Угол правильного пятиугольника: Please Wait… | Cloudflare

Содержание

как найти градусную меру угла правильного пятиугольника?

Инструкция 1 Если в градусную меру нужно перевести величину угла в радианах, исходите из того, что одному градусу соответствует число радиан, равное 1/180 доле числа Пи. Эта математическая константа имеет бесконечное число знаков после запятой, поэтому и коэффициент перевода из радиан в градусы тоже является бесконечной десятичной дробью. Это означает, что абсолютно точного значения в формате десятичной дроби получить не получится, поэтому коэффициент перевода нужно округлить. Например, при точности в одну миллиардную долю единицы расчетный коэффициент будет равен 0,017453293. После округления до нужного числа знаков, разделите на этот коэффициент исходное число радиан, и вы получите градусную меру угла. 2 При решении математических задач из разделов, относящихся к геометрии, часто встречаются формулы, в которых величины углов выражены не радианами, а долями числа Пи. Если вы получите решение, содержащее эту константу, для перевода его в градусы замените π числом 180. Например, если центральный угол определен выражением π/4, это означает, что его градусная мера равна 180°/4=45°. 3 Углы могут быть выражены и единицами, которые имеют название «оборот». Такая единица соответствует 360°, поэтому проблем с пересчетом возникнуть не должно. Например, если в задании говорится об угле в полтора оборота, это соответствует 360*1,5=540° в градусном измерении. 4 Иногда в геометрических задачах упоминается развернутый угол. Она образуется двумя лучами противоположного направления, то есть лежащими на одной прямой. Используйте число 180 для выражения величины развернутого угла в градусах. 5 В геодезии, картографии, астрономии градусы делятся на еще более мелкие единицы, которые имеют собственные названия — минуты и секунды. Это деление имеет корни там же, где и градусы, поэтому каждый градус включает в себя 60 минут или 3600 секунд. Используйте эти числа, если секунды и минуты надо заменить десятыми долями градуса. Например, углу в 11°14’22» соответствует десятичная дробь, приблизительно равная 11 + 14/60 + 22/3600 ≈ 11,2394°.

Градусная мера правильного шестиугольника — Морской флот

/

/

Градусная мера правильного шестиугольника

какова градусная мера внутреннего унла правильного шестиугольника?

Ответы:

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника всегда равен 120 градусам. Это легко проверить: разбейте шестиугольник на 4 треугольника из любого одного угла (сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам), то есть умножьте 180 на 4, а после этого разделите на количество углов (их у нас 6). 180*4=720; 720/6=120. Есть ещё один способ: разделите правильный шестиугольник диагоналями. У вас получились 6 равносторонних треугольников, каков угол равностороннего треугольника? 60 градусов. В каждом углу шестиугольника оказываются два треугольника. Если сложить их углы, то у нас опять же получится 120 градусов.

чтобы найти градусную меру угла любого правельного многоугольника существует формула: угол альфа=(n-2)/n*180 где n- количество углов угол альфа- градусная мера внутреннего угла многоугольника Из формулы легко найдем угол шестиугольника : (6-2)/6*180°=120°

Вопрос по геометрии:

Какова градусная мера внутреннего унла правильного шестиугольника?

Ответы и объяснения 2

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника всегда равен 120 градусам.
Это легко проверить: разбейте шестиугольник на 4 треугольника из любого одного угла (сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам), то есть умножьте 180 на 4, а после этого разделите на количество углов (их у нас 6).
180*4=720;
720/6=120.
Есть ещё один способ: разделите правильный шестиугольник диагоналями.
У вас получились 6 равносторонних треугольников, каков угол равностороннего треугольника? 60 градусов.
В каждом углу шестиугольника оказываются два треугольника. Если сложить их углы, то у нас опять же получится 120 градусов.

Ответ оставил Гость

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника всегда равен 120 градусам.
Это легко проверить: разбейте шестиугольник на 4 треугольника из любого одного угла (сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам), то есть умножьте 180 на 4, а после этого разделите на количество углов (их у нас 6).
180*4=720;
720/6=120.
Есть ещё один способ: разделите правильный шестиугольник диагоналями.
У вас получились 6 равносторонних треугольников, каков угол равностороннего треугольника? 60 градусов.
В каждом углу шестиугольника оказываются два треугольника. Если сложить их углы, то у нас опять же получится 120 градусов.

Если твой вопрос не раскрыт полностью, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти другие ответы по предмету Геометрия.

Тест. Правильный многоугольник

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого …

Варианты ответов
  • все углы равны
  • все стороны равны
  • соседние углы равны
  • соседние стороны равны
  • противоположные углы равны
  • противоположные стороны равны
Вопрос 2

Как по-другому называется правильный треугольник?

Вопрос 3

Как по-другому называется правильный четырехугольник?

Вопрос 4

Чему равны внутренние углы правильного десятиугольника? В ответе указать только число, без единицы измерения. Например, 10.

Вопрос 5

Внутренний угол больше у правильного пятиугольника или у правильного восьмиугольника? На сколько градусов? 

Варианты ответов
  • у правильного восьмиугольника на 27о

  • у правильного пятиугольника на 27о

  • у правильного восьмиугольника на 13,5о

  • у правильного пятиугольника на 13,5о

Вопрос 6

Чему равна сумма внешних углов правильного семиугольника, взятых по одному при каждой вершине? В ответе укажите только число, без единицы измерения. Например, 200.

