Шестиугольник как называется в геометрии: Правильный шестиугольник и его свойства

Шестиугольник — это простая, но замечательная форма, которую можно найти повсюду и где угодно — от искусства до архитектуры и природы. Вот несколько замечательных примеров шестиугольников в реальной жизни:

Шестиугольники в реальной жизни: Снежинки

Знаете ли вы, что все снежинки — шестиугольники? Когда образуются кристаллы льда, молекулы объединяются в гексагональную структуру . Мать-природа определила, что этот тип формирования является наиболее эффективным способом образования снежинок.

Шестиугольники в реальной жизни: соты

Правильные шестиугольники — это один из трех многоугольников, которые образуют мозаику на плоскости — это означает, что их можно бесконечно дублировать, чтобы заполнить пространство без пробелов. И когда пчелы строят соты, они выбирают шестиугольники. Всегда!

Шестиугольники в реальной жизни: Архитектура

Пчелы не единственные, кто понимает силу и эффективность шестиугольников. Древняя и современная архитектура постоянно использует эту форму от напольной плитки до окон и богато украшенных потолков. Шестиугольники повсюду!

Шестиугольники в реальной жизни: Искусство

Благодаря своей красивой форме и способности создавать мозаику, шестиугольники постоянно используются в искусстве и графическом дизайне для создания узоров, мозаик, логотипов и многого другого!

На самом деле, многие компании выбирают для логотипа шестиугольную форму, поскольку она символизирует силу и безопасность.

Шестиугольники в реальной жизни: религия

Поскольку правильные шестиугольники часто встречаются в природе (например, снежинки и соты), они часто включаются в сакральную геометрию, которая придает более высокое значение и духовность определенным формам и пропорциям. На самом деле, некоторые считают шестиугольник самой интересной формой во Вселенной.

2 комментария

Введение в гексагональную геометрию

Содержание

• Введение
• Некоторые наблюдения о шестиугольниках
• Базовая геометрия шестиугольников
• Шестиугольная мозаика
• Шестиугольники и круги
• Шестиугольники и треугольники
• Заключение

Введение

Ниже приводится краткий обзор некоторых элементарных свойств шестиугольников и того, почему они могут быть полезны. Он не предназначен для всестороннего рассмотрения предмета. Меня особенно интересуют математические свойства шестиугольников и, в некоторой степени, их роль в мире природы. Я избегал обсуждения шестиугольников в связи с человеческой культурой, религией, историей и другими «местными» интересами, хотя в этих областях есть много интересных примеров шестиугольника и шестиугольника, и они, несомненно, будут более подробно рассмотрены в другом месте в другой раз. .

Эта статья в значительной степени находится в стадии разработки и на самом деле не «готова» в каком-либо осмысленном смысле. Он актуален на момент последнего обновления. В какой-то момент я намерен заменить или, по крайней мере, дополнить его более полным и красноречивым обзором гексагональных концепций. Имейте в виду, что в этой статье исследуется лишь очень небольшая часть интересных свойств шестиугольников, и есть надежда, что более полное представление об их качествах появится благодаря сумме разнообразного материала, доступного на этом сайте.

Примечание о терминологии: По моему обычному правилу, если не указано иное, «шестиугольник» относится только к правильным шестиугольникам. Кроме того, я склонен довольно расплывчато говорить о «гексагональности» того или иного. Описывая вещи как «шестиугольные», я часто имею в виду в очень широком смысле все шестиугольные и подобные шестиугольникам симметрии, а не обязательно правильные шестиугольники как таковые.

Некоторые наблюдения о шестиугольниках

Шестиугольник — это замкнутая плоская фигура с шестью ребрами и шестью вершинами. Правильный шестиугольник — выпуклая фигура со сторонами одинаковой длины и внутренними углами 120 градусов. Он имеет шесть вращательных симметрий и шесть отражательных симметрий, образуя группу диэдра D ₆ .

