете обычный лед и сдавливаете его при низкой температуре, он вдруг превращается в стеклообразный лед без кристаллической структуры. Это само по себе интересно и не до конца еще понято.

Есть люди, которые всю свою жизнь занимаются льдом и про лед знают всё. Я касался темы льда всего лишь несколько раз в своей жизни. Но мне никогда не было интересно посвящать свою жизнь одному конкретному соединению.

— В недавнем интервью вы сказали: «Я всегда делаю такие вещи, которые делать не принято, в науке занимаюсь задачами, которые считались нерешаемыми». Что вы имели в виду?

— В науке есть модные темы. И когда они возникают, в эти темы идет огромное число исследователей. Это неплохо само по себе, потому что модными темы становятся не просто так, а потому, что они интересны и многообещающи. Но я всегда сторонился модных тем, если только не видел, что могу в этой моде стать законодателем. Я люблю заниматься теми задачами, где нет толкучки и суеты, и при этом знаю, что могу сдвинуть гору и завтра эта тема станет модной. Как правило, темы, которыми я занимаюсь, вчера еще не были модными, а сегодня или завтра вдруг становятся популярными. Но мне удается избежать толкучки, потому что в этой теме я имею фору по времени.

— Назовите, пожалуйста, сами темы, чтобы было понятно, чем занимается кристаллограф. 

— Кристаллографы изучают расположение атомов в структуре вещества и то, как оно предопределяет свойства материалов. Это очень широкая и междисциплинарная область. Список тем, которыми занимаюсь я, таков: предсказание кристаллических структур, предсказание материалов с требуемыми свойствами, химия наночастиц, химия высоких давлений (новые типы соединений и высокотемпературная сверхпроводимость под давлением, химия планетных недр). В этих темах есть много задач, которые «спали», а мы их «разбудили» — и они теперь стали интересны большому кругу ученых.

Мы, ученые, все разные, и это очень хорошо. Мне кажется, что это и в науке, и в жизни очень важно — быть самим собой. Люди, как правило, сильно недооценивают и не вполне понимают этот принцип. Есть люди, которые считают, что быть собой — это ходить в трусах по улице и красить волосы в фиолетовый цвет, они так самовыражаются. А кто-то считает, что надо быть как другие и не высовываться. Я думаю, оба эти подхода неправильные. Мой принцип такой: знать себя, стараться понять себя и мир, в котором ты живешь, и следовать своим лучшим инстинктам. Развиваться, искать себя, не пытаться кого-то копировать, а стремиться найти свой путь и быть честным по отношению к себе и другим. Это применимо и к науке. Не нужно делать то, что делают все вокруг тебя. Жизнь пройдет, и ты так и не узнаешь, зачем ты ее прожил. Ученый не может себе позволить копировать других. Если ты всегда остаешься самим собой, то и научные задачи у тебя будут свои, и результаты будут свои. Когда человек остается самим собой, он незаменим. Когда же он копирует других, он по определению заменим и не уникален.

Источник: naukatv.ru

полигонов

Полигоны: термины и описания

Определение: многоугольник — мертвый попугай!

В шутку возможно, но по геометрии,

Многоугольник — плоская фигура, образованная 3 или
более пересекающихся отрезков .

Линии называются сторонами , а точка или угол , где встречаются 2 стороны, называется вершиной (множественное число — вершины — произносится vur — tih — видит ). Мы обозначим вершины заглавными (заглавными) буквами (см. Зеленый пятиугольник ниже). Линия, соединяющая последовательные вершины, является стороной.

Диагональ — это отрезок линии , который соединяет любых двух непоследовательных вершин многоугольника (показано розовым шестиугольником ниже).

Многоугольник со сторонами n имеет внутренние углы n и внешние углы n .
внешний угол образован стороной , а продолжение — смежной стороной .

В правильном многоугольнике все сторон, все внутренние и все внешние углы равны .

Правильные треугольники и четырехугольники имеют особые названия.
Правильный треугольник называется равносторонним треугольником .
Правильный четырехугольник называется квадрат .

Именование полигонов

Почти в каждой книге по математике, в которой обсуждается многоугольник, мы встретим это утверждение:

полигонов названы по количеству сторон.

Это не совсем так. Единственный многоугольник, который правильно назван по количеству сторон, — это четырехугольник, поскольку quad в качестве префикса означает четыре , а lateral означает сторону .Боковой пас в футболе — это пас в сторону , а не вперед. Односторонний означает односторонний, а двусторонний — двусторонний.

Все остальные полигонов , такие как пента угольник , шестигранник угольник и окта угольник , именуются по количеству их вершин или углов . Суффикс « гон » происходит от греческого слова « гония », что означает угол или угол.Однако, поскольку количество углов в многоугольнике всегда равно количеству сторон , мы можем продолжать делать вид, что многоугольники названы по количеству сторон.

Но на самом деле мы называем полигонов по количеству вершин или углов в них .
Треугольник имеет 3 угла , о которых свидетельствует его название.
пент агон имеет 5 углов и 5 сторон, а угольник дека имеет 10 и т. д.

Знак остановки на углу представляет собой обычный окт агон — с 8 равными углам и сторонам. Плиточные стены и полы в наших зданиях и домах состоят из правильных многоугольников, образующих узоры. Наши дворы, здания, мебель и одежда имеют форму различных многоугольников, поэтому они встречаются повсюду вокруг нас — даже в некоторых из самых приятных мест на природе.