Вопрос 7

Угол правильного n-угольника можно вычислить по формуле:

Вопрос 8

Внутренний угол правильного многоугольника равен 160о . Одна из сторон равна 5 см. Найдите периметр многоугольника. В ответе укажите только число, без единицы измерения. Например, 25.

Вопрос 9

Верно ли, что диагональ правильного пятиугольника параллельна его стороне?

Варианты ответов
  • верно
  • не верно
Вопрос 10

Дан правильный многоугольник. Известно, что a + b = 18 см. Найдите периметр многоугольника. В ответе укажите только число, без единицы измерения. Например, 10.

Построение правильных многоугольников | Образовательная социальная сеть

Слайд 1

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство , где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса

Слайд 2

Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.

Слайд 3

3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника

Слайд 4

Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

Слайд 5

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника

Слайд 6

Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Слайд 7

Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.

Слайд 8

Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.

Слайд 9

4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника

Урок 1 правильный многоугольник цель сформировать у учащихся понятие правильного многоугольника вывести формулу для вычисления угла х правильного многоугольника научиться пользоваться данной формулой

УРОК 1:

Правильный многоугольник

Цель:

Сформировать у учащихся понятие правильного многоугольника. Вывести формулу для вычисления угла х правильного многоугольника, научиться пользоваться данной формулой.

Задачи:

  • Повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника;

  • научиться пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника как с вычислениями в тетради , так и с использованием компьютера.

Ход урока:

1.Актуализация опорных знаний учащихся:

Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника

2.Изучение нового материала

Определение правильного многоугольника

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Вопросы учащимся:

Какие правильные многоугольники вы уже знаете?

У какого многоугольника все углы равны, но он не является правильным?

У какого многоугольника все стороны равны, но он не является правильным?

Сумма углов многоугольника

n – число сторон

n-2 — количество треугольников

Сумма углов одного треугольника — 180º, умножим на количество треугольников n -2, получим S= (n-2)*180.

S=(n-2)*180

Формула для вычисления угла х правильного многоугольника

Выведем формулу для вычисления угла х правильного n— угольника.

В правильном многоугольнике все углы равны, сумму углов делим на количество углов, получим формулу

x =(n-2)*180/n

Задание 1.

Решить задачи 1081(а, б), 1083 (а, б).

Задание 2:

Построить таблицу изменения суммы углов многоугольника и величины каждого угла, построить диаграмму.

  1. Запустить Excel.

  2. В ячейки А1,А2,А3… ввести число сторон правильного многоугольника n = 3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,…

  3. В ячейку А2 ввести формулу для вычисления угла правильного многоугольника =(A1-2)*180.

  4. Выделить блок ячеек В2:N2 и копировать формулу

  5. В ячейку А3 ввести формулу =(A1-2)*180/A1.

  6. Выделить блок ячеек А3:N3 и копировать формулу. Ячейки выровнять.

  7. Вставить строку над первой строкой. Написать «Правильный многоугольник», цвет «голубой», шрифт 16, полужирный, курсив.

  8. Вставить 2 столбца слева от таблицы. В ячейку А2 ввести текст «Сторона», в А3 – «Сумма всех углов», в А4 – «Величина одного угла».

  9. Добавить строку сверху. В ячейку В2 ввести слово «формула», в В3 –n, в В4 – формулу S = (n-2)*180, в В5 – x=(n-2)*180/n.

  10. Автоформатировать таблицу.

  11. Построить диаграмму: диаграмма — нестандартные графики (2 оси) — далее — готово. Параметры диаграммы заголовки название диаграммы «правильный многоугольник», ось х (категорий) –число сторон, ось у (значений) – сумма всех углов), вторая ось у – величина одного угла.

Домашняя работа: Самостоятельно изучить теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника, вписанной в правильный многоугольник. Повторить свойство касательной к окружности. Ученикам дать оформить доказательство теоремы об описанной окружности. Решить № 1081( в, г, д), 1083( г, д) из учебника Атанасян. Геомерия 7-9.

Пояснения к выполнению задания

УРОК 2

Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник.

Цель: Изучить теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника и вписанной в правильный многоугольник

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности

Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть А1 А А2 А3 …… А n — правильный многоугольник, О- точка пересечения биссектрис углов А1 и А2

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn…Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn. Так как А1 = А2, то 1 = 3, поэтому треугольник rА1 А2 О1 равнобедренный, и, следовательно, ОА1 = ОА2 .. rА1А2О= r А3А2О ( I признак), следовательно, ОА3 = ОА1 . Итак, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника.

Описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, так как через них проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность.

Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности

Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Пусть А1 А 2 …А n — правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, так же равны. Поэтому

окружность с поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки H ,H , H и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник.

Докажем, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника., т.е.

Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.

2.Закрепление теорем 1 и 2:

Задачи 1086 и 1084;

обсудить решения задач 1080 и 1082.

Задача: Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны.

Самостоятельная работа:

Вариант1.

1.Впишите в данную окружность правильный шестиугольник.

2.Докажите, что три вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного квадрата.

Вариант 2.

1.Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник

2.Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.

Домашняя работа:

1.Повторить материал пунктов 105-107, 109.

2.Решить задачи 1085,1131,1130 (Объяснить)

УРОК 3

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Цель:

Выработать у учащихся умение выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной правильного n-угольника, на их основе научит учащихся получать формулы для вычисления αn через R и r и конкретизировать их для случая n =3, n = 4, n= 6, выработать навыки применения полученных знаний при решении задач.