Свойства шестиугольников многочисленны и интересны. На первый взгляд выделяются несколько фактов о них:

• Шестиугольники являются одним из трех правильных многоугольников, образующих мозаику на евклидовой плоскости (наряду с квадратами и треугольниками).
• Шестиугольная мозаика комбинаторно идентична плотной упаковке кругов на плоскости.
• Шестиугольники — это единственные правильные многоугольники, которые можно разделить на другие правильные многоугольники. (Насколько мне известно, шестиугольники — единственные правильные многогранники любой размерности, обладающие этим особым свойством. )
• В родственном факте шестиугольники являются единственным правильным многоугольником, расстояние между центром и каждой вершиной которого равно длине каждой стороны (разделяя это свойство с кубооктаэдром в 3-пространстве).
• Шестиугольники — это первые многоугольники — при возрастании числа сторон — которые не образуют граней правильного выпуклого многогранника в евклидовом пространстве. Три многоугольника с меньшим количеством сторон составляют поверхности пяти платоновых тел, но ни один многоугольник с шестью или более сторонами не может быть использован для этой цели. Следствием этого является то, что ни один правильный многогранник ни в каком измерении не имеет шестиугольных граней, хотя многие из них имеют шестиугольные или шестиугольно-симметричные вершины или другие элементы.
• Шестиугольники — это перестановочные эдра третьего порядка, что означает, что каждая вершина шестиугольника может быть описана в декартовых координатах с использованием одной из шести перестановок чисел 1, 2 и 3. Такой шестиугольник будет лежать на плоскости, состоящей из всех точек с координатами, в сумме дает 6 и делит пополам куб единичной длины 2 между координатами 1 и 3.

Еще одна интересная вещь о шестиугольниках — и, возможно, самый поразительный факт о них — это то, что они действительно имеют шесть сторон. Давайте на минутку перечислим некоторые интересные факты о числе шесть:

• Шесть — очень составное число, второе по величине составное число и первое совершенное число. То есть 1*2*3 = 1+2+3 = 6.
• В связи с этим шесть — единственное число, которое одновременно является суммой и произведением трех последовательных натуральных чисел (1, 2 и 3).
• Шесть — наименьшее составное целое число без квадратов и, соответственно, первое натуральное число с двумя различными простыми множителями (2 и 3).
• У кубов шесть сторон, и они тоже очень полезны.

И так далее. Очевидно, что большинство уникальных и интересных свойств числа шесть в конечном счете проистекает из того факта, что оно является произведением 90 249 и суммы 90 250 первых трех натуральных чисел и что в более философском смысле его можно рассматривать как сочетание архетипические ценности единства, двойственности и троичности в несколько сбалансированное целое. Единство разделяется на двойственность, которая примиряется в троице (один плюс два, или два, соединяющиеся в одно), которая затем воссоединяется с двойственностью и единством — либо аддитивно, либо мультипликативно — чтобы получить нашу уважаемую шестерку.

Конечно, есть много других шестиугольных и соответствующих шестиугольнику чисел, и было бы ошибкой связывать шестиугольник только с шестью. Семерка, например, часто занимала видное место в человеческой культуре и, в частности, в некоторых религиозных традициях. Если вернуться назад и посмотреть на различные геометрические формы, связанные с такими семерками, часто становится очевидным, что они представляют собой шесть периферийных сущностей вокруг одной центральной сущности — наподобие шестиугольно упакованных кругов или шестиугольной мозаики. По-видимому, не шестиугольные числа, такие как восемь и десять, также имеют шестиугольные коннотации, как и различные центрированные шестиугольные числа, правильные шестиугольные числа и так далее. Не говоря уже о числах, кратных шести, таких как двенадцать, которые сами по себе тоже являются действительно большим числом (добавляя делимость на 4 к ситуации 1, 2, 3). Но, конечно же, само собой разумеется, что шесть имеет четкую связь с шестиугольником, и стоит знать о его уникальных и интересных свойствах в этом отношении.

В конечном счете я утверждаю, что чем больше вы изучаете математические и физические основы Вселенной, тем более заметными и интересными становятся шестиугольники, шестерки и их различные аналоги в других математических системах. В задачу данной статьи не входит формулирование какой-либо всеобъемлющей интерпретации этого, но это стоит отметить и учесть в наших интерпретациях реальности и отношениях с ней.

На этом этапе я хотел бы остановиться на нескольких шестиугольных вопросах, поднятых выше.