Посмотрите на этот узор из правильных шестиугольников!

Диагонали в многоугольнике

Как мы уже говорили, диагональ многоугольника — это отрезок линии , который соединяет любых двух непоследовательных вершин многоугольника.Мы видим их как линии, пересекающие внутреннее пространство многоугольника. Теперь мы придумаем формулу, чтобы найти общее количество диагоналей в многоугольнике, когда мы знаем, сколько сторон — ой! — вершины есть.

Давайте исследуем, что происходит, когда мы соединяем диагонали вокруг вершин пятиугольника.

Поскольку вершина A соединена с двумя другими вершинами — B и E — сторонами, а вершина A не может быть соединена сама с собой для образования диагонали, мы определили 3 вершины, которые не могут быть концом диагональ от А.Итак, поскольку у нашего пятиугольника 5 вершин, у нас остается 5–3 или 2 вершины, которые нужно соединить диагональной линией.
То же самое и с вершиной E. Ее можно соединить только с B и C диагональными линиями. Затем мы переходим к D, который уже соединен с A, поэтому мы можем провести только одну диагональ, DB, из этой вершины.

То же и для шестигранника LMNOPQ. У Q и P по 3 диагонали, у O — 2, а у N — осталась только одна диагональ.

Формула, которую мы используем, чтобы найти общее количество диагоналей в многоугольнике из n сторон, выглядит следующим образом:

Часть ( n — 3 ) указывает, что каждая вершина может быть соединена диагональю на 3 меньше, чем общее количество вершин.А часть n /2 говорит, что каждая диагональ использует 2 вершины.
Для нашего шестиугольника с 6 вершинами количество диагоналей равно

Для восьмиугольника с 8 вершинами количество диагоналей равно

.

Сумма внутреннего и внешнего углов многоугольника

Давайте посмотрим на изображение, чтобы увидеть логику теоремы, которая гласит:

Сумма внутренних углов многоугольника со сторонами n составляет
(n — 2) прямых углов ; или (n — 2) 180 °

Поскольку каждая вершина соединена с двумя другими вершинами сторонами,
мы всегда будем получать ( n — 2) треугольника из многоугольника со сторонами n .
А поскольку сумма трех углов в треугольнике равна 180 °,
сумма внутренних углов многоугольника из n сторон составляет ( n — 2) × 180 °.
В правильном многоугольнике, поскольку внутренние углы n и равны,
каждая измеряет ( n — 2) × 180 ° ÷ n

С этой формулой, как и со всеми формулами, мы можем работать в обратном направлении.Допустим, мы знаем, что каждый внутренний угол правильного многоугольника составляет 144 ° , и мы хотим знать , сколько у него сторон . Устанавливаем
формулу, равную 144, и решите ее для n следующим образом:

затем решаем так: 180 n — 360 = 144 n , чтобы получить 36 n = 360, поэтому n = 10

Теперь, когда мы знаем, что сумма внутренних углов всегда равна ( n — 2) 180 °, мы можем найти сумму внешних углов .Из шестиугольника на диаграмме мы видим, что сумма всех прямых углов в 6 вершинах будет 6 (180 °). Но сумма интерьеров — 4 (180 °). Следовательно, сумма внешних углов должна быть 2 (180 °) или 360 ° . Это верно для всех полигонов , регулярных или нет.
В правильном многоугольнике все внешние углы равны ( 360 ° / n ).

Примечание: Так как внешние и внутренние углы в любой вершине равны , дополнительные ,
(они складываются до 180 °,) внешний угол равен 180 ° — (внутренний угол).

.

Пример 1 : Для правильного двенадцатиугольника (12 сторон) найдите:

а) Сумма 12 внутренних углов.

б) Измерение каждого внутреннего угла.

c) Измерение каждого внешнего угла.

Решение : n = 12

a) Сумма 12 внутренних углов = ( n — 2) 180 ° = 10 (180 °) = 1800 °.

b) Размер каждого внутреннего угла = (1800 °) / 12 = 150 °.

c) Размер каждого внешнего угла = (360 °) / 12 = 30 ° или (180 ° — 150 °) = 30 °.

Пример 2:

Найдите количество сторон правильного многоугольника, если каждый внутренний угол равен:

.

Теперь возьмите карандаш, ластик и записную книжку, скопируйте вопросы,
выполните практические упражнения, а затем проверьте свою работу с решениями.
Если вы застряли, просмотрите примеры в уроке, а затем попробуйте еще раз.

Практические упражнения

1) Сопоставьте каждое слово в списке слева со всеми буквами всех цифр, которые оно описывает.
(для одного слова может быть более одного совпадения)

(раствор )

2) Подсчитайте количество диагоналей для каждой цифры в №1.

( раствор )

3) Объясните, как вы будете использовать линейку и транспортир, чтобы построить
правильный шестиугольник со стороной 7 см.

( раствор )

4) Найдите размер каждого внутреннего и внешнего углов для:

( раствор )

5) Найдите количество сторон правильного многоугольника, если каждый внутренний угол равен 156 °.

( раствор )

.

Решения

1)

2) Вычислите количество диагоналей для каждой фигуры в №1.

