Расчет балки на изгиб: Расчет балки на прогиб и прочность

Расчет балки на изгиб с растяжением

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения Smax:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

∑М(С) = М(z1) +F·z1=0,

ММ(z1) = —F·z1= — 30 ·z1 —

– уравнение прямой.

При z1 = 0:      М = 0,

z1 = 2:      М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z1) = 0,

Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z2=0:     М = 0,

z2=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,

z2=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,

Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,

при  z2 = 0:     Q = -30,

        z2 = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 

— для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М1– F  ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М1– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,

откуда 

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z1) — М1=0,

М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.   

∑у= — Q(z1) = 0,

Q(z1) = 0.

II участок 

— парабола.

Приz2=0:       М = 40 кНм,

z2=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z2=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.

∑у=А — q·z2 — Q(z2) = 0,

Q(z2) =А— q·z2 = 104 –  20·z2  – уравнение прямой,

при  z2 = 0:       Q = 104кН,

        z2 = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz3=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z3=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z3=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,

Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 )   – уравнение прямой,

при  z3 = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z3 = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z4=0:       М = 0кНм,

z4=1м:    М = – 10кНм,

z4=2м:    М = — 40кНм.

∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 20·z4  – уравнение прямой.

Приz4 = 0:       Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

∑М(А) = F · 2 + М1 — М2— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1— М2 – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z1) + F·z1=0,

М(z1) = — F·z1= -20·z1.

При z1=0:     М = 0,

        z1=2м:  М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z1) = 0,

Q(z1) = — 20кН.

II участок

        z2=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z2=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z2) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz3=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z3=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,

z3=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z3) + В — q·(2+z3) = 0,

Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.

Приz3 = 0:       Q = -130кН,

        z3 = 4м:     Q = 30кН.

Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,

— 210 + 80 + 40·z0 = 0,

40·z0 = 130,

z0 =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz4=0:      М = 0 кНм,

z4=1м:   М = – 20кНм,

z4=2м:   М = — 80кНм.

∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 40·z4  – уравнение прямой,

        z4 = 0:        Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Полный расчет балки на прочность и жесткость

Задача

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой двухопорной балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Рис. 1

Решение

Подготовка расчетной схемы к решению задачи:

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем коротком видеоуроке:

Из Σm_в=0

Из Σm_А=0

Построение эпюр Q и М

Подробный пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

Видео про расчет значений Q и M для построения эпюр:

В пролете балки 0 ≤ z₂ ≤ l

Q_II= — R_B+ qz₂= -52+30∙z₂
Q_II(z=0)= -52 кН
Q_II(z=l)= -52+30∙4=68 кН

M_II=R_B∙z₂-qz₂²/2=52z₂-30∙z₂²/2
M_{II (z=0)}= 0
M_{II (z=l)}= -32 кНм

На консоли l ≤ z₁≤ (l+a)

Q_I= — R_B+ ql — R_A=-52+30∙4-108=-40 кН

M_I=R_B z₁-ql(z₁-l/2)+R_A(z

1-l)=52z₁-30∙4(z₁-4/2)+108(z₁-4)
M_{I (z=l)}= -32 кНм
M_{I (z=l+a)}= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Короткое видео о том, как надо строить эпюры:

Так как М_mах = 45 кНм, то

W_x≥M_max / [σ] = 45∙10³ / 160∙10⁶= 0,281 м³= 281 см³.

О том, как подбирается сечение балки

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого W_x = 289 см³, I_x= 3460 см⁴, S_max = 163 см

3, h = 24 см, b_п = 11,5 см, t = 0,95 см, d = b_c = 0,56 см, h₀ = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σ_max = M_max / W_x = 45∙10³ / 289∙10^-6= 156∙10⁶ Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Q_max = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

Построение эпюры нормальных напряжений

Построение эпюры касательных напряжений

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = -32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ₁=118 МПа и σ₃= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ₁ — σ₃≤ [σ].

Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Расчет перемещений сечений (прогибов балки)

Универсальные уравнения МНП для сечения z:

Опорные условия:

1) при z=0: y(z)=0, следовательно, y

0=0

2) при z=l: y(z)=0 находим θ₀

откуда θ₀= -8,48∙10^-3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

Проверка жесткости балки

— пролетной части:

y_c=0,98 см < 1/400 = 400/400 = 1 см

— консольной части:

y_D=0,33 см < 2a/400 = 2∙80/400 = 0,4 см.

Следовательно, принятая двутавровая балка удовлетворяет требуемому условию жесткости.

Другие примеры решения задач >

Расчет несущей способности и прогиба деревянных балок

Чтобы построить деревянный дом необходимо провести расчёт несущей способности деревянной балки. Также особое значение в строительной терминологии имеет определение  прогиба.

Без качественного математического анализа всех параметров просто невозможно построить дом из бруса. Именно поэтому перед тем как начать строительство крайне важно правильно рассчитать прогиб деревянных балок. Данные расчёты послужат залогом вашей уверенности в качестве и надёжности постройки.

Что нужно для того чтобы сделать правильный расчёт

Расчёт несущей способности и прогиба деревянных балок не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. Чтобы определить, сколько досок вам нужно, а также, какой у них должен быть размер необходимо потратить немало времени, или же вы просто можете воспользоваться нашим калькулятором.

Во-первых, нужно замерить пролёт, который вы собираетесь перекрыть деревянными балками. Во-вторых, уделите повышенное внимание методу крепления. Крайне важно, насколько глубоко фиксирующие элементы будут заходить в стену. Только после этого вы сможете сделать расчёт несущей способности вместе с прогибом и ряда других не менее важных параметров.

Длина

Перед тем как рассчитать несущую способность и прогиб, нужно узнать длину каждой деревянной доски. Данный параметр определяется длиной пролёта. Тем не менее это не всё. Вы должны провести расчёт с некоторым запасом.

Важно! Если деревянные балки заделываться в стены — это напрямую влияет на их длину и все дальнейшие расчёты.

При подсчёте особое значение имеет материал, из которого сделан дом. Если это кирпич, доски будут монтироваться внутрь гнёзд. Приблизительная глубина около 100—150 мм.

Когда речь идёт о деревянных постройках параметры согласно СНиПам сильно меняются. Теперь достаточно глубины в 70—90 мм. Естественно, что из-за этого  также изменится конечная несущая способность.

Если в процессе монтажа применяются хомуты или кронштейны, то длина брёвен или досок соответствует проёму. Проще говоря, высчитайте расстояние от стены до стены и в итоге сможете узнать несущую способность всей конструкции.