Ход урока

1.Проверка домашнего задания.

2.Изучение нового материала (Проводится самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному рисунку 308 учебника).

Пусть S –площадь правильного многоугольника,a n-его сторона, Р – периметр, а r R – радиусы вписанной и описанной окружностей.

Выводим формулы и получаем таблицу:


Закрепление изученного материала:

1. Решение задач:

1) В окружность радиуса R=12 вписан правильный n- угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n=3, б) n = 4, в) n=6.

2) Около окружности радиуса r =6 описан правильный n–угольник. Определите его сторону и периметр, если а) n=3, б) n = 4, в) n=6.

3) Для правильного n- угольника со стороной а =6см найдите радиус описанной около него окружности, если а)n=3, б) n = 4,

в) n=6.

2. Решить задачу 1089, 1092.

3. Итоги урока.

4. Задание на дом: изучить пункт 108, задачи 1087, 1988, 1094(а,б).

УРОК 4

Построение правильных многоугольников.

Цель урока:

1. Научиться строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки.

2.Получить навыки

При построении правильных многоугольников, руководствуемся тем, что около любого многоугольника можно описать окружность.

Ход урока:

Задание 1. Построить правильный шестиугольник с произвольной стороной.

Задание 2. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку:

а) при помощи циркуля и линейки ( стр.279 учебника),

б) с помощью программы Paint

Задание 3. Построить правильный 5-угольник.


Домашняя работа:

Построить

  1. с помощью циркуля и линейки

  2. на компьютере

правильный 12-угольник,правильный 16-угольник по заданной стороне, используя рисунки, полученные на уроке(Слайды 22,23)

УРОК 5

Длина окружности

Цель: Вывести формулу для вычисления длины окружности, формулу для вычисления длины ℓ дуги окружности? Закрепить изученное.

Ход урока:

1.Математический диктант

I вариант

1.Найдите угол правильного десятиугольника (использовать слайд 14)

2.Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2м.(использовать слайд 11)

3.Найдите радиус окружности., вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2м (использовать слайд 19)

4.Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно2м.(Слайд 12)

5.Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется…»

6.Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?(Слайд 14)

7.Чему равен cos 0 °?

8.С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник.

II вариант

1.Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°? (Слайд 14)

2.Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.(слайд 19).

3.Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости…

4.Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равен 2 дм.(слайд 19)

5.Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.(Слайд 19)

6.Чему равен sin 0 °?

7.Найдите угол правильного девятиугольника.(Слайд 14)

8.С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник.

2. Изучение нового материала (лекция)

  • Вспомнить материал из учебника математики для шестого класса (практическая работа по определению числа π с помощью нитки, обмотанной около дна стакана)

  • Вывод формулы длины окружности , он основан на интуитивном представлении о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника , вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности

  • Вывод формулы длины дуги окружности

  • Решить задачи №1101,1102,1103, 1109 (а, б),1111.

3. Итоги урока.

4. Задание на дом:

  • Самостоятельно изучить материал пункта 111 («Площадь круга»).

  • Решить задачи №1109(в, г),1106,1104(а),1105(а).

УРОК 6

Площадь круга (Лекция учащихся)

Цель: Изученный учащимися самостоятельно материал продемонстрировать на уроке.

Ход урока:

1.Изучение нового материала (Лекция учащихся с показом слайдов).

2.Закрепление изученного материала:

1. Решить задачу. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м.Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты.

2. Решить №1118(самостоятельно).

3. Решить №1119,1125,1116 на доске и в тетрадях.

3. Итоги урока.

4. Домашняя работа: Повторить пункты 105-110, изучить материал пункта 112, решить №1114,1115,1117(а)

УРОК 7

Площадь кругового сектора.

Цель: Изученный учащимися самостоятельно материал (понятие кругового сектора, сегмента, вывод формул для вычисления площадей кругового сектора, сегмента) продемонстрировать на уроке, научить применять полученные знания при решении задач.

Ход урока:

1.Проверка изученного материала:

  • Формула длины окружности. Выражение радиуса окружности через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга.

  • Формула длины окружности

  • Решить задачу 1115(устно)

2.Изучение нового материала (Лекция учащихся с показом слайдов).

3.Закрепление изученного: Решить задачу 1126 (самостоятельно), 1127 (на доске и в тетрадях.

4. Вывести формулу для вычисления площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами. (Объяснение учителя)

5. Итоги урока:

6. Задание на дом: Повторить материал пунктов 105-112, ответить на вопросы 1-12 (стр. 290), решить задачи №1121, 1128, 1124.

УРОК 8:

Решение задач

Цель: Закрепить знания учащихся по изученному материалу главы.

Ход урока

1.Устный опрос учащихся по карточкам:

Карточка 1.

1.Сформулируйте определение правильного многоугольника.

2.Сформулируйте теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

3.Найдите площади сектора, на которые разбивают круг два радиуса, если угол между ними равен 36°, а радиус окружности равен 4м.

Карточка 2.

1.Какая точка называется центром правильного многоугольника?

2.Докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

3.Найдите длины дуг, на которые разбивают окружность два радиуса, если угол между ними равен 72°, а радиус окружности равен 6 дм.

Карточка 3.

1.Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение?

2.Напишите формулы для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

3.Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса3 см.

Карточка 4.

1.Как выражается сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности?

2.Напишите формулу для вычисления радиуса окружности , вписанной в правильный n-угольник, через радиус окружности, описанной около него.

3. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, если их радиусы равны 5 и 10 м.

2. Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

2. Найдите длину окружности радиуса 9м, если градусная мерам дуги равна 120°.

3. Длина дуги окружности равна 3π, а её радиус равен 8.Найдите градусную меру этой дуги.

4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см.

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°.

6. Площадь кругового сектора равна 18π м2 , а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Вариант2.

1. Длина окружности равна С .Найдите площадь ограниченного ею круга.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см.

3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°.

4. Площадь кругового сектора равна 10π м2, а его радиус равен 6м, Найдите центральный угол сектора.

5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если её градусная мера равна 120°.

6. Найдите радиус окружности, если длина окружности равна 6π, а её градусная мера равна 60°.

3.Проверочная самостоятельная работа.

Вариант1.

Задачи №1125, 1129(в), 1132(а), 1144(а),1197.

Вариант2.

Задачи №1128,1129(в), 1132(б), 1143(б),1139

4. Итоги урока: Выставление оценок за устный опрос по карточкам, за математический диктант, Проверочную самостоятельную работу собрать на проверку.

5.Домашняя работа: Повторить главу 12 «Длина окружности и площадь круга»(пункты 105-112), подготовиться к контрольной работе, посмотреть по тетрадям решение задач по всей главе.

УРОК 10

Контрольная работа

Цель: Проверить умение учащихся решать задачи по изученной 12 главе.

Ход урока

I.Выполнение контрольных заданий:

Вариант 1(2)

1.Периметр правильного треугольника(шестиугольника), вписанного в окружность, равен 45 см(48м). Найдите сторону правильного восьмиугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность.

2.Найдите площадь круга (длину окружности), если площадь вписанного в ту же окружность квадрата (правильного шестиугольника) равна 72дм2 (72√3 см2).

3.Найдите длину дуги окружности(кругового сектора) радиуса 3 см (12 см), если её градусная мера равна 150°(120°).

Вариант 3(4)

1.Периметр квадрата (правильного треугольника), вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

2.Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см.(Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45 π м2 а радиус меньшей окружности равен 3м. Найдите радиус большей окружности.

3.Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой, если длина хорды равна 4 м (2м), а градусная мера дуги равна 60° (а диаметр окружности равен 4 см)

II. Итоги.

Правильные многоугольники. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников — МНОГОУГОЛЬНИКИ — САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если его внутренний угол равен 168°.

2. В окружность радиуса √3 см вписан правильный треугольник. Найдите:

а) сторону треугольника;

б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

3. Вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный четырехугольник — правильный.

Вариант 2

1. Найдите количество вершин правильного многоугольника, если его внешний угол равен 8°.

2. В квадрат вписана окружность радиуса 4 см. Найдите:

а) сторону квадрата;

б) радиус окружности, описанной около данного квадрата.

3. Середины сторон правильного семиугольника последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный семиугольник — правильный.

Вариант 3

1. Внешние углы двух правильных многоугольников отличаются на 6°, а суммы внутренних углов этих многоугольников отличаются на 540°. Найдите количество сторон каждого многоугольника.

2. Правильный треугольник АВС вписан в окружность. На стороне ВС построен квадрат, около которого построена окружность Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от ВС, а ВС = 2√3 см.

3. Докажите, что диагонали правильного пятиугольника при пересечении образуют правильный пятиугольник.

Вариант 4

1. Центральные углы двух правильных многоугольников отличаются на 0,8°, а суммы внутренних углов этих многоугольников отличаются на 900°. Найдите количество сторон каждого многоугольника.

2. Общая хорда двух окружностей равна 2√3 см и является для одной из окружностей стороной вписанного шестиугольника, а для другой — стороной вписанного равностороннего треугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

3. На сторонах правильного пятиугольника построены равносторонние треугольники. Докажите, что их вершины, лежащие вне пятиугольника, являются вершинами другого правильного пятиугольника.

Углы многоугольника. Сумма внешних и внутренних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например,  ∠ABC  является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например,  ∠LBC  является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Как найти угол в пятиугольнике

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

углов в пятиугольнике — общее правило и типы пятиугольника

Что такое Пентагон?

  • В простой математике многоугольник можно определить как любую двумерную форму, образованную прямыми линиями.

  • В случае четырехугольника, треугольника и пятиугольника, все они являются прекрасным примером многоугольника.

  • Интересный аспект заключается в том, что в названии любого многоугольника указывается количество сторон, которыми обладает многоугольник.

Это Пентагон?

Типы пятиугольника —

  1. Правильный многоугольник

  2. Неправильный многоугольник

  3. Вогнутый многоугольник

  4. Выпуклый многоугольник

Общее правило

Каждый раз мы добавляем сторону (треугольник, четырехугольник) четырехугольник к пятиугольнику и т. д.), мы добавляем еще 180 ° к общей сумме.:

Что такое правильный многоугольник?

Если все стороны многоугольника равны и все углы многоугольника равны, многоугольник называется правильным многоугольником.

Различные формы, количество сторон, сумма внутренних углов и размер каждого угла —

120 градусов

Форма

сторон

Сумма внутренних углов

Каждый угол

Треугольник

3 стороны

180 градусов

60 градусов

Четырехугольник

4 стороны

360 градусов

73

90 градусов

Пентагон

5 сторон

540 градусов

108 градусов

Шестигранник

6 сторон

720 градусов

73

Шестигранник

(или семиугольник)

7 сторон

900 градусов

128.57 градусов

Восьмиугольник

8 сторон

1080 градусов

135 градусов

Nonagon

9 сторон

1260 градусов

140 градусов

Общее правило


Сумма внутренних углов многоугольника =

180 × (n − 2) градусов, где n — количество сторон

Измерение каждого из углов (в правильном многоугольнике) =

180 градусов × (n − 2) / n, где n — количество сторон /.