3) Шестигранник имеет 6 сторон.Рисуем отрезок линии и отмечаем АВ = 7 см.
Поскольку каждый внутренний угол правильного шестиугольника = 120 °, мы строим угол 120 °
на обоих A и B. Затем мы измеряем 7 см до C справа и F слева. Мы продолжаем
процесс, пока не завершим шестиугольник.

.

4) Найдите размер каждого внутреннего и внешнего углов для:

5) Мы знаем, что 156 n = ( n -2) 180 , что дает нам 156 n = 180 n -360
когда мы решаем n , мы получаем 15 сторон .

( Primary MathRoom Index )

Выбраны три из шести вершин правильного шестиугольника класс 11 математика CBSE

Полный пошаговый ответ:

Мы соединили вершины A, E и C и видим, что у нас получился равносторонний треугольник.
Аналогично, мы соединили вершины D, F и B и видим, что у нас получился равносторонний треугольник. {6} {{C} _ {3}} \ Way $
\ [\ begin {align}
& = \ dfrac {6 \ times5 \ times4} {1 \ times2 \ times3} \\
& = \ dfrac {120} {6} \\
& = 20 \\
\ end {align} \]
Из 20 треугольников только два равносторонние треугольники \ [\ Delta \] DFB и $ \ Delta $ AEC.
Вероятность выбора равностороннего треугольника \ [= \ dfrac {2} {20} = \ dfrac {1} {10} \].

Примечание. В этом вопросе можно ошибиться при определении количества равносторонних треугольников. Можно подумать, что может быть шесть равносторонних треугольников:
\ [\ Delta DEF \], \ [\ Delta DCB \], \ [\ Delta EFA \], \ [\ Delta FAB \], \ [\ Delta CBA \] и \ [\ Delta DEC \]. Но в этих треугольниках третья сторона не равна двум оставшимся сторонам.

Свойства многоугольника

Квадрат в шестиугольнике и т. Д.

Самый большой пятиугольник, который может поместиться внутри правильного шестиугольника:

По крайней мере, 2 смежные вершины пятиугольника должны соприкасаться с шестиугольником

Доказательство: По крайней мере, 2 вершины должны касаться шестиугольника, иначе вы можете вырастить пятиугольник, пока не коснутся две.Если бы эти два не были смежными (например, они были вершинами 1 и 3, а не 1 и 2), вы можете вырастить пятиугольник до тех пор, пока две вершины не окажутся на противоположных вершинах шестигранника (по диаметру). Но это невозможно, так как получившийся пятиугольник не находится внутри. шестиугольник — следовательно, две соседние вершины пятиугольника должны касаться шестиугольника.

Теперь есть две альтернативы: эти смежные вершины пятиугольника лежат на двух смежных сторонах. шестиугольник (например, стороны 1 и 2) или две альтернативные стороны (например, стороны 1 и 3), включая вершины этих сторон.Начнем с них на смежных сторонах.

Две нижние вершины пятиугольника находятся на смежных сторонах шестиугольника. Вначале мы разместили пятиугольник симметрично и увеличили его так, чтобы еще 2 вершины коснитесь шестиугольника. Однако верхняя вершина не касается.

Таким образом, мы можем сделать пятиугольник немного больше, слегка приподняв его. (так что верхняя вершина направляется к верхней вершине шестиугольника, но не касается), а затем наклоняется:

Это больше, потому что пунктирная линия теперь находится под углом между двумя параллельными сторонами шестиугольника.Но мы все еще можем немного поднять пятиугольник и наклонить его — фактически, мы можем продолжать делать это до тех пор, пока верхняя вершина касается стороны шестиугольника.

Следовательно, у самого большого пятиугольника есть две смежные вершины на разных сторонах шестиугольника. Теперь мы можем оптимизировать этот случай.

Здесь показан пятиугольник с двумя нижними вершинами, соприкасающимися с разными сторонами шестиугольника:

Пятиугольник расположен симметрично. Это будет оптимально — считайте четырехугольник образованным из нижних 4 вершин пятиугольника.Противоположные вершины находятся на параллельных сторонах шестиугольника. Любая попытка наклонить пятиугольник уменьшит его размер.

Позже мы докажем, что верхняя вершина находится внутри шестиугольника. Теперь давайте определимся с длиной стороны этого пятиугольника, который находится внутри шестиугольника с единичной длиной стороны:

Теперь проверим, что верхняя вершина пятиугольника находится внутри шестиугольника:

что правда.

Видеоурок: Присвоение имен многоугольникам | Нагва

Расшифровка стенограммы

Именование полигонов

В этом видео мы узнаем, как подсчитайте стороны и вершины многоугольников, чтобы определить, являются ли они треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник или восьмиугольник.

Многоугольники — это формы с прямыми стороны. Какая из этих двух групп фигур есть прямые стороны? У этой формы прямые стороны. Эта форма также имеет прямые стороны. Все фигуры в этой группе имеют прямые стороны. Мы можем назвать эту группу полигоны. Фигуры второй группы имеют изогнутые стороны или некоторые изогнутые стороны. Эти формы не являются многоугольниками.

Существуют разные типы многоугольник.Чтобы помочь нам идентифицировать полигоны, мы можно посчитать количество сторон и количество углов. В каждом из этих многоугольников по три стороны. У них также есть три угла. Углы или вершины — это где встречаются две стороны. Форма с тремя сторонами и тремя углы называют треугольником. У всех этих многоугольников по четыре стороны и четыре угла.