Базовая геометрия шестиугольников

Давайте сначала рассмотрим более внимательно основные пропорции и отношения благородного шестиугольника:

Апофема правильного шестиугольника равна половине квадратного корня из 3. Это можно продемонстрировать с помощью единичного шестиугольника, где длина каждой стороны равна 1. Затем мы можем нарисовать прямоугольный треугольник, используя диаметр вершины к вершине. шестиугольника в качестве гипотенузы. Поскольку известно, что диаметр такого шестиугольника равен 2, у нас остается одно неопределенное ребро нашего треугольника, равное расстоянию между двумя противоположными ребрами шестиугольника (которое вдвое больше апофемы). Назовем это ребро х . Тогда теорема Пифагора говорит нам, что 1 ² + x ² = 2 ² . Отсюда следует, что 1 + x ² = 4, x ² = 3, и, таким образом, x = √3. Следовательно, отношение «высоты» к «ширине» правильного шестиугольника равно √3/2. Quod Erat demstrandum.

Интересным следствием этого является то, что правильные шестиугольники и равносторонние треугольники имеют точно такое же отношение «ширины» к «высоте». То есть минимальный диаметр шестиугольника и треугольника составляет √3/2 его максимального диаметра. Действительно, √3 является повторяющимся значением в треугольной и шестиугольной геометрии — например, расстояние по диагонали между двумя противоположными вершинами куба также равно √3 (сравните ширину диагонали квадрата, которая равна √2, по причинам, аналогичным изложенные выше). Как следствие, конечно, √3 занимает видное место в плоской тригонометрии, где оно заметно в выражении различных значений 60 и 30 градусов.

Площадь шестиугольника также можно рассчитать с помощью √3. Давайте сначала определим длину ребра нашего шестиугольника как s . Затем мы можем нарисовать прямоугольник между двумя противоположными сторонами шестиугольника с площадью s ² √3. Если мы тогда учтем, что у нас осталось 4 прямоугольных сечения, и что сам шестиугольник можно считать состоящим из 12 таких треугольников, 8 из которых мы включили в наш прямоугольник, ясно, что общая площадь шестиугольника в полтора раза больше площади прямоугольника. Таким образом, с ² √3(3/2). Quod erat faciendum.

(Это также пример более общего принципа, согласно которому площадь правильного выпуклого многоугольника равна произведению периметра и апофемы, деленному на 2 (в данном случае 6s√3/2/2). Это связано с к тому факту, что мы можем разделить n -сторонний правильный выпуклый многоугольник на 2 n прямоугольных треугольников, проведя отрезки от центра к каждой вершине, а также от центра к середине каждого ребра. предположим, что каждые 2 образованных таким образом прямоугольных треугольника могут быть объединены в прямоугольник с площадью апофемы, умноженной на половину длины ребра Таким образом, просто разделив произведение апофемы на общий периметр пополам, мы придем к общему площадь полигона).

Шестиугольная мозаика

Как отмечалось ранее, шестиугольники могут быть мозаичными или мозаичными по регулярному шаблону на плоской двумерной плоскости. То есть шестиугольник может быть окаймлен шестью другими шестиугольниками, которые сами могут быть окаймлены шестью шестиугольниками (включая друг друга) и так далее до бесконечности в любом направлении, не оставляя пустого места. Обратите внимание, что хотя существует любое количество потенциальных мозаик, состоящих из двух или более типов многоугольников, только шестиугольники, квадраты и треугольники могут образовывать такие правильные мозаики сами по себе. (Точно так же и в трех измерениях среди однородных многогранников только шестигранный куб и шестиугольно-аналогичный усеченный октаэдр могут сами по себе образовывать заполняющие пространство мозаики.)

Таким образом, шестиугольник, конечно, является правильным многоугольником, допускающим тесселяцию с самой высокой стороной. Это делает его уникально важным в различных областях, поскольку он имеет то преимущество, что каждый составляющий шестиугольник более или менее равномерно отделен от его соседей. То есть любая заданная точка внутри шестиугольника (будь то мозаика шестиугольников или нет) ближе к центру этого шестиугольника, чем любая заданная точка равновеликого квадрата или треугольника. Поскольку квадраты и треугольники имеют более острые углы, точки возле их углов находятся дальше от точек в других местах их площади, чем они были бы в аналогичных местах в шестиугольнике. Теперь то же самое верно и для любого многоугольника с более высокими сторонами — идеальной эффективностью для ограждения данной области является, в конечном счете, круг. Но опять же, у шестиугольников есть преимущество тесселяции. Таким образом, для любой задачи, требующей как регулярной сетки ячеек, так и элементов, и эффективное ограждение площади этой ячейки, шестиугольная мозаика является логичным и необходимым выбором. Общие примеры такого использования шестиугольных ячеек можно найти в таких различных областях, как клеточные автоматы, статистическая выборка, настольные игры, компьютерные игры, соты уважаемой медоносной пчелы и так далее.