Свойства

Правильный пятиугольник имеет следующие свойства:

  • Внутренние углы размером 108 °

  • Внешние углы размером 72 °

  • Площадь правильного пятиугольника составляет приблизительно 1,7204774 × s2 (где s равно длине стороны)

Любой пятиугольник имеет следующие свойства:

Сумма углов в пятиугольнике:

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Чтобы найти сумму углов в пятиугольнике разделите пятиугольник на разные треугольники.В треугольнике три угла. Так как сумма углов треугольников равна 180 градусам.

3 x 180 = 540 градусов

Следовательно, сумма углов в пятиугольнике составляет 540 градусов.

Правильные пятиугольники:

Свойства правильных пятиугольников —

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

  1. Все стороны имеют одинаковую длину (конгруэнтны, то есть равны), и все внутренние углы равны одинакового размера (конгруэнтный).

  2. Теперь, чтобы найти меру внутренних углов пятиугольника, мы знаем, что сумма всех углов в пятиугольнике равна 540 градусам (из вышеприведенного рисунка) и существует пять углов. (540/5 = 108 градусов)

  3. Итак, внутренний угол правильного пятиугольника равен 108 градусам.

Как измерить центральные углы правильного пятиугольника?

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Чтобы найти размер центрального угла правильного пятиугольника, нам нужно создать круг в середине пятиугольника.Мы знаем, что круг равен 360 градусам. Теперь разделите это на пять углов. Теперь размер каждого центрального угла равен 360/5 = 72 градусам.

Итак, размер центрального угла правильного пятиугольника равен 72 градусам.

Пентагон с прямым углом

  • Пятиугольник имеет пять сторон.

  • У правильного пятиугольника нет прямых углов (его внутренние углы равны 108 градусам).

  • Неправильный пятиугольник имеет не более трех прямых углов, потому что четвертый оставит 180 градусов, которые будут использоваться для конечного угла, то есть (540 градусов — 360 градусов), который является прямой линией.

  • Однако, чтобы пятиугольник имел прямые углы, он должен быть неравномерным, поскольку сумма всех внутренних углов пятиугольника всегда составляет 540 градусов.

Выпуклый пятиугольник и вогнутый пятиугольник

Если все вершины пятиугольника направлены наружу, то этот пятиугольник можно назвать выпуклым пятиугольником. Если у пятиугольника есть хотя бы одна вершина, указывающая внутрь, то пятиугольник можно назвать вогнутым пятиугольником.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Вопросы, требующие решения —

Вопрос 1) Представлена ​​ли диаграмма под Пентагоном?

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Ответ) Приведенная ниже фигура не может быть известна как пятиугольник, потому что из свойств пятиугольника мы знаем, что это должна быть замкнутая фигура.Но приведенная выше фигура открытая, поэтому это не пятиугольник.

Пентагон

Пятиугольник — это пятиугольник. На рисунке ниже представлены 3 различных типа пятиугольников.

Пентагон, расположенный недалеко от Вашингтона, округ Колумбия, — одно из крупнейших офисных зданий в мире. С высоты птичьего полета он выглядит как пятиугольник.

Классификация Пентагона

Как и другие многоугольники, пятиугольник можно разделить на правильный и неправильный. Если все стороны и внутренние углы пятиугольника равны, это правильный пятиугольник.В противном случае это неправильный пятиугольник.

Правильный пятиугольник Неправильный пятиугольник
Все стороны и внутренние углы равны Не все стороны и углы равны

Пентагоны или другие многоугольники также могут быть классифицированы как выпуклые или вогнутые. Если все внутренние углы пятиугольника или многоугольника меньше 180 °, он выпуклый. Если один или несколько внутренних углов больше 180 °, он вогнутый.Правильный пятиугольник — это всегда выпуклый пятиугольник.

Выпуклый пятиугольник Вогнутый пятиугольник
Все внутренние углы <180 ° Один или несколько внутренних углов> 180 °

Диагонали пятиугольника

Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий две непоследовательные вершины. Из каждой вершины можно провести две диагонали. Всего для пятиугольника можно нарисовать пять диагоналей.Следующий рисунок является примером.

Внутренние углы пятиугольника

Сумма внутренних углов пятиугольника равна 540 °.

Как показано на рисунке выше, можно провести две диагонали, чтобы разделить шестиугольник на три треугольника. Синие линии выше показывают только один способ разделить пятиугольник на треугольники; есть и другие. Сумма внутренних углов трех треугольников равна сумме внутренних углов пятиугольника. Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 °, сумма внутренних углов пятиугольника составляет 3 × 180 ° = 540 °.

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник — это пятиугольник, стороны которого равны по длине, а внутренние углы равны по размеру.

  • Поскольку все внутренние углы в правильном пятиугольнике равны по размеру, каждый внутренний угол составляет 540 ° / 5 = 108 °, как показано ниже.
  • Каждый внешний угол правильного пятиугольника равен 72 °.

Симметрия правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник имеет 5 линий симметрии и вращательную симметрию 5-го порядка.Это означает, что его можно повернуть так, чтобы он выглядел так же, как исходная форма 5 раз на 360 °.