Четырехсторонние формы называем четырехугольники. Мы называем формы с пятью сторонами и пять углов или вершин пятиугольника.Мы называем многоугольниками с шестью сторонами и шесть углов шестиугольников. И мы называем многоугольники с восемью стороны и восемь углов восьмиугольника. У осьминога восемь ног. Это хороший способ запомнить восьмиугольник имеет восемь сторон. Давайте попробуем задать несколько вопросов, чтобы помочь нам потренируйтесь определять разные многоугольники по количеству сторон и углов.

Сколько вершин в треугольнике?

В этом вопросе нас спрашивают, как много вершин треугольника.Вершина — другое слово для обозначения угол, и это точка, где встречаются две линии. Давайте нарисуем треугольник, чтобы нам помочь ответить на вопрос. Сколько сторон у треугольника имеют? Раз два три. Посчитаем количество углов или вершины. Один, два, три. Есть три вершины в треугольник.

Как называется шестигранник многоугольник?

Мы должны назвать многоугольник шесть сторон.Многоугольники — это формы, состоящие из прямые стороны, поэтому шестиугольник имеет шесть прямых сторон. Нарисуем шестигранную фигуру. Один два три четыре пять, шесть. Шестигранный многоугольник называется шестиугольник.

Как называется эта форма? Это восьмиугольник, пятиугольник, четырехугольник, треугольник или шестиугольник?

Восьмиугольник — это форма с восемью стороны. Пятиугольник — это фигура с пятью стороны.Четырехугольник — это четырехугольник. форма. У треугольников три стороны, и шестиугольников их шесть. Сколько сторон у этой формы имеют? Один два три четыре пять. У какой формы пять сторон? Это пятиугольник. Многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольник. Название этой формы — пятиугольник.

Сколько еще палочек делает Мэтью нужно превратить этот шестиугольник в восьмиугольник?

Мы знаем, что Мэтью сделал шестиугольник, используя его палки.И вопрос спрашивает нас, как ему понадобится еще много палочек, чтобы получился восьмиугольник. Этот вопрос просит нас подумать о том, сколько сторон у шестиугольника и сколько сторон у восьмиугольника. Шестиугольники, включая Матфея шестиугольник, имеет шесть сторон. У восьмиугольника восемь сторон. В чем разница между восемью и шесть? Ответ два. Восемь, вычесть шесть, равно двум. Мэтью понадобятся еще две палки превратить его шестиугольник в восьмиугольник.

Верно или нет? Число сторон многоугольника равно равно количеству вершин.

Этот вопрос заставляет нас задуматься про полигоны. Нас спрашивают, есть ли Стороны многоугольника равны количеству вершин. Давайте нарисуем многоугольники, чтобы помочь нам подумайте над вопросом. Треугольник — это многоугольник с тремя стороны и три угла. Итак, у этого многоугольника есть равный количество сторон и вершин.

Четырехугольники имеют четыре стороны и четыре угла. Количество сторон и вершин равны. Пентагоны — это многоугольники с пятью стороны и пять углов. Количество сторон и вершин равно равный. Шестиугольник — это многоугольник с шестью стороны и шесть углов. Количество сторон и количество вершин или углов равно. А восьмиугольник — это многоугольник с восемь сторон и восемь углов или вершин.Количество сторон равно количество вершин. Это утверждение верно. Число сторон многоугольника равно равно количеству вершин.

Что мы узнали из этого видео? Мы узнали, что многоугольники формы из прямых сторон. И мы можем идентифицировать полигоны по подсчет количества сторон или вершин.

Hexagon Lab — CS 315

Обзор

Ваша задача в этой лабораторной работе — использовать WebGL для визуализации разноцветного шестиугольника:

Это даст вам возможность попрактиковаться в работе с кодом OpenGL и научиться работать с массивами атрибутов вершин — списками из атрибутов (свойств) вершин.

Необходимые файлы

Вы должны скачать, разархивировать и начать с копии стартовый код. Это немного доработанная копия демонстрационного кода из лекции. Это даст вам примеры всех различных методов OpenGL, которые нам нужны для работы.

Сведения о лаборатории

1. Во-первых, убедитесь, что вы скачали стартовый код и можете его запустить. Вы должны увидеть знакомый синий треугольник.(Обратите внимание, что я скорректировал размеры холста, поэтому он может выглядеть слегка размытым. Вы можете подумать, почему одинаковые координаты делают треугольник по-разному)
2. Затем, вместо того, чтобы указывать универсальную переменную для цвета треугольника, вы захотите указать цвет каждой отдельной вершины как атрибут . Затем OpenGL автоматически интерполирует цвета вершин, чтобы получить красивое градиентное затенение:

   Для этого есть несколько шагов:

   1. Вам нужно будет изменить вершинный шейдер ( шейдер / вершина.vert ), так что он имеет новую переменную атрибута для представления цвета каждой вершины. Этой переменной следует присвоить атрибут квалификатор хранилища ; Я рекомендую назвать его aColor ( — атрибут , представляющий цвет).
      • Эта переменная может быть vec3 , если вы хотите передать 3 значения для цвета (R, G, B), или vec4 , если вы хотите передать 4 значения (R, G, B, A )
      • Вы также должны убедиться, что выходная переменная vColor получает свой цвет из вашего нового (входного) атрибута! vColor — это vec4 ; вы можете либо напрямую назначить из vec4 , либо создать новый vec4 , используя конструктор, который принимает vec3 в качестве параметра.Например: vec4 (aColor, 1.0)
      • Вы можете продолжать использовать переменную uColorChoice, если хотите иметь возможность указывать определенный цвет (например, для направляющих).
   2. Теперь, когда вы указали новую переменную в шейдере, вам нужно убедиться, что у нас есть доступ к ней в JavaScript! Используйте метод gl.getAttribLocation () , чтобы сохранить новый дескриптор в ячейке памяти этой переменной.(Мы используем getAttribLocation вместо getUniformLocation, потому что переменная является атрибутом, а не униформой!). Вы можете использовать код, который создает vertexPositionhandle в качестве шаблона.
   3. Далее вам нужно будет указать несколько цветов для вершин! Это будет новый буферизованный массив данных.
      • Начните с создания нового массива цветов JavaScript. Это будет похоже на ваш массив, содержащий координаты / положение вершины, но для каждой вершины потребуется 3 или 4 компонента (RGB или RGBA). СДЕЛАЙТЕ КАЖДОМУ VERTEX РАЗЛИЧНЫЙ ЦВЕТ (но какой цвет не имеет значения).
      • Вам понадобится новый объект буфера вершин , чтобы хранить эти данные в формате, который OpenGL может читать. Преобразуйте свой цветовой массив в Float32Array и сохраните его в новом gl.ARRAY_BUFFER .
      • Опять же, вы можете использовать создание буфера для массива позиций в качестве шаблона. Но будьте очень осторожны с изменением имен переменных при копировании кода!
   4. Наконец, в вашем методе рисования вам нужно будет указать OpenGL на ваш недавно созданный буфер, чтобы он знал, где найти цвета.
      • Вы делаете это, устанавливая указатель с помощью метода gl.vertexAttribPointer () . Возможно, вас заинтересует документация для этого метода чтобы вы знали, каковы параметры. Но в основном вы собираетесь (снова) сделать то же самое, что и с vertexPositionBuffer .
      • ВАЖНО: не забудьте указать количество компонентов (второй параметр), которое имеет каждый атрибут.Итак, если цвет каждой вершины имеет 4 компонента, это должно быть 4.
      • Вы должны быть уверены и связать с вашим цветовым буфером перед установкой этого указателя, чтобы OpenGL знал, на какие данные он должен указывать!
      • Также не забудьте включить для массива атрибутов вершин (иначе OpenGL не узнает, что нужно искать).
   Если вы запустите свой код, вы должны увидеть разноцветный треугольник! Если нет, сначала проверьте консоль на наличие ошибок (может быть опечатка / ошибка) и / или обратитесь за помощью!
3. Теперь, когда у вас есть рисунок разноцветного треугольника, вам следует настроить модель так, чтобы вместо этого она отображала шестиугольник!

И это конец лаборатории! Если у вас есть больше времени, вы можете поиграть с рисованием более сложных полигонов или использовать разные цвета 🙂

Создание сценария надстройки Hexagon Grid для Blender 2.91 | Джереми Берендт

В этом руководстве рассматривается, как создать сетку из правильных выпуклых шестиугольников в Blender с помощью Python, а затем как превратить этот скрипт в надстройку. Пример визуализации, выполненной с помощью надстройки, выглядит так:

В этом руководстве вдохновлены шестиугольные базальтовые колонны Дороги гигантов в Северной Ирландии и пещеры Фингала в Шотландии. Такие образования также вдохновили окружение на создание видеоигр, таких как Dark Souls II , Dragon Age: Inquisition и Skyrim: Dragonborn , и это лишь некоторые из них.Предостережение: в этом руководстве , а не объясняется, как создать фотореалистичные базальтовые колонны с естественными неровностями тех, что изображены вверху. Генератор сетки Вороного мог бы быть более полезным для читателей с такой целью.

Те, кто желает перейти к полному коду этого руководства, могут ссылаться на репозиторий Github.

Это руководство было написано с помощью Blender версии 2.91. Blender стремительно развивался за последние два года; Пожалуйста, ознакомьтесь с примечаниями к выпуску, чтобы узнать об изменениях между этой версией и текущей.

Во-первых, давайте рассмотрим геометрию. Предположим, мы позиционируем шестиугольник в декартовой системе координат в начале координат, (0,0, 0,0) , где положительная ось x , (1,0, 0,0, 0,0) , составляет нулевой градус вращения. Положительное значение на оси y направлено вперед, (0,0, 1,0, 0,0) , а положительное значение на оси z — вверх, (0,0, 0,0, 1,0) , что означает, что увеличение угла поворота приведет к дайте нам вращение против часовой стрелки (CCW).

Мы следуем соглашению, принятому в примитиве круга 2D-сетки Blender, где начальная вершина начинается в 12 часов, а не в 3 часа. В результате шестиугольник стоит вертикально, а не на боку.

Поскольку правильный выпуклый многоугольник имеет постоянную форму, мы можем жестко запрограммировать его функции, чтобы избежать преобразования полярных координат в декартовы координаты через синус и косинус. В таблице ниже мы предполагаем, что первая вершина находится в центре шестиугольника.