Родственным свойством шестиугольной мозаики является то, что она не создает диагональных ребер. (Под «диагональю» здесь я подразумеваю соседей, у которых общая граница только вершины, а не границы ребра — я не знаю более точного математического термина для этого, хотя я знаю, что это не совсем то, что означает «диагональ» в самом строгом смысле. смысл этого термина.) Если вы посмотрите на замощение треугольников и квадратов, вы, конечно, увидите, что оба имеют диагональные связи между соседними элементами в своих вершинах. В квадратной мозаике каждый квадрат соединяется с одним квадратом непосредственно на каждой стороне и с одним квадратом по диагонали на каждой вершине, всего восемь соседних квадратов, а в треугольной мозаике каждый треугольник соединяется с одним треугольником на каждой стороне и с тремя треугольниками по диагонали на каждой вершине. вершина, всего двенадцать соседних треугольников. Эти диагональные соединения, конечно же, являются ключом к способности квадратов и треугольников образовывать правильные многогранники — удаляя диагональные соседи вокруг квадрата, можно легко свернуть оставшиеся соседние квадраты, пока они не соединятся друг с другом напрямую, образуя многогранник. куб, и, аналогичным образом удаляя из треугольника одного, двух или трех соседей по диагонали, можно сложить оставшиеся треугольники в икосаэдр, октаэдр или тетраэдр соответственно. (Хотя следует отметить, что, хотя оба диагонально-мозаичных правильных многоугольника образуют правильные многогранники, если сложить их таким образом, на первый взгляд нет особой причины, по которой это должно быть .) И наоборот, именно поэтому шестиугольники не могут образовывать собственные правильные многогранники. Каждый внешний угол шестиугольника равен 120 градусам, а единственная возможная конфигурация вершин — в евклидовом пространстве — с тремя соседними углами, составляющими в сумме 360 градусов (конечно, за исключением «вырожденного» шестиугольного двугранника, который не особенно полезен для наши цели здесь).

Шестиугольная мозаика двойственна треугольной мозаике: первую можно превратить во вторую, заменив все вершины треугольниками, а все шестиугольники вершинами. Точно так же в треугольной мозаике, если вы замените все треугольники вершинами, а все вершины шестиугольниками, вы снова получите шестиугольную мозаику. (Любой многогранник или мозаику с обратными количествами внешних элементов можно обратить по тому же принципу: октаэдр — это обратная сторона куба, а икосаэдр — обратная сторона додекаэдра — каждый представляет собой перестановку вершины/грани своего аналога. Это может быть представлено нотно путем обращения символа Шлефли определенного объекта — в случае шестиугольной и треугольной мозаики, заменяя {6,3} на {3,6} или наоборот.) Кроме того, поскольку шестиугольники могут быть разделены на равносторонние треугольники , а равносторонние треугольники могут быть объединены в шестиугольники, треугольная мозаика может рассматриваться как простое подразделение шестиугольной или наоборот.

Последним преимуществом шестиугольной мозаики или шестиугольных решеток, заслуживающим внимания, является ее прочность на сжатие и растяжение и эффективность по сравнению с другими вариантами мозаики. Если мы рассмотрим абстрактную физическую «структуру», состоящую из отрезков линий между вершинами правильной многоугольной мозаики (т. подобные треугольные или квадратные конструкции. Либо треугольная, либо шестиугольная конструкция, построенная таким образом, будет явно прочнее квадратной конструкции, и хотя треугольная конструкция, при прочих равных условиях, будет прочнее шестиугольной, она также потребует больше материала (с шестью линиями, соединяющимися в одной точке). каждую вершину вместо трех) и, таким образом, быть менее «эффективным» — хотя для конкретных приложений, очевидно, это может быть предпочтительнее.

Тот факт, что квадратные решетки не обладают силой шестиугольных или треугольных решеток, становится очевидным, если рассмотреть изображение трех структур, представив, что в каждой вершине линейные сегменты структуры сближаются или расходятся с той силой, с которой они должны были бы физическая структура. Ясно, что с четырьмя сегментами, отходящими точно под углом 90 градусов в каждой вершине, квадратная структура легко срезается как по горизонтали, так и по вертикали — у нее нет других углов, поддерживающих ее структуру, поэтому они просто переворачиваются. И наоборот, в треугольной и шестиугольной конфигурации отрезки линии, сходящиеся под углами 60 и 120 градусов, предотвращают сдвиг или разрушение — они уравновешивают друг друга и равномерно распределяют нагрузку (какой бы она ни была).