Линии симметрии Вращательная симметрия
5 линий симметрии Пять углов поворота 72 °

Площадь правильного пятиугольника

Площадь правильного пятиугольника с длиной стороны s:

Внутренние углы правильных многоугольников

Внутренние углы правильных многоугольников

Помните, что сумма из внутренних углов многоугольника определяется формулой

Сумма внутренних углов = 180 (n — 2)
, где n = количество сторон многоугольника.

Многоугольник называется ОБЫЧНЫМ многоугольником , если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы одинаковой меры.
Правильный многоугольник бывает равносторонним и равноугольным.

Давайте исследуем правильный пятиугольник, показанный выше.
Чтобы найти сумму его внутренних углов , подставьте n = 5 в формулу 180 (n — 2) и получите 180 (5-2) = 180 (3) = 540 °

Поскольку пятиугольник представляет собой правильный пятиугольник , размер каждого внутреннего угла будет одинаковым.
Чтобы найти размер каждого угла, разделите сумму 540º на количество углов в пятиугольнике.
(то же самое, что и количество сторон).
540 ° ÷ 5 = 108 °
В каждом внутреннем угле правильного пятиугольника есть 108 ° в .

Этот процесс можно обобщить в формулу для нахождения каждого внутреннего угла ОБЫЧНОГО многоугольника

Каждый внутренний угол «правильного» многоугольника равен
, где n = количество сторон многоугольника.

Примечание: Если многоугольник НЕ ОБЫЧНЫЙ (например, показанный справа), вы не можете использовать эту формулу. Если углы многоугольника НЕ имеют одинаковой меры, то вы не можете найти меру любого из них, просто зная их сумму.

Примеры

Внимательно прочтите эти вопросы! Если в вопросе появляется слово « КАЖДЫЙ », вам, скорее всего, понадобится формула для «каждого внутреннего угла», чтобы решить проблему.

1. Найдите количество градусов в каждом внутреннем угле правильного двенадцатиугольника.
Это правильный многоугольник, поэтому мы можем использовать формулу.
В двенадцатиугольнике n = 12.

2. Каждый внутренний угол правильного многоугольника составляет 135 °. Сколько сторон у многоугольника?

  1. Сначала установите формулу (для каждого внутреннего угла) равной заданному количеству градусов.
  2. Крест умножить.
  3. Умножим 180 на (n — 2).
  4. Вычтем 135n из обеих частей уравнения.
  5. Разделите обе части уравнения на 45.

Пентагон. Калькулятор | Определение | Формула

С помощью этого калькулятора пятиугольника вы найдете основные свойства правильного пятиугольника: сторону, диагональ, высоту, периметр и площадь, а также радиус описанной и вписанной окружности. Введите любое значение, и остальные параметры будут рассчитаны на месте. Если вы не уверены, что такое пятиугольник или сколько сторон у него, продолжайте прокручивать, и вы найдете проясняющие картинки с кратким пояснением.

Что такое пятиугольник? Сколько сторон у пятиугольника?

Пентагон — это 5-сторонний многоугольник . Пентагон может быть простым или самопересекающимся.

Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °, поэтому каждый внутренний угол равен 108 °. У правильного простого пятиугольника все пять сторон равны по длине. (В этой статье мы используем термин «правильный пятиугольник» для описания правильного простого пятиугольника).

Площадь и периметр правильного пятиугольника

Площадь правильного пятиугольника можно рассчитать по формуле:

площадь = a² * √ (25 + 10√5) / 4 , где a — сторона правильного пятиугольника.

Также вы можете найти область с радиусом вписанной окружности:

площадь = 5 * r² * √ [(5 + √5) / 2] / 4 , где r — радиус вписанной окружности.

Периметр P правильного пятиугольника равен длине стороны, умноженной на количество вершин. Пентагон — это 5-сторонний многоугольник, поэтому периметр:

.

периметр = 5 *

Высота и диагональ правильного пятиугольника

Чтобы рассчитать высоту и диагональ правильного пятиугольника, все, что вам нужно, это длина стороны a :

диагональ = a * (1 + √5) / 2

высота = a * √ (5 + 2√5) / 2

Пентагон имеет пять диагоналей равной длины, которые образуют пентаграмму.

Как решить правильный пятиугольник с помощью этого калькулятора пятиугольника?

Теперь, когда мы знаем определение пятиугольника, мы можем взглянуть на этот пошаговый пример:

  1. Узнайте, что дано . Для правильного пятиугольника достаточно одного параметра, чтобы найти оставшиеся шесть.
  2. Введите значение в пятиугольник калькулятора . Возьмем для примера самый известный почти правильный пятиугольник — здание Пентагона, штаб-квартиру Министерства обороны США.Со страницы Википедии мы узнаем, что это 1414 футов в ширину — это высота пентаграммы.


Пентагон, 1414 футов, 431 м (голубой)
RMS Queen Mary 2, 1132 фута, 345 м (розовый)
USS Enterprise с ядерным двигателем ВМС США, 1123 фута, 342 м (желтый)
Дирижабль LZ 129 Hindenburg, 804 фута , 245 м (зеленый)
Ямато Императорского флота Японии, 863 фута, 263 м (темно-синий)
Эмпайр-стейт-билдинг, 1454 фута, 443 м (серый)
Супертанкер Knock Nevis, 1503 фута, 458 м (красный) Главное здание Apple Park, 1522 фута, 458 м (зеленый)

  1. Появляются параметры пятиугольника! Это:
  • сторона — 918.9 футов
  • Диагональ
  • — 1486,8 футов
  • периметр — 4594 футов (0,87 мили)
  • площадь — 33,35 ак
  • Радиус описанной окружности — 781,6 фута
  • радиус вписанной окружности — 632,4 фута

Вы заметили, насколько он огромен? Посмотрите по периметру — это почти миля! На самом деле каждая сторона здания составляет ~ 921 фут в длину — похоже, это практически правильный пятиугольник!