Ключевые числа здесь — квадратный корень из трех: 1.7320508 , и его деление на два, 0,8660254 . Радиус шестиугольника, умноженный на , 0,8660254 — это расстояние от центра шестиугольника до середины ребра. Если мы выложим шестиугольники плиткой, не оставляя промежутков между ними, то для перехода от одного центра шестиугольника к другому по краю мы пройдем два таких отрезка, 1.7320508 .

Это объясняется более подробно в разделе «Параметры» статьи Википедии о шестиугольниках. Радиус описанной окружности, или максимальный радиус, R (зеленый) — это расстояние от центра до вершины. Inradius, или минимальный радиус, r (синий) — это расстояние от центра до середины края.

Ради топологии мы можем также разделить шестиугольник. Доступные подразделения зависят от того, хотим ли мы вставить координату вершины в центре шестиугольника и / или разделить ребра шестиугольника пополам, чтобы создать новые вершины в средних точках ребер.

В некоторых случаях необходимость убедиться, что шестигранная сетка состоит только из треугольников, перед экспортом модели будет определять наше решение. В других случаях нас может заинтересовать шаблон, сгенерированный подразделением после тесселяции.

Например, разделение шестиугольника на три четырехугольника создает — наряду с выбором цвета — оптическую иллюзию сложенных кубов в изометрической проекции.Дополнительные возможности показаны в статье Википедии о шестиугольной мозаике здесь.

Далее мы рассмотрим, как создать шестиугольную сетку вручную с помощью графического интерфейса пользователя (GUI) Blender. После этого мы воссоздадим этот алгоритм в скрипте Python. zerobio предоставляет руководство о том, как это сделать:

На первом этапе процесса мы создаем примитив круга с 6 вершинами, добавляем модификатор массива для горизонтального смещения, а затем добавляем модификатор массива для вертикального смещения.Для тех, кто не знаком с рабочим процессом BMesh , предыдущее руководство предлагает введение.

Что касается имен параметров для create_circle go, cap_ends заполняет фигуру негоном, когда True ; cap_tris заполняет веером треугольника вместо нгона. Обычно первый аргумент в методе bmesh.ops , bm , является позиционным; все последующие аргументы, такие как сегментов и радиус , должны быть предоставлены с указанным параметром.Можно предположить, что многие из названных параметров, перечисленных в API, имеют аргументы по умолчанию.

Для ArrayModifier s zerobio использует относительные смещения. При соответствующих измерениях будут работать как относительные, так и постоянные смещения. Для второго модификатора массива, который создает строки сетки, относительное смещение по горизонтали составляет 0,05 , потому что половина ширины сетки, 0,5 , делится на количество, используемое в первом (горизонтальном) модификаторе массива, 10 .

Преимущество этого подхода в том, что он использует готовые методы, что делает его быстрым и простым; он также неразрушающий, поскольку использует модификаторы.

Главный недостаток, который zerobio показывает, как исправить, состоит в том, что сетка образует параллелограмм. Чтобы создать прямолинейную сетку, необходимо применить модификаторы массива (что устраняет вышеупомянутое преимущество). Затем части параллелограмма необходимо обрезать и переставить. Еще одно незначительное неудобство заключается в том, что начало координат сетки находится в нижнем левом углу, в центре исходной фигуры.Сетка может быть центрирована с помощью Object> Set Origin> Geometry To Origin , но было бы хорошо, если бы она была центрирована сразу.

Если бы мы пошли дальше по этому пути, мы могли бы попытаться возвести параллелограмм в квадрат с помощью кода, возможно, с помощью серии ортонормированных плоских делений пополам или с помощью логического пересечения между шестигранной сеткой и кубоидом.

Вместо описанного выше подхода с модификаторами мы будем стремиться создать надстройку, которая добавляет сетку шестиугольников к коллекции из меню Add> Mesh в 3D окне просмотра в режиме Object .Вместо этого мы могли бы создать шахматную квадратную сетку, но, учитывая, что наше вдохновение является естественным, а не искусственным, расположение наших шестиугольников в концентрических кольцах лучше подходит.

Многие вводные данные на снимке экрана выше не требуют пояснений. Тип ландшафта — это перечисление, которое задает функцию формирования для выдавливания сетки по оси z . В этом руководстве рассматриваются четыре функции формирования: равномерный, линейный градиент, сферический градиент и конический градиент. Это те же функции, которые мы использовали для создания цветовых градиентов в Processing.Любая функция, которая принимает исходную и конечную точки в качестве входных данных и возвращает коэффициент [0,0, 1,0], будет работать.

Этот фактор ландшафта смешан с коэффициентом шума в соответствии с влиянием шума. Результат используется для интерполяции от нижней границы выдавливания к верхней. Остальные 3 входа будут переданы одному из методов шумоподавления Blender.

Мы начнем с бизнес-логики, а затем добавим больше данных, связанных с графическим интерфейсом Blender. В качестве исключения мы сразу включим один элемент, связанный с графическим интерфейсом: класс, который будет распознаваться как оператор.В Python для расширения класса подклассом или дочерним классом мы указываем родительский элемент, bpy.types.Operator , в скобках после имени класса и перед двоеточием.