Например, если вы представляете шестиугольную или треугольную решетку, «удерживающую» объект, становится ясно, что чередующиеся углы шестиугольной и треугольной решеток сделают больше для распределения веса на нижние уровни, чем ортогонально ограниченная квадратная решетка. Тот же принцип легко применим и к приложениям распределения силы в трех измерениях — как мы видим, например, в замечательной прочности на растяжение углеродных нанотрубок, в распределении веса геодезическими куполами и так далее.

Шестиугольники и круги

Шестиугольная упаковка является наиболее эффективной системой упаковки кругов на плоской поверхности. То есть, как и в случае шестиугольной мозаики, вы можете расположить шесть соседних кругов одинакового размера вокруг круга, и шесть кругов вокруг каждого из них, и так до бесконечности, так что расположение кругов идентично расположению шестиугольников в шестиугольная мозаика. Иными словами, можно вписать круги в каждый шестиугольник в шестиугольной мозаике, удалить шестиугольники, и останутся идеально плотно упакованные круги. Это полезно и интересно по ряду причин, например, позволяет легко моделировать гексагонально упакованные круги с помощью шестиугольников или треугольников, когда это необходимо.

Интересное явление, связанное с этим пересечением круговой и шестиугольной геометрии, заключается в том, что шестиугольные узоры часто появляются спонтанно, когда естественные силы пытаются аппроксимировать круги. (Это, без сомнения, большая часть причины, по которой шестиугольники обычно считаются очень «естественной» формой.) Например, конвекционные ячейки часто образуют шестиугольники. Поскольку каждая ячейка естественным образом стремится к наиболее эффективному ограждению своего пространства, они стремятся к округлости, но поскольку каждая ячейка имеет любое количество соседних ячеек, прижимающихся к ней, результатом является своего рода квазигексагональная мозаика. Подходящим примером этого может быть Дорога гигантов в оккупированной Ирландии: когда базальтовая лава, сформировавшая структуру, первоначально охлаждалась, она сжалась в примерно цилиндрические ячейки. По мере того как клетки превращались в твердую породу, они естественным образом приобретали шестиугольную геометрию упакованных кругов.

Стоит также отметить, что шестиугольники играют значительную роль в трехмерных плотноупакованных сферах, как в гексагональной плотной упаковке, так и в гранецентрированных кубических системах. И HCP, и FCC состоят из «листов» шестиугольно упакованных сфер — они отличаются только тем, как листы уложены вместе. Следует отметить, что, несмотря на их соответствующие названия, можно привести аргумент, что гранецентрированная кубическая упаковка на самом деле более «гексагональна», чем так называемая гексагональная упаковка — последняя получила свое название скорее из-за отсутствия кубичности, чем из-за Преобладание шестиугольника. Обратите внимание, что и HCP, и FCC значительно менее эффективны, чем гексагональная упаковка в двух измерениях: первая имеет плотность π/(3√2), а вторая имеет плотность π/√12. Очевидно, также известны регулярные плотные упаковки n-сфер до 8 измерений, и они могут включать или не включать гексагональные или гипергексагональные топологии.

Шестиугольники и треугольники

Во многом отношения между треугольниками и шестиугольниками являются продолжением отношений между шестиугольниками и кругами. Я считаю их частью одного непрерывного геометрического континуума (коренящегося в довольно очевидном факте, я полагаю, что самое близкое расположение трех кругов одинакового размера находится в вершинах равностороннего треугольника с длиной ребра, равной диаметру кругов) . Но на данный момент давайте посмотрим конкретно на отношения между треугольниками и шестиугольниками:

Как уже отмечалось, правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников. Шестиугольник и треугольник — единственные два правильных многоугольника, и я полагаю, что единственные два правильных многогранника обладают этим свойством. Вдобавок к тому, что шестиугольник делится на равносторонние треугольники, треугольник, конечно же, сам делится на подтреугольники, а поскольку объединение любых шести треугольников, расположенных вокруг вершины, дает шестиугольник, треугольники также можно разделить на шестиугольники, хотя и с оставленными треугольными промежутками. над. Треугольник, разделенный на 9подтреугольники можно рассматривать как шестиугольник с тремя равносторонними треугольниками, образованными путем расширения краев чередующихся сторон шестиугольника до их встречи (например, на фигуре Тетрактис).

Топологически связанная концепция — это концепция треугольных чисел, которые можно визуализировать в виде шестиугольной упаковки кругов, шестиугольников или точек внутри треугольника. В частности, треугольные числа могут быть определены как сумма всех натуральных целых чисел от 1 до n , где n — количество единиц на сторону рассматриваемого фигурного треугольника. То есть, предположим, вы берете три точки и расставляете их треугольником. На каждой стороне треугольника две точки, и 1+2 = 3. Добавьте еще три точки к основанию этого треугольника, и вы получите еще один треугольник, в данном случае с тремя точками на стороне, и 1+2+3 = 6 (которое также является произведением 1, 2 и 3, как упоминалось ранее). И так далее. Треугольное число длины стороны n также можно рассчитать как n *( n +1)/2 — таким образом, 3*(3+1)/2 = 3+2+1 = 6.

Та же фигурная шестиугольная решетка также используется центрированными шестиугольными числами или шестнадцатеричными числами, которые аналогичны треугольным числам, но, конечно, с шестиугольниками вместо треугольников. (По причинам, которые мне трудно понять, термин «шестиугольное число» зарезервирован для шестиугольной контурной фигуры, которая на самом деле не похожа на то, что подразумевается под «треугольным числом» или «квадратным числом», по крайней мере, в некотором роде. что я нахожу особенно интересным.) n ^th шестнадцатеричное число может быть выражено как шестикратное треугольное число ( n – 1) плюс один, или как n *(n-1)*3+1, что можно понимать как сумма трех прямоугольников плюс центральная точка.

Еще один интересный факт о шестнадцатеричных числах заключается в том, что сумма первых n шестнадцатеричных чисел равна кубу n . Например, 1+7 = 2 ³ = 8, 1+7+19 = 3 ³ = 27, 1+7+19+37 = 4 ³ = 64 и так далее. Чтобы понять это, представьте, что вы смотрите на угол куба таким образом, что куб выглядит как шестиугольник. Представьте, что куб на самом деле состоит из подкубов, расположенных в виде числа в кубе. Первый куб в углу можно рассматривать как первое шестнадцатеричное число, равное 1. Ниже и вокруг него находятся семь других кубов, образующих слой кубов вокруг углового куба, который можно рассматривать как второе шестнадцатеричное число, которое на самом деле 7, и так далее. Шестнадцатеричные числа можно рассматривать как последовательные «оболочки» кубов, исходящие из углового куба. Таким образом, кубы и шестнадцатеричные числа — это просто разные образные способы описания одних и тех же значений — куб 9.0249 n можно расположить либо в виде куба, либо в виде пирамиды из шестиугольников с длиной основания n , а разность между любыми двумя последовательными кубами сама по себе является шестиугольником. Мы снова видим связь между шестиугольником с шестью сторонами и кубом с шестью сторонами — и, в более широком смысле, между шестиугольником и шестью «сторонами» самого трехмерного пространства.

Заключение

Опять же, эта статья только поверхностно коснулась многих интересных свойств шестиугольников и их аналогов. Действительно, шестиугольники появляются в очень необычных местах в более абстрактных математических системах, и у меня есть общее подозрение, что если вы наметите все логические отношения математики, как их понимает и определяет человечество, шестиугольник будет занимать видное место в качестве повторяющаяся тема во всей структуре.

По мере развития человеческого общества мы, несомненно, будем находить все больше и больше применений для универсального и эффективного шестиугольника. Будь то тесселяция наших настольных игр, формирование наших эффективно закрытых структур или помощь нам в лучшем понимании фундаментальных математических концепций, мы, безусловно, с течением времени обнаружим, что живем во все более и более шестиугольном мире. Является ли совпадением то, что в научно-фантастических фильмах и телевизионных шоу, особенно в космическом пространстве, часто фигурируют шестиугольные двери, шестиугольные космические корабли, шестиугольная архитектура и так далее? Думаю, нет. Провидцы и художники нашего общества уже видели, что грядет, и то, что будет очевидно нашим потомкам: что мы живем в шестиугольном мире, упорядоченном по шестиугольным принципам. Шестиугольники не могут быть решением всех мировых проблем. Они могут даже не быть решением очень многих проблем. Но они будут решением некоторых проблем, а этого нельзя сказать о многих вещах.