Прочие правильные формы

Если вас интересуют другие правильные формы, обратите внимание на наши замечательные инструменты:

7.1: Правильные многоугольники — математика LibreTexts

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примеры правильного многоугольника: равносторонний треугольник (3 стороны), квадрат (4 стороны), правильный пятиугольник (5 сторон) и правильный шестиугольник (6 сторон). Углы правильного многоугольника легко найти, используя методы раздела 1.5.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Примеры правильных многоугольников.

Предположим, мы нарисовали биссектрису каждого угла правильного многоугольника. Мы обнаружим, что все эти биссектрисы угла пересекаются в одной точке (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Биссектрисы правильного многоугольника пересекаются в одной точке \ (O \). \ (O \) называется центром правильного многоугольника.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \)

Биссектрисы каждого угла правильного многоугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \). \ (O \) — центр каждого правильного многоугольника. Отрезок каждой биссектрисы угла от центра до вершины называется радиусом .Например, \ (OA, OB, OC, OD \) и \ (OE \) — пять радиусов правильного пятиугольника \ (ABCDE \).

Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

Радиусы правильного многоугольника делят многоугольник на равнобедренные равнобедренные треугольники. Все радиусы равны.

На рисунке \ (\ PageIndex {3} \) радиусы \ (OA, OB, OC, OD \) и \ (OE \) делят правильный пятиугольник на пять равнобедренных треугольников с \ (OA = OB = OC = OD = OE \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): пять радиусов правильного пятиугольника.{\ circ} \).

Теорема \ (\ PageIndex {1} \) и теорема \ (\ PageIndex {2} \) кажутся интуитивно верными, но мы проверяем их формальным доказательством:

Доказательство теорем \ (\ PageIndex {1} \) и теорем \ (\ PageIndex {2} \): мы докажем эти теоремы для правильного пятиугольника. Доказательство для других правильных многоугольников аналогично.

Нарисуйте биссектрисы углов \ (\ angle A \) и \ (\ angle B \), как на рисунке \ (\ PageIndex {4} \), и назовите их точку пересечения \ (O \). Мы покажем, что \ (OC, OD \) и \ (OE \) — биссектрисы углов \ (\ angle C \), \ (\ angle D \) и \ (\ angle E \) соответственно.

\ (\ angle EAB = \ angle ABC \), поскольку углы правильного пятиугольника равны. \ (\ angle 1 = \ angle 2 = \ dfrac {1} {2} \) из \ (\ angle EAB = \ dfrac {1} {2} \) из \ (\ angle ABC = \ angle 3 = \ angle 4 \), поскольку \ (OA \) и \ (OB \) — биссектрисы углов.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): начертите биссектрисы углов \ (\ angle A \) и \ (\ angle B \) и назовите их точки пересечения \ (O \). Рисунок \ (\ PageIndex {5 } \). Нарисуйте \ (OC \).

Draw \ (OC \) (Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). \ (AB = BC \), поскольку стороны правильного пятиугольника равны.Следовательно, \ (\ треугольник AOB \ cong \ треугольник COB \) by \ (SAS = SAS \). Следовательно, \ (\ angle 5 = \ angle 2 = \ dfrac {1} {2} \) из \ (\ angle EAB = \ dfrac {1} {2} \) из \ (\ angle BCD \). Итак, \ (OC \) — биссектриса угла \ (\ angle BCD \).

Аналогичным образом мы можем показать \ (\ треугольник BOC \ cong \ треугольник DOC \), \ (\ треугольник COD \ cong \ треугольник EOD \), \ (\ треугольник DOE \ cong \ треугольник AOE \) и что \ (OD \) и \ (OE \) — биссектрисы угла. Все треугольники равнобедренные, потому что их углы при основании равны. Это завершает доказательство.

Отрезок линии, проведенный от центра перпендикулярно сторонам правильного многоугольника, называется апофемой (см. Рисунок \ (PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Апофемы правильного пятиугольника.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \)

Все апофемы правильного многоугольника равны. Они делят стороны правильного многоугольника пополам.

Проба

Все апофемы равны, потому что они являются высотами конгруэнтных равнобедренных треугольников, образованных радиусами (см. Теорему \ (\ PageIndex {2} \)). Каждая апофема делит равнобедренный треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника, поэтому каждая апофема делит пополам. сторона многоугольника, что мы и хотели доказать.{\ circ}} & = & {\ dfrac {a} {10}} \\ {(10) 1.3764} & = & {\ dfrac {a} {10} (10)} \\ {13.764} & = & {a} \\ {13.8} & = & {a} \ end {array} \)

Ответ: 13,8

Апофема правильного многоугольника важна, потому что она используется для определения площади:

Теорема \ (\ PageIndex {4} \)

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения апофемы и периметра.

\ [A = \ dfrac {1} {2} a P \]

Проба
Рисунок \ (PageIndex {9} \).Площадь \ (\ треугольника AOB \) равна \ (\ dfrac {1} {2} \) as, где \ (s \) — сторона пятиугольника.

Докажем теорему для правильного пятиугольника. Доказательство для других правильных многоугольников аналогично.