Для подсчета колец мы включаем центральный шестиугольник в качестве первого кольца, а затем устанавливаем минимальное количество допустимых колец равным одному. Таким образом будет создан хотя бы один шестиугольник. ориентация указывает, насколько повернуть сетку в целом вокруг оси z после ее создания; в приведенном выше коде мы еще не использовали этот параметр. face_type определяет способ подразделения шестиугольника; мы рассмотрим это в следующем фрагменте кода.

Если нам нужно организовать наши грани и вершины по шестиугольнику, мы создадим двумерный список s для вершин и граней . Для каждой итерации внутреннего цикла будет добавлен список из hex_vs и hex_faces .

По завершении этот метод сгенерирует двумерную сетку, подобную этой:

Логика создания этой сетки взята из обширных статей Red Blob Game о гексагональной тесселяции и системах координат. Чтобы понять, как эти вложенные циклы for работают для создания сетки, полезно добавить диагностические операторы print для индексов i и j .

Для 4 колец i будет охватывать от отрицательного до положительного колец-1 . Количество шестиугольников, добавляемых за итерацию внешнего цикла, будет начинаться с 4 и увеличиваться на 1 , пока мы не дойдем до центральной итерации, где i равно 0 и 7 добавлено новых шестиугольников.После этого созданные шестиугольники уменьшатся на 1 . Общее количество созданных шестиугольников, 37 , равно 1 + i_max * verif_rings * 3 . В зависимости от face_type , это число нужно будет умножить на количество граней на шестиугольник, чтобы предсказать общее количество граней.

Чтобы добавить грани, мы вводим следующее:

Когда вызывается BMVertSeq для создания новой вершины , возвращается BMVert . Все, что нам нужно предоставить новому методу , — это коллекция — кортеж, список, вектор , вектор — который задает координаты вершины (условно сокращенные до co в API Blender).Несмотря на то, что сетка до сих пор является двухмерной, мы все равно должны предоставить третий компонент для z , 0,0 . Чтобы добавить новый BMFace в BMesh BMFaceSeq , нам понадобится набор BMVert s.

В приведенном выше фрагменте кода показаны только точки, три вентилятора, четыре вентилятора и ngon; дополнительные параметры поддерживаются в полном репозитории Github. Для типов граней, для которых требуется вычислить средние точки ребер, складываются исходная и конечная вершины ребра, а затем сумма делится на два, чтобы найти среднюю точку.

После того, как мы закончили создавать грани вложенных циклов for, мы объединяем повторяющиеся вершины, если требуется. Затем мы рассчитываем ширину и высоту сетки в целом. Это позволяет нам масштабировать координаты в мировом пространстве до текстурных координат в [0.0, 1.0]. Мы создаем матрицу вращения 4×4 с Matrix.Rotation , используя ось z , (0,0, 0,0, 1,0) ; поскольку для удержания вращения достаточно матрицы 3×3, мы указываем желаемый размер 4 .Мы обеспечиваем обновление нормалей меша, а затем возвращаем словарь с гранями.

Поскольку сетка шире, чем высота, координаты UV (слева) будут сужены по горизонтали; в результате квадратное изображение выглядит растянутым по горизонтали на сетке (справа). При желании это можно исправить с помощью соотношения сторон сетки, разделив ширину на высоту.

Мы могли бы остановиться на этом, если бы это все, что нам нужно. Однако ручная настройка SolidifyModifier для изменения экструзии с шумом или в соответствии с функцией формования может потребовать нескольких шагов в графическом интерфейсе пользователя.

По этой причине мы создадим отдельный метод выдавливания, который принимает список лиц, сгенерированный предыдущим методом. Метод вернет True , если все входные данные были действительными и произошло выдавливание; Неверно , если нет.

Сначала рассмотрим простейший случай: когда нет поля между шестнадцатеричными ячейками и пользователь указал, что перекрывающиеся вершины должны быть объединены.В этом случае допускается только равномерное выдавливание.

Эту задачу выполняет метод bmesh.ops.extrude_face_region . Когда флаг use_keep_orig установлен на True , исходные грани сохраняются. Они станут нижними гранями шестиугольной призмы. Этот метод не преобразует новую геометрию, которую он создает. Информация, которую он возвращает, должна быть отфильтрована. Поскольку bmesh.ops.translate принимает вершины, мы добавляем все элементы из результатов выдавливания в список, если они соответствуют типу BMVert .

Приведенный выше фрагмент мог бы быть короче и яснее, если бы использовалась математика Vector . Например, dot_ab может быть присвоен результат a.dot (b) . Однако в качестве меры предосторожности мы обрабатываем входные аргументы, как если бы они были кортежами. Доступ к элементам вектора можно получить с помощью индекса или оси. Например, a [0] и a.x должны возвращать одно и то же число.

Необходимые вычисления зависят от требуемой функции формирования.Линейные градиенты в основном зависят от скалярной проекции одного вектора, a , на другой, b. В данном случае a — это разница между началом линии и центром шестиугольника; b — разница между пунктом назначения и отправлением. Сферические градиенты зависят от нахождения отношения расстояния центра шестиугольника от начала координат к максимальному расстоянию. Конические градиенты зависят от определения азимута или направления вектора, а затем преобразования угла в коэффициент.

После того, как указанный выше фактор найден, мы вводим некоторый шум (т.е. плавную случайность). Подмодуль mathutils.noise предлагает множество методов шумоподавления, в том числе те, которые предназначены для работы на местности; однако, поскольку сетка шестиугольников имеет такое низкое разрешение, мы выбрали простую.