Важно! При формировании ската крыши брёвна выносятся за стены на 30—50 сантиметров. Это нужно учесть при подсчёте способности конструкции противостоять нагрузкам.

К сожалению, далеко не всё зависит от фантазии архитектора, когда дело касается исключительно математики. Для обрезной доски максимальная длина шесть метров. В противном случае несущая способность уменьшается, а прогиб становится больше.

Само собой, что сейчас не редкость дома, у которых пролёт достигает 10—12 метров. В таком случае используется клееный брус. Он может быть двутавровым или же прямоугольным. Также для большей надёжности можно использовать опоры. В их качестве идеально подходят дополнительные стены или колоны.

Совет! Многие строители при необходимости перекрыть длинный пролёт используют фермы.

Общая информация по методологии расчёта

В большинстве случаев в малоэтажном строительстве применяются однопролётные балки. Они могут быть в виде брёвен, досок или брусьев. Длина элементов может варьироваться в большом диапазоне. В большинстве случаев она напрямую зависит от параметров строения, которые вы собираетесь возвести.

Внимание! Представленный в конце странички калькулятор расчета балок на прогиб позволит вам просчитать все значения с минимальными затратами времени. Чтобы воспользоваться программой, достаточно ввести базовые данные.

Роль несущих элементов в конструкции выполняют деревянные бруски, высота сечения которых составляет от 140 до 250 мм, толщина лежит в диапазоне 55—155 мм. Это наиболее часто используемые параметры при расчёте несущей способности деревянных балок.

Очень часто профессиональные строители для того чтобы усилить конструкцию используют перекрёстную схему монтажа балок. Именно эта методика даёт наилучший результат при минимальных затратах времени и материалов.

Если рассматривать длину оптимального пролёта при расчёте несущей способности деревянных балок, то лучше всего ограничить фантазию архитектора в диапазоне от двух с половиной до четырёх метров.

Внимание! Лучшим сечением для деревянных балок считается площадь, у которой высота и ширина соотносятся как 1,5 к 1.

Как рассчитать несущую способность и прогиб

Стоит признать, что за множество лет практики в строительном ремесле был выработан некий канон, который чаще всего используют для того, чтобы провести расчёт несущей способности:

M/W<=Rд

Расшифруем значение каждой переменной в формуле:

• Буква М вначале формулы указывает на изгибающий момент. Он исчисляется в кгс*м.
• W обозначает момент сопротивления. Единицы измерения см³.

Расчёт прогиба деревянной балки является частью, представленной выше формулы. Буква М указывает нам на данный показатель. Чтобы узнать параметр применяется следующая формула:

M=(ql²)/8

В формуле расчёта прогиба есть всего две переменных, но именно они в наибольшей степени определяют, какой в конечном итоге будет несущая способность деревянной балки:

• Символ q показывает нагрузку, которую способна выдержать доска.
• В свою очередь буква l — это длина одной деревянной балки.

Внимание! Результат расчёт несущей способности и прогиба зависит от материала из которого сделана балка, а также от способа его обработки.

Насколько важно правильно рассчитать прогиб

Этот параметр крайне важен для прочности всей конструкции. Дело в том, что одной стойкости бруса недостаточно для долгой и надёжной службы, ведь со временем его прогиб под нагрузкой может увеличиваться.

Прогиб не просто портит эстетичный вид перекрытия. Если данный параметр превысит показатель в 1/250 от общей длины элемента перекрытия, то вероятность возникновения аварийной ситуации возрастёт в десятки раз.

Так зачем нужен калькулятор

Представленный ниже калькулятор позволит вам моментально просчитать прогиб, несущую способность и многие другие параметры без использования формул и подсчётов. Всего несколько секунд и данные по вашему будущему дому будут готовы.

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок

Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Расчет деревянной балки перекрытия на прогиб, пример, таблица

Применяется и такое конструктивное решение, когда несущие элементы перекрытия являются частью стропильных конструкций. В этом случае балка является конструкцией для формирования свеса, то она  опирается на мауэрлат  и имеет выпуск за внешнюю грань каждой стены примерно на 500 мм. Это конструктивное решение может увеличить её длину примерно на 1 метр.

Производя подбор и расчет деревянных балок необходимо помнить, что самым оптимальным расстоянием, которое можно перекрывать, применяя эти конструктивные элементы, является 6 метровый пролет.

При необходимости перекрывать большие расстояния рекомендуется  использование деревянных конструкций прямоугольного или двутаврового сечения изготовленных из клееного бруса или применять промежуточные конструкции, такие как стойки, колонны, декоративные арки и т.п.

Сбор нагрузок воздействующих на балки

Диапазон различного вида нагрузок действующих на несущие конструкции достаточно велик. Он различается исходя из целевого применения балки, то есть ответа на вопрос эта балка располагается в междуэтажном или чердачном перекрытии. Конструкции междуэтажных перекрытий несут нагрузку в основном только от веса самого перекрытия, от  процесса жизнедеятельности людей которые там находятся и того производственного процесса который там проходит.

Так расчетная нагрузка на междуэтажное перекрытие  в жилых зданиях равна 150кг/м2  х 1,3 = 195 кг/м².

Коэффициент 1,3 обеспечивает надежность работы конструкции. Вес междуэтажного перекрытия включает вес балок, полов, конструкций потолка, утеплителя. При производстве расчетов вес междуэтажного перекрытия лучше всего рассчитывать в каждом случае индивидуально.

Нагрузка на чердачное перекрытие, эксплуатация которого не предусматривает 70 кг/м2 х 1,3 = 91 кг/м².

Вес самого чердачного перекрытия включает в себя вес балок, утеплителя, материала зашивки и составляет 50 кг/м2.  В случае, если балка является не только чердачным перекрытием, но и входит в конструкцию стропильной системы здания, то её расчет производится в составе стропильных конструкций.

В случае, когда величина прогиба превышает указанные величины, это может нанести существенные деформационные изменения в геометрии потолочных конструкций.  Так при длине балки перекрытия 6 метров величина допустимого прогиба будет составлять 17 мм. Если предположить, что потолок в помещении будет из гипсокартонных плит, то образование трещин неминуемо. Поэтому производя расчет, следует сразу же учитывать материал,  из которого будет выполняться конструкция потолка. Если заказчик для оформления потолка будет использовать подвесные конструкции типа «Армстронг», то беспокоиться не о чем, а если для отделки будут применяться материалы на основе гипса, минеральных вяжущих, то возможно стоит увеличить надежность перекрытия и увеличить сечение балок, чтобы полностью исключить возможность прогиба.

13.2. Расчеты на прочность при изгибе

13. Изгиб бруса

В случаях, когда длина балки много больше высоты и ширины сечения ( h ), возникающие нормальные напряжения при изгибе значительно больше касательных напряжений. Вследствие этого касательными напряжениями в таких случаях можно пренебречь.

Балки из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), проектируются симметричными относительно оси x (рис. 13.10, а).

Условие прочности для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), имеет вид

σmax =	Mmax	ymax =	Mmax	≤[σ],	(13.13)
	Jx		Wx

где Mmax – наибольший по абсолютному значению изгибающий мо-

мент от нагрузок; [σ] – допускаемое напряжение; W =	Jx	– момент
x	ymax

сопротивления поперечного сечения балки.

Характер распределения σ(y) для симметричных сечений представлен на рис. 13.10, а, б.

а б в

Рис. 13.10

285

Mmax

И. В. Богомаз. Механика

Из эпюры σ(y) видно, что материал, расположенный у нейтральной оси, нагружен очень мало (рис.13.10, б). В целях экономии и снижения веса балок следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси (на рис. 13.10, а пунктирные линии) – рациональная форма. Двутавровое сечение более экономично, чем прямоугольное (рис. 13.10, а, в).

Возьмем две одинаковые прямоугольные балки, закрепленные одним концом в неподвижной опоре с разной геометрией (рис. 13.11) и приложим к свободным концам силу F. Возможные разрушения могут произойти в опасном сечении, совпадающем с заделкой, изгибающий момент Mx, создаваемый силой F в обеих балках, равен

= F и не зависит от закрепления.

В первом варианте (рис. 13.11, а) балка изогнется при сравнительно небольшой величине силы F. Во втором варианте (рис. 13.11, б) для достижения того же результата понадобится значительно большая сила. В первом случае деформируемые слои материала балки в сечении ближе расположены к нейтральной оси х, а во втором – дальше. Из предыдущего материала известно, что нейтральная ось (нулевая линия) – это геометрическое место точек поперечного сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Поскольку основное сопротивление изгибу оказывают наиболее удаленные от нейтральной линии слои материала, целесообразно при изгибе ориентировать сечения балки так, чтобы в плоскости изгиба лежали точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси. Следовательно, сечение на рис. 13.11, б, более рационально расположено, чем сечение на рис. 13.11, а.

Рис. 13.11

13. Изгиб бруса

Рис.13.12

Способность поперечного сечения сопротивляться деформации изгиба характеризуется осевым моментом сопротивления изгибу Wx Величина Wx зависит от формы и размеров поперечного сечения и от его ориентации по отношению к изгибающей силе. На рис. 13.12 приведена диаграмма соотношения моментов сопротивления Wx и Wy для некоторых профилей проката, широко применяющихся в практике.

Из диаграммы видно, что отношение Wx / Wy колеблется в пределах от 1 до 7. В связи с этим для рационального использования материала в строительных конструкциях с нагрузками в плоскости zy профиль проката следует располагать рационально, т. е. так, чтобы момент сопротивления относительно плоскости изгиба yz был макси-

мальным (Wxmax ), а плоскости xy – минимальным (Wymin ). Для стан-

дартных профилей типа двутавров и швеллеров величины осевых моментов сопротивления изгибу приведены в справочниках.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси (тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное). При этом целесообразно располагать сечение так, чтобы большаяегочастьсечениянаходиласьвсжатойзоне(рис. 13.13).

При этом приходится отдельно проверять наибольшие напряжения в растянутой и сжатой зоне. Условие прочности (13.7) распадается на два:

σp max =	M x max		;	σc max =	M x max	yc ≤[σc ]. (13.14)
	Jx	yp ≤ σp			Jx
						287

И. В. Богомаз. Механика

где yp и yc – расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек растянутой и сжатой зон; [σp] и [σc] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рис. 13.13

Пример 13.1. Подобрать сечение двутавровой балки (рис. 13.14), если длина пролета 1 = 3м, консоли 2 =1 м, равномерная нагрузка q = 30 кН/м, расчетное сопротивление материала изгибу R = 240 МПа.

Рис. 13.14

Решение. Вычислим реакции опор RA и RB, сделаем проверку вычисленных значений (рис.13.15, а).Запишем уравнения равновесия:

∑M A = 0, RB 3 −q 2,5 2,75 = 0 → RB = 30 2,5		2,75		= 68,75кH;
	3
∑M B = 0, − RA 3 +30 2,5 0,125 = 0 → RB =	30 2,5		0, 25		= 6, 25 кH.
		3

Проверка: ∑Fy = 6,25 −30 2,5 +68,75 = 0.

13. Изгиб бруса

Построим эпюру Mx и эпюру Qy для контроля эпюры Mx (рис. 13.15, б, в). Из эпюры изгибающего момента Mx видно, что опасное сечение балки находится в сечении В: M xB = M xmax =15 кН м.

Подберем поперечное двутавровое сечение балки. Запишем условие прочности для выявленного опасного сечения D и вычислим требуемый момент сопротивления балки:

						M B
				σmax =		x	≤ R ,
						Wx
W	≥	M xD	=	15 103	= 0,0625 10−3 м3 = 62,5см3 .
x		R γc		240 106

Находим из сортамента подходящее значение момента сопро-

тивления: двутавр № 12 с Wx = 58,4 см3 . Проверим двутавр № 12 на прочность:

						M D		15 103
	σ	max	= σ	№12	=	x	=		= 256,8 MПа.
						W		58, 4 10−6
						x

Рис. 13.15

289

И. В. Богомаз. Механика

Сравниваем:

σmax = σ№12 = 256,8МПа и R = 240 МПа → σmax > R.

Вычислим возникшее перенапряжение

σ№12 − R	100% =	256,8 −240				100% = 6,5% > 5 %, что не допус-
σ№12			256,8
тимо.
Выбираем из сортамента двутавр № 14 с Wx = 81,7 см3.
Проверим двутавр № 14 на прочность:
	σ′max = σ№14		=	M xD	=	15 103		=183,6MПа.
						81,7 10−6
				Wx

Сравниваем:

σ′max = σ№14 =183,6МПа и R = 240 МПа → σ′max < R .

Прочность балки обеспечена с большим запасом. Ответ: выбираем двутавр № 14.

Пример 13.2. Шарнирно опертая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой F = 1,2qa и моментом m = 2,4q2 (рис.13.16).

Требуется построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx и вычислить их наибольшие значения; определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям; проверить прочность балки по касательным напряжениям при вычисленной нагрузке q.

Рис.13.16

					13. Изгиб бруса
	Дано: Длина пролета балки = 6м,	a1	= 3,	a2	= 4 . Сечение
		a		a

балки – двутавр № 30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб R = 210 МПа, на срез RS = 130 МПа.

Решение. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 13.17, а). Запишем уравнения равновесия.

∑M A = 0, VB 10a − F 7a −q 7a 3,5a −m = 0 →

= 1,2qa 7a + 24qa2 + 2,4qa2 =

VB 3,5qa. 10a

∑M B = 0, −m −VA 10a + q 7a 6,5a + F 3a = 0 →

VA = −2,4qa2 + 45,5qa2 +3,6qa2 = 4,67qa. 10a

Проверка:

∑Fy =VA −7qa −1,2qa +VB = 3,53qa −7qa −1,2qa + 4,67qa =

=8, 2qa +8, 2qa = 0.

m = 2,4q2

а

2,4qa2

б

z0

a2 = 4a VA = 4,67qa a1 = 3a l = 10a

10,6qa2

z0

И. В. Богомаз. Механика

Построим

эпюру

Mx

и эпюру

Qy

для

контроля эпюры Mx

(рис. 13.17, б, в). Вычислим Mmax:

M (z) = −m +VA z −

qz

2

,

2

Q

(z

o

)

=

d M x (z)

=V

A

−qz

0

= 0

→ z

0

=

VA

= 4,67a.

x

d z

z=zo

q

qz2

M max (z0 ) = −m +VA z0

−

0

=

2

= −2, 4qa2 + 4,67qa 4,67a −

q(4,67a)2

=13,3qa2 .

2

Вычислим несущую способность балки. Из сортамента

(ГОСТ8239–89) длядвутавра№ 30анаходим: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, статическиймоментполусеченияSx = 292 см, толщинастенкиs = 6,5 мм.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

			M max				13,3qa2
	σmax =			x		≤ R →		≤ R, откуда
				Wx			Wx
	W R			518	10−6 210 106			0,9
q ≤	x	=							= 22719 Н/м.
	13,3a2					13,3 0,62

Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Ус-

ловие прочности по касательным напряжениям имеет вид

τ		=	Qmax S		x max ≤ R .
			y
	max					S
				Ix вy

Здесь

τ	max	=	Qymax расч Sxmax	=	4,67qa Sx max		=
			Ix вy			Ix вy
=	4.67 22719 0,6 292 10−6					= 36,7 MПa.
		7780 10−8 6,5 10−3

Гибка балок

Введение

На этой странице рассматривается классическая теория изгиба балок, которая является важным фактором почти во всех конструктивных решениях и анализы. Хотя это менее очевидно, это также относится к продольному изгибу колонны. также. И это на самом деле второй мотив этого страницы, чтобы заложить основу для предстоящего обсуждения теории продольного изгиба колонн.

Цель не состоит в том, чтобы охватить все аспекты изгиба балки. Особенно, такие темы, как определение нейтральной оси, теорема о параллельной оси и расчет прогибов балок не рассматривается.

---

Радиус кривизны

Радиус кривизны имеет фундаментальное значение для изгиба балки, поэтому он будет рассмотрено здесь. {- 1} (y ‘) \]
Продифференцируйте по \ (x \), чтобы получить \ (d \ theta \ над dx \).{3/2}} \]
Интересно, что любое выражение, включающее радиус кривизны, кажется, всегда имеет появляются в знаменателе. И это не исключение, даже если это определяющее уравнение.

Также интересен тот факт, что многие приложения механики включают гибку, но в малых масштабах. Обсуждаемый здесь изгиб балки не является исключением. В таких случаях, лучший подход — определить ось x вдоль луча так, чтобы \ (y \) прогибы и, что более важно, деформированный уклон \ (y ‘\) будут оба будут маленькими.3} \]
, где \ ({\ bf v} \) — вектор, определяемый параметрически как \ ({\ bf v} = {\ bf v} (x (t), y (t), z (t)) \), \ ({\ bf v ‘} \) — его первая производная, \ ({\ bf v’ ‘} \) — его вторая производная, и \ (| … | \) представляет длину вектора, то есть квадратный корень из суммы квадраты его составляющих.

---

Деформации при изгибе

Напомним, что длина дуги \ (L \) связана с радиусом кривизны \ (\ rho \) через \ (L = \ rho \, \ theta \), где \ (\ theta \) — угол.

Все становится сложнее, если принять во внимание толщину. На рисунке ниже объект начальной длины \ (L_o \) изогнут как показано. Поскольку он имеет конечную толщину, различные его части растягиваются, или сжатые, разные количества. Внешняя часть балки растягивается больше всего, потому что он дальше всего от этот центр. Математически все части изогнуты под одинаковым углом, \ (\ theta \), но \ (\ rho \) изменяется по толщине, поэтому величина \ (\ rho \, \ theta \) тоже меняется, следовательно, меняется и \ (L \).

Следующий шаг — принять осознанное решение, чтобы избежать путаницы, связанной с наличием множества разные радиусы кривизны по толщине изгибаемого объекта. Это выполняется в два этапа.

Сначала найдите тот \ (\ rho \), который удовлетворяет \ (\ rho \, \ theta = L_o \). Обратите внимание, что \ (\ rho \) — результат вычисления, а \ (\ theta \) и \ (L_o \) — входные данные. Также обратите внимание, что длина в уравнении равна \ (L_o \), исходная недеформированная длина, не деформированный. На этом этапе устанавливается одно уникальное значение \ (\ rho \) для поперечное сечение, а не иметь несколько значений, что может привести к большой путанице.

Нейтральная ось

Местоположение в поперечном сечении, где известно \ (\ rho \, \ theta = L_o \) как нейтральная ось . Это единственное место, где окончательная деформированная длина такая же, как и исходная недеформированная длина, поэтому растяжения не происходит … из-за изгиба. Не думайте, что нейтральная ось должна быть посередине. поперечного сечения объекта. Это не обязательно так, особенно если объект состоит из разных материалов с разными жесткости.

Предупреждение «из-за изгиба» в предыдущем абзаце присутствует, потому что объект также может быть одновременно нагружен растяжением (или сжатием), которое его растягивает пока каждая точка в его поперечном сечении не станет длиннее (или короче, если сжато), чем исходная длина, \ (L_o \).

Второй шаг — ввести переменную \ (y \) как расстояние от нейтральной оси. с любым другим радиусом в поперечном сечении, как показано на рисунке ниже. В результате радиус кривизны при любом \ (y \) равно \ ((\ rho — y) \), а окончательная длина в любом \ (y \) дается выражением

\ [ L = (\ rho — y) \ тета \]
Напомним, что \ (L_o = \ rho \, \ theta \).Теперь деформацию \ (\ epsilon \) можно выразить как

\ [ \ epsilon_x = {L — L_o \ над L_o} = {(\ rho — y) \ theta — \ rho \, \ theta \ over \ rho \, \ theta} \]
, что упрощает

\ [ \ epsilon_x = — {y \ over \ rho} \]
Это ключевой результат деформации объекта. Это показывает, что деформация равна нулю при \ (у = 0 \), нейтральная ось, и линейно отклоняется от нее. Если объект толстый, то \ (y \) может принимать на больших значениях, но не на тонких объектах. Вот почему толстые объекты обладают большей жесткостью на изгиб, чем тонкие предметы.

Кроме того, радиус кривизны в знаменателе учитывает многие эффекты изгиба. Когда объект не изогнут, тогда \ (\ rho \) бесконечно, и деформации, естественно, равны нулю. По мере изгиба объекта \ (\ rho \) уменьшается, и уравнение показывает, что напряжения увеличиваются.

Наконец, обратите внимание, что деформация представляет собой нормальную деформацию и фактически является продольной, по длине балки. Обычно ось \ (x \) выравнивается по длина балки, создающая деформацию \ (\ epsilon_x \).

---

Напряжение изгиба

Теперь, когда у нас есть выражение для напряжения, разработать выражение для стресса невозможно. будь проще. Умножьте деформацию на \ (E \), модуль упругости, для получения напряжения \ (\ sigma_x \).

\ [ \ sigma_x = — {E \, y \ over \ rho} \]
Хотя этот шаг был чрезвычайно простым, на самом деле он довольно глубок в том, пренебрегали простотой. Напомним со страницы на Закон Гука о том, что каждый компонент нормального напряжения зависит от всех трех компонентов нормальной деформации.Но здесь мы просто умножили деформацию на \ (E \), чтобы получить напряжение. Этот шаг имеет ключевое предположение встроено в него … что на балку не действуют боковые нагрузки / напряжения. В таких случаях уравнения «работают» так, что \ (\ sigma_x = E \, \ epsilon_x \) как в одноосное растяжение. Это происходит в большинстве балок, потому что они тонкие по сравнению с их длина.

Гибка пластин

В случае пластин этот шаг будет более сложным, потому что пластина тонкая только в одном направление, а не два, относительно его длины.2)} \ epsilon_x \]
где \ (\ nu \) — коэффициент Пуассона материалов. Понятно, что напряжение для данного деформация в этом случае выше, чем при классическом одноосном растяжении.

---

Изгибающие моменты и напряжения

Изгибающий момент \ (M_z \) в поперечном сечении, создаваемый полем напряжений, вычисляется по формуле

\ [ M_z \; знак равно \ int_A r \ times dF \; знак равно — \ int_A y \, \ sigma_x dA \]
, где \ (y \) — плечо момента, а \ (\ sigma_x dA \) — сила.

Напомним, что \ (\ sigma_x = — E \, y / \ rho \) и вставьте в уравнение моментов, чтобы получить

\ [ M_z \; знак равно — \ int_A y \, \ left [{- E \, y \ over \ rho} \ right] dA \; знак равно {E \ over \ rho} \ int_A y ^ 2 dA \]
Оставшийся интеграл очень важен.2 дА \]
Всегда помните, что значения \ (y \) отсчитываются от нейтральной оси, которая соответствует \ (y = 0 \).

Уравнение изгибающего момента теперь можно записать как

\ [ M_z = {E \, I_ {zz} \ over \ rho} \]
, что является очень важным уравнением.

Аппроксимация малого изгиба

Напомним, что мы обсуждали ранее, что когда уровень изгиба мал и \ (y ‘\ lt \ lt 1 \), тогда \ (\ rho \) может быть близко аппроксимируется \ (y » \). Это дает

\ [ M_z = E \, I_ {zz} y » \ qquad (\ text {when} \; \; y ‘\ lt \ lt 1) \]
, что является еще одним очень важным и полезным уравнением.

А теперь … вернемся к этим двум уравнениям

\ [ M_z = {E \, I_ {zz} \ over \ rho} \ qquad \ qquad \ text {и} \ qquad \ qquad \ sigma_x = — {E \, y \ over \ rho} \]
и поймите, что оба содержат \ (E / \ rho \). Решение каждого уравнения для этого отношения дает

\ [ {E \ over \ rho} = {M_z \ over I_ {zz}} \ qquad \ qquad \ text {и} \ qquad \ qquad {E \ over \ rho} = — {y \ over \ sigma_x} \]
Итак, приравняем эти два, чтобы получить одно из самых известных уравнений в машиностроении. 2 dA — {E \ over \ rho_z} \ int_A y \, z \, dA \\ \\ \\ & & & = & {E \ over \ rho_y} I_ {yy} — {E \ over \ rho_z} I_ {yz} \ end {eqnarray} \]
А другой момент, \ (M_z \), вычисляется путем интегрирования напряжение по поперечному сечению с \ (y \) как плечо момента.2 dA — {E \ over \ rho_y} \ int_A y \, z \, dA \\ \\ \\ & & & = & {E \ over \ rho_z} I_ {zz} — {E \ over \ rho_y} I_ {yz} \ end {eqnarray} \]
Уравнения можно компактно записать в матричной форме как

\ [ \осталось\{ \ matrix { M_y \\ \\ M_z } \верно\} знак равно \осталось[ \ matrix { \; I_ {yy} & -I_ {yz} \\ \\ -I_ {yz} & \; I_ {zz} } \верно] \осталось\{ \ matrix { E / \ rho_y \\ \\ E / \ rho_z } \верно\} \]
Это показывает, что момент инерции на самом деле является тензором.2 \).

Наконец, если \ (I_ {yz} = 0 \), все значительно упростится до

\ [ \ sigma_x = {M_y \, z \ over I_ {yy}} — {M_z \, y \ over I_ {zz}} \]

---

Учебники

Балки — поддерживаются с обеих сторон

Напряжение в изгибаемой балке можно выразить как

σ = y M / I (1)

, где

σ = напряжение (Па (Н / м ^{) 2} ), Н / мм ² , psi)

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт дюйм)

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , в ⁴ )

Калькулятор, представленный ниже, можно использовать для расчета максимального напряжения и прогиба балок с одной одиночной или равномерно распределенной нагрузкой.

Балка, поддерживаемая на обоих концах — равномерная непрерывная распределенная нагрузка

Момент в балке с равномерной нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах в положении x, может быть выражен как

M _x = qx (L — x) / 2 (2)

, где

M _x = момент в положении x (Нм, фунт-дюйм)

x = расстояние от конца (м, мм, дюйм)

Максимум момент находится в центре балки на расстоянии L / 2 и может быть выражен как

M _max = q L ² /8 (2a)

, где

M _макс = максимальный момент ( Нм, фунт-дюйм)

q = равномерная нагрузка на единицу длины балки (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)

9017 4 L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Уравнения 1 и 2a могут быть объединены для выражения максимального напряжения в балке с равномерной нагрузкой. на обоих концах на расстоянии L / 2 как

σ _max = y _max q L ² / (8 I) (2b)

где

σ _max = максимальное напряжение (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

y _max = расстояние до крайней точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

• 1 Н / м ² = 1×10 ^-6 Н / мм ² = 1 Па = 1.4504×10 ^-4 фунт / кв. Дюйм
• 1 фунт / дюйм (фунт / дюйм ² ) = 144 фунт / дюйм (фунт _на / фут ² ) = 6 894,8 Па (Н / м ² ) = 6,895×10 ^{— 3} Н / мм ²

Максимальный прогиб :

δ _max = 5 q L ⁴ / (384 EI) (2c)

где

17

9000 макс = максимальный прогиб (м, мм, дюйм)

E = Модуль упругости (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

Прогиб в положении x:

δ _x = qx ( L ³ — 2 L x ² + x ³ ) / (24 EI) (2d)

Примечание! — прогиб часто является ограничивающим фактором при проектировании балки.Для некоторых применений балки должны быть прочнее, чем требуется при максимальных нагрузках, чтобы избежать недопустимого прогиба.

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= q L / 2 (2e)

, где

R = сила реакции (Н, фунт)

Пример — балка с равномерной нагрузкой, метрические единицы

Балка UB 305 x 127 x 42 длиной 5000 мм несет равномерную нагрузку 6 Н / мм .Момент инерции балки составляет 8196 см ⁴ (81960000 мм ⁴ ) , а модуль упругости стали, используемой в балке, составляет 200 ГПа (200000 Н / мм ² ) . Высота балки 300 мм (расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм ).

Максимальное напряжение в балке можно рассчитать

σ _max = (150 мм) (6 Н / мм) (5000 мм) ² / (8 (81960000 мм ⁴ ))

= 34.3 Н / мм ²

= 34,3 10 ⁶ Н / м ² (Па)

= 34,3 МПа

Максимальный прогиб балки можно рассчитать

δ _макс = 5 (6 Н / мм) (5000 мм) ⁴ / (( 200000 Н / мм ² ) ( 81960000 мм ⁴ ) 384)

= 2,98 мм

Калькулятор балки с равномерной нагрузкой — метрические единицы

• 1 мм ⁴ = 10 ^-4 см ⁴ = 10 ^-12 м ⁴ 900 1 см ⁴ = 10 ^-8 м = 10 ⁴ мм
• 1 дюйм ⁴ = 4.16×10 ⁵ мм ⁴ = 41,6 см ⁴
• 1 Н / мм ² = 10 ⁶ Н / м ² (Па)

Расчет балки равномерной нагрузки — Британские единицы

Пример — балка с равномерной нагрузкой, британские единицы

Максимальное напряжение в стальной широкополкой балке «W 12 x 35», 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов ⁴ , модуль упругости 2

00 фунтов на квадратный дюйм , при равномерной нагрузке 100 фунтов / дюйм можно рассчитать как

σ _макс = y _макс q L ² / (8 I)

= (6.25 дюймов (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ² / (8 (285 дюймов ⁴ ))

= 2741 (фунт / дюйм ² , psi)

Максимальный прогиб может рассчитывается как

δ _макс = 5 q L ⁴ / (EI 384)

= 5 (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ⁴ / ((2

00 фунтов / дюйм ² ) (285 дюймов ⁴ ) 384)

= 0,016 дюйма

Балка, поддерживаемая на обоих концах — нагрузка в центре

Максимальный момент в балке с центральной нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов :

M _max = FL / 4 (3a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одной центральной нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ _max = y _max FL / (4 I) (3b) 900 10

, где

F = нагрузка (Н, фунт)

Максимальный прогиб можно выразить как

δ _max = FL ³ / (48 EI) (3c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= F / 2 (3d)

Калькулятор балки с одним центром нагрузки — метрические единицы

Калькулятор балки с одним центром нагрузки — британский Единицы

Пример — балка с одной центральной нагрузкой

Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке шириной 12 x 35 дюймов, 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов ⁴ , модуль упругости 2

00 фунтов на квадратный дюйм , с центральной нагрузкой 10000 фунтов можно рассчитать как

σ _max = y _max FL / (4 I)

= (6.25 дюймов) (10000 фунтов) (100 дюймов) / (4 (285 дюймов ⁴ ))

= 5482 (фунт / дюйм ² , фунт / кв. Дюйм)

Максимальный прогиб можно рассчитать как

δ _макс = FL ³ / EI 48

= (10000 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ³ / ((2

00 фунтов / дюйм ² ) (285 дюймов ⁴ ) 48 )

= 0,025 дюйма

Некоторые типичные пределы отклонения по вертикали

• общее отклонение: пролет / 250
• отклонение под нагрузкой: пролет / 360
• консоли: пролет / 180
• балки деревянного перекрытия в домашних условиях: пролет / 330 (макс. 14 мм)
• хрупкие элементы: пролет / 500
• подкрановые балки: пролет / 600

Балка, поддерживаемая на обоих концах — эксцентричная нагрузка

Максимальный момент в балке с одинарной эксцентричной нагрузкой в ​​точке нагрузки:

M _макс = F ab / L (4a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ _max = y _max F ab / (LI) (4b)

Максимальный прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ _F = F a ² b ² / (3 EIL) (4c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = F b / L (4d)

R ₂ = F a / L (4e)

Балка, поддерживаемая на обоих концах — две эксцентриковые нагрузки

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с двумя эксцентрическими нагрузками:

M _max = F a (5a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с двумя эксцентрическими нагрузками, поддерживаемыми на обоих концах:

σ _max = y _max F a / I (5b)

Максимум прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ _F = F a (3L ² -4 a ² ) / (24 EI) (5c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= F (5d)

Вставьте балки в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Балка поддерживается на обоих концах —

нагрузки

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с тремя точечными нагрузками:

M _{max 90 218 = FL / 2 (6a)}

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с тремя точечными нагрузками на обоих концах:

σ _max = y _max FL / (2 I) ( 6b)

Максимальный прогиб в центре балки может быть выражен как

δ _F = FL ³ / (20.22 E I) (6c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= 1,5 F (6d)

DoITPoMS — Библиотека TLP Изгиб и кручение балок

Изгибающие моменты возникают при приложении поперечных нагрузок к балкам. Самый простой случай — консоль балка , широко используется на балконах, крыльях самолетов, трамплинах и т. Д.Изгибающий момент действие, действующее на секцию балки из-за приложенной поперечной силы, определяется произведением приложенной силы и расстояния от нее до этой секции. Таким образом, он имеет единицы Н · м. Он уравновешивается внутренним моментом , возникающим из-за возникающих напряжений. Это получается путем суммирования всех внутренних моментов, действующих на отдельные элементы внутри секции. Они задаются силой, действующей на элемент (напряжение, умноженной на площадь элемента), умноженной на его расстояние от нейтральной оси, y .

Уравновешивание внешнего и внутреннего моментов при изгибе консольной балки

Следовательно, изгибающий момент M в нагруженной балке можно записать в виде

\ [M = \ int {y (\ sigma dA)} \]

Концепция кривизны балки, κ, является центральной для понимания изгиба балки. На приведенном ниже рисунке, который теперь относится к сплошной балке, а не к полой опоре, показанной в предыдущем разделе, показано, что осевая деформация, ε , определяется соотношением y / R .Эквивалентно, 1 / R («кривизна», κ) равно градиенту осевой деформации по толщине. Отсюда следует, что осевое напряжение на расстоянии y от Нейтральная ось балки дает

σ = E κ y

Связь между радиусом кривизны R, кривизной балки κ и деформациями внутри балки, подверженной действию изгибающего момента.

Таким образом, изгибающий момент можно выразить как

\ [M = \ int {y (E \ kappa ydA)} = \ kappa E \ int {{y ^ 2}} dA \]

Это можно представить более компактно, определив I (второй момент площади , или « момент инерции» ) как

\ [I = \ int \ limits_0 ^ {{y _ {\ max}}} {} {y ^ 2} {\ rm {d}} A \]

Единицы измерения I — м ⁴ .Значение I зависит исключительно от формы сечения балки. Щелкните здесь , чтобы увидеть, как I рассчитывается для двух простых форм.

Момент теперь можно записать как

M = κ E I

Эти уравнения позволяют рассчитать распределение кривизны по длине балки (т. Е. Ее форму) и распределение напряжений внутри нее для любого заданного набора приложенных сил. Следующее моделирование реализует эти уравнения для управляемой пользователем формы балки и набора сил.Конфигурации нагрузки на 3-точечный изгиб и 4-точечный изгиб нагружения в этом моделировании СИММЕТРИЧНЫ, с направленными вверх силами, обозначенными стрелками, за пределами направленной (ых) силы (-ей), обозначенных крючками

Примечание. Для этой анимации требуется Adobe Flash Player 8 и более поздних версий, который можно загрузить здесь.

->

Эффективный подход к проектированию легких и жестких балок — сделать их полыми. Расчет второго момента площади для полых балок очень прост, так как он получается простым вычитанием I недостающего сечения из общего сечения.4}}} {{64}} \]

предыдущая | следующий График изгиба стержня

для железобетонной балки

График изгиба стержня

обеспечивает расчет армирования для железобетонной балки. Он предоставляет подробную информацию о длине резки арматуры, типе изгибов и длине изгиба.

Рассмотрим один пример для расчета количества арматуры для бетонной балки.

График изгиба стержней для железобетонной балки

Пример расчета армирования балки:

Рассмотрим балку чистой длины 4 м, шириной 300 мм и глубиной 450 мм.Он состоит из стержней диаметром 2–12 в верхней части и стержней диаметром 2–16 и диаметром 1–12 внизу. Диаметр хомута составляет 8 мм, расстояние от центра до центра составляет 180 мм. Прозрачная крышка для армирования составляет 40 мм.

Рис. Детали армирования балки RCC

Рис. Поперечное сечение балки RCC

Теперь мы рассчитаем длину арматуры на основе формы арматуры, необходимой для железобетонной балки в приведенном выше примере.

Начнем с армирования дна, B1.

Форма стержня B1 показана ниже:

Длина B1 = расстояние в свету между стенами + 2 x ширина стен — 2 x заглушка + 2 x длина изгиба

Длина изгиба = 6 x 16 = 96 считайте как 100 мм

Длина изгиба рассчитывается как 6 x диаметр стержня для арматуры в соответствии с IS: 1786-1961

Длина B1 = 4000 + 2 x 230-2 x 40 + 2 x100 = 4580 мм

Длина стержня B2 рассчитывается на основе формы этого стержня.Этот стержень изгибается вверх возле опоры, как показано ниже:

Длина стержня B2 : A + B + C = 4000 + 2 x 230 — 2 x 40 + (1,414xH — H)

H = 450 — 2 x 40 — 2 x 12 — 2 x 12/2 = 334 мм

B2 = 4000 + 2 x 230 — 2 x 40 + (1,414 × 334 — 334) = 4518,3 = 4520 мм

Длина стержня T1 = 4000 + 2 x 230 -2 x 40 = 4380 мм

Длина стремена S1:

Стремена расположены на расстоянии 180 мм от центра к центру.Между стенами или опорой для балки предусмотрены стремена.

Количество хомутов, необходимых для данной балки =

Длина a = 450 — 2 x 40 — 8 = 362 мм

Длина b = 300 — 2 x 40-8 = 212 мм

Следовательно, длина 1 стремени S1 = 2 x (212 + 362 + 90) = 1328 мм

Где 90 мм — минимальная длина крюка согласно IS 2502 — Таблица — II.

График гибки стержня для балки RCC:

№	Маркировка стержня	Диаметр прутка (мм)	No.прутков	Длина (мм)	Вес штанг (кг)	Профиль стержня
1	B1	16	2	4580	14,5
2	B2	12	1	4520	4.02
3	Т1	12	2	4380	7,80
4	S1	8	24	1330	12,6

Гибочная балка с круглым отверстием

Рисунок 01 — Состав конструкции

Балка должна иметь размер 4 000 мм, высоту 450 мм и ширину 120 мм.Моделирование следует проводить с диаметром отверстия 0,4 ∙ глубиной луча. В качестве материала используется Timber C24, а в качестве модели материала используется модель ортотропного пластического материала, представляющая собой деревянный композит. Имитация трещины моделируется с помощью линии освобождения.

Рисунок 02 — Модель материала

Рисунок 03 — Определение площади трещины

Ожидаемая трещина в модели возникает со смещением на 45 ° относительно центра круга на краю проема.Трещина образуется вдоль волокна и, таким образом, может рассматриваться как разрушение при сдвиге при прокатке. Отпуск линии действует как элемент интерфейса, где моделируется двойная линия, которая связана через свойства контакта. Для свойств контакта в модели используются свойства материала согласно разделу 4.4 в [1]. Свойства материала фактически рассчитываются заранее в виде диаграмм для линейного выпуска, а затем назначаются для линейного выпуска.

Определение выпуска строки

Чтобы присвоить свойства материала выпуску строки, программа создает нелинейные свойства соединения.Для этого в нашем примере используется диаграмма. Чтобы правильно учесть сдвиг качения, создается одна диаграмма для разрушения при сдвиге (вдоль локальной оси x) и одна диаграмма для разрушения при поперечном растяжении (локальная ось z линии). В этом случае разрушение при сдвиге может распространяться в положительном и отрицательном направлениях X, в то время как разрушение при поперечном растяжении описывается на диаграмме значениями в четвертом квадранте (то есть разрушение при растяжении). Значение 0,04 кН / см² используется для разрушения при поперечном растяжении и 0.4 кН / см² на разрыв при сдвиге. Энергия разрушения взята из [1] (разрушение при поперечном растяжении G = 220 Н / м, разрушение при сдвиге = 780 Н / м). Поскольку параметры материала нельзя ввести непосредственно в модель, диаграммы необходимо преобразовать в линейную силу. Для этого требуется материал толщиной 120 мм. В целях упрощения для разблокировки петли определены следующие свойства. В направлении локальной оси z передача нагрузки учитывается только при сжатии, а по оси x прикладывается нагрузка 480 кН / м.

Рисунок 04 — Определение выпуска линии

Граничные условия

Конструкция поддерживается линейными опорами в нижней части, чтобы четко учесть ширину опоры конструкции. Кроме того, одна из линейных опор может передавать только сжимающие усилия, чтобы учесть односторонний взлет в расчетах. В верхних углах конструкция держится вне плоскости, чтобы не учитывать опрокидывание при расчете.

Нагрузка

На середину конструкции действует сосредоточенная нагрузка 100 кН. Чтобы избежать возможных сингулярностей в точке приложения нагрузки, для распределения сосредоточенной нагрузки по поверхности используется стержень.

Рисунок 05 — Введение нагрузки

Расчет

Из-за высокой степени нелинейности модели расчет выполняется в соответствии с анализом второго порядка.RFEM использует решатель Ньютона-Рафсона, касательный метод для расчета состояния равновесия. Параметры сетки КЭ в модели были глобально скорректированы до 2,5 мм, что позволяет точно оценить результат и лучше локализовать область разрушения (трещины).

Рисунок 06 — Параметры расчета

Evaluation

После расчета вы можете увидеть явное растрескивание конструкции в области отверстия.Если вы разместите секцию на отверстиях трещин, вы получите очень маленькие значения для внутренних сил ny в этой области, поскольку здесь возникает отверстие, и, таким образом, больше нельзя будет передавать нагрузки. Эти значения затем снова увеличиваются в задней части, поскольку трещина еще не доступна, и нагрузка может передаваться в этой области. Однако в области трещины остаются небольшие значения ny. Они возникают в результате внутреннего напряжения конструкции, поскольку нельзя полностью исключить поперечное напряжение из-за моделирования в области трещины.Это поперечное напряжение возникает из-за изгиба балки.

Рисунок 07 — Деформация

Pисунок 08 — Поверхностная внутренняя сила n-y в площади сечения

Этот пример демонстрирует, насколько мощным RFEM может быть в области нелинейных условий контакта (элементы интерфейса), и что RFEM также можно использовать в исследованиях.

Литература

[1]	Schmidt, J.: Modellierung und Numerische Analyze von Strukturen aus Holz. Дрезден: Институт структурного анализа, 2009
[2]	Resch, E .: Zuverlässige Numerische Simulation von Holzverbindungen. Дрезден: Институт структурного анализа, 2011

Реометр изгибной балки BBR, оборудование для испытания битума, Controls

Испытание реометра изгибающейся балки (BBR) (см. Рисунок 1) обеспечивает измерение низкотемпературной жесткости и релаксационных свойств асфальтовых вяжущих.Эти параметры указывают на способность асфальтового вяжущего противостоять низкотемпературному растрескиванию. — См. Дополнительную информацию по адресу: http://www.pavementinteractive.org/article/bending-beam-rheometer/#sthash.NocVgDFH.dpuf

. Испытание реометра изгибающейся балки (BBR) позволяет измерить низкотемпературную жесткость и релаксационные свойства асфальтовых вяжущих. Эти параметры указывают на способность асфальтового вяжущего противостоять низкотемпературному растрескиванию.

Реометр изгибающейся балки (BBR) разработан для проведения испытаний на изгиб асфальтового вяжущего и аналогичных образцов в соответствии с ASTM D6648 и AASHTO T313.Эти испытания заключаются в приложении постоянной силы к образцу в охлаждаемой ванне для определения конкретных скоростей деформации при различных температурах.

Испытание реометра изгибающейся балки (BBR) (см. Рисунок 1) обеспечивает измерение низкотемпературной жесткости и релаксационных свойств асфальтовых вяжущих. Эти параметры указывают на способность асфальтового вяжущего противостоять низкотемпературному растрескиванию. — Подробнее см. Http://www.pavementinteractive.org/article/bending-beam-rheometer/#sthash.NocVgDFH.dpuf

Испытание реометра изгибающейся балки