Радиусы правильного пятиугольника делят правильный пятиугольник на пять равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна \ (\ dfrac {1} {2} \) as, где \ (s \) — сторона пятиугольника (рисунок \ (PageIndex {9} \)). Следовательно, площадь пятиугольника = 5 (\ dfrac {1} {2} as) = ​​\ dfrac {1} {2} a (5s) = \ dfrac {1} {2} aP \), что является формулой, которую мы хотел доказать.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите площадь правильного пятиугольника со стороной 20 с точностью до десятых.

Решение

Из примера \ (\ PageIndex {2} \) мы знаем \ (a = 13.764 \). Периметр \ (P = (5) (20) = 100 \). Следовательно, \ (A = \ dfrac {1} {2} aP = \ dfrac {1} {2} (13,764) (100) = \ dfrac {1} {2} (1376,4) = 688,2 \).

Ответ: 688,2

Чтобы найти периметр правильного многоугольника, все, что нам нужно сделать, это умножить длину стороны на количество сторон.{\ circ}} {n} \) приближается к числу \ (\ pi \). Мы вернемся к этому моменту, когда обсудим длину окружности в разделе 7.5.

Пример \ (\ PageIndex {4} \) (повторяется)

Найдите периметр правильного пятиугольника с радиусом 10 с точностью до десятых.

Решение

Из таблицы

\ [\ begin {align *} P & = 5,8780 \ r \\ [4pt] & = 5,8780 (10) \\ [4pt] & = 58,78 \\ [4pt] & = 58,8 \ end {align *}. \ ]

Ответ : 58.{\ circ}} & = & {\ dfrac {a} {10}} \\ {(10) .8090} & = & {\ dfrac {a} {10} (10)} \\ {8.090} & = & {a} \ end {array} \)

Из примера \ (\ PageIndex {4} \), \ (P = 58,78 \). Следовательно, по теореме \ (\ PageIndex {4} \)

\ (A = \ dfrac {1} {2} a P = \ dfrac {1} {2} (8.09) (58.78) = \ dfrac {1} {2} (475.5302) = 237.7651 = 237.8. \)

Ответ : \ (a = 8,1, P = 237,8 \).

Историческая справка

В 1936 году археологи обнаружили группу древних вавилонских таблиц, содержащих формулы для площади правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью, шестью и семью сторонами. Есть свидетельства того, что правильные многоугольники обычно использовались в архитектуре и дизайне других древних цивилизаций как Ну, классической задачей греческой математики было построение правильного многоугольника, используя только линейку и циркуль. Правильные многоугольники обычно изучались по отношению к окружностям.{\ circ} \) и радиус \ (r \) правильных многоугольников:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7 — 18. Найдите апофему, периметр и площадь с точностью до десятых:

7. правильный пятиугольник со стороной 40.

8. правильный пятиугольник со стороной 16.

9. правильный шестигранник со стороной 20.

10.правильный шестигранник со стороной 16.

11. правильный десятиугольник (десятиугольник) со стороной 20.

12. Правильный нонагон (девятиугольник) со стороной 20.

13. правильный пятиугольник с радиусом 20.

14. правильный пятиугольник с радиусом 5.

15. правильный шестиугольник с радиусом 10.

16. Правильный шестиугольник с радиусом 20.

17. правильный десятиугольник с радиусом 10.

18. Правильный девятиугольник с радиусом 20.

Видео с вопросом: Определение угла в правильном многоугольнике

Стенограмма видео

Это правильный многоугольник.Найдите угол 𝑥.

Если это правильный многоугольник, то он равносторонний и равносторонний. Равноугольный означает, что все углы равны по размеру. А равносторонний означает, что длина всех сторон одинакова. Это означает, что угол 𝑥 будет равен этому углу, этому углу, этому углу и этому углу. Теперь есть формула, по которой можно найти угол правильного многоугольника. Это 𝑛 минус два умножить на 180 и все разделить на, где 𝑛 — количество сторон.

Итак, чтобы найти количество сторон, нам просто нужно их посчитать: один, два, три, четыре и пять.Значит, мы работаем с пятиугольником. Значит, нам нужно подключить пять для 𝑛. Итак, у нас есть пять минус два умножить на 180 и все разделить на пять. Итак, пять минус два — три. И трижды 180 равно 540. А 540, разделенное на пять, равно 108. Следовательно, 𝑥 равно 108 градусам.

Теперь предположим, что мы не запомнили формулу. Но мы помнили, что в треугольнике 180 градусов. И если мы возьмем нашу форму и разделим ее на треугольники, мы узнаем, сколько градусов в сумме будет иметь форма.Итак, нам нужно выбрать вершину. Как насчет этого? А затем от этой вершины перейдите к другим углам, насколько это возможно, и сделайте как можно больше треугольников внутри фигуры: один, два и три. Итак, есть три треугольника. И обратите внимание, все углы треугольников — например, первого треугольника — все находятся в вершинах этого многоугольника, то же самое для второго и третьего треугольников. В центре действительно ничего нет.

Итак, есть три треугольника под углом 180 градусов.Итак, берем 180 и умножаем на три. Получаем 540 градусов. Итак, это представляет собой сложение всех углов. Итак, если нам нужен только один из них, и все они равны, мы можем разделить на количество углов, которые есть. А их есть: раз, два, три, четыре, пять. Итак, делим на пять и получаем, что каждый угол равен 108 градусам, как и раньше.

И снова угол 𝑥 равен 108 градусам.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.