Последствия выдавливания на индексах лицевых поверхностей сетки можно увидеть ниже:

Если двумерная сетка изначально содержала 37 нгонов, то первая шестиугольная призма, левая в центре, будет иметь грань 0 в качестве нижней части и грань 37 в качестве верхней.Каждая последующая верхняя грань будет увеличиваться на 7 по сравнению с предыдущей (37, 44, 51 и т. Д.). Четырехугольники по бокам будут использовать промежуточные индексы, но не по часовой стрелке или против часовой стрелки. В случае первой призмы мы видим индексы 38, 40, 43, 39, 42, 41 против часовой стрелки от вершины на 12 часов. При желании у нас есть возможность сортировать последовательности вершин и граней.

УФ-текстурирование сетки также ухудшается. Боковые панели будут выглядеть полосатыми:

Экструзия копирует UV-развертку нижней грани на верхнюю. В этом руководстве все останется как есть. Те, кто желает изменить его с помощью скрипта, обнаружат, что недавно выдавленные грани можно найти с помощью подхода фильтрации по типам, использованного выше. UV также можно настроить вручную, войдя в режим Edit , выбрав боковую грань, перейдя в Select> Select Similar , затем выбрав опцию UV .

Наконец, мы обратимся к коду, который предоставит удобный интерфейс для бизнес-логики, созданной выше.Многое из того, что здесь описано, также можно узнать из руководства или серии видео «Сценарии для художников».

Сначала мы добавим информацию, которая будет отображаться при поиске надстройки в меню Правка> Настройки> Надстройки .

Это делается путем добавления словаря с именем bl_info после импорта и перед объявлением класса:

«версия» сигнализирует о текущей версии надстройки; это может быть косвенный способ сообщить пользователю, насколько развито надстройка.Например, версия (1, 0) или 1.0 будет первоначальным общедоступным выпуском надстройки, тогда как (0, 13) или 0,13 будет сигнализировать о том, что надстройка все еще находится на ранней стадии разработка. Рекомендации по семантическому управлению версиями, подобные этому, могут помочь в принятии решения о том, когда менять версию надстройки.

Поле "blender" указывает версию Blender, для которой надстройка предназначена для работы. Чтобы найти текущую версию Blender, используемую через Python, отметьте bpy.app.версия .

Далее мы добавляем некоторые устройства, связанные с регистрацией и отменой регистрации нашего дополнения. Методы регистрации и отмены регистрации вызываются, когда мы устанавливаем флажок рядом с надстройкой в ​​меню Preferences , чтобы включить или отключить ее.

Метод опроса указывает правильную панель, на которой будет работать надстройка; это условие, когда надстройка появляется в поиске. Чтобы помочь выбрать, какой значок мы связываем с надстройкой, мы можем включить надстройку Icon Viewer в настройках, выбрать значок визуально, а затем скопировать строку, используемую для идентификации значка.

Затем мы добавляем свойства к классу HexGridMaker . Эти свойства будут определять, какие входные данные будут отображаться в меню повтора / отмены, всплывающие подсказки, которые будут появляться при наведении курсора мыши, а также верхняя и нижняя границы, определяющие допустимые диапазоны ввода.

Свойства обозначаются двоеточием, : , а не знаком равенства, = . При использовании последнего в терминале будет выведено предупреждение. В приведенном ниже фрагменте не показаны все необходимые входные данные для шестигранной сетки, его достаточно для иллюстрации.

Числовые свойства содержат пару min , max и пару soft_min , soft_max . Мягкие границы ограничивают значение, когда мышь проходит горизонтально над полем; жесткие границы также ограничивают ввод с клавиатуры.

Действительные числа, т. Е. FloatProperty s, включают шаг и точность . шаг указывает в процентах , на сколько увеличивать и уменьшать значение при нажатии кнопок < > в конце поля ввода; принимает целочисленное значение, деленное на 100. точность указывает, сколько разрядов справа от десятичной дроби нужно отображать. Вообще говоря, для небольших значений значений по умолчанию недостаточно, и их необходимо увеличить.

Для FloatVectorProperty убедитесь, что размеры, указанные в параметре size , совпадают с длиной коллекции по умолчанию; например, (0,0, 0,0) должно соответствовать 2 ; (0,0, 0,0, 0,0) должно соответствовать 3 .

EnumProperty могут быть достаточно задействованы, потому что элементов — это список кортежей.Внутри каждого кортежа первая строка представляет, как константа перечисления представлена ​​в коде. Вторая строка представляет, как константа отображается в графическом интерфейсе.

Наконец, мы объединяем нашу бизнес-логику в метод execute .

Вторым входом метода execute является контекст ; мы используем это более bpy.context . Основная логика здесь состоит в том, чтобы создать данные сетки, выгрузить BMesh в данные сетки, назначить данные объекту и связать объект с коллекцией в сцене.

Надстройка, созданная в этом руководстве, может быть улучшена несколькими способами. Например, мы могли бы предложить больше способов расположить шестиугольники в сетке; переключатель для создания отдельных объектов, каждый со своей шестигранной сеткой вместо одной сетки; больший контроль над UV-координатами; больше функций формирования; более точный контроль над шумом; и так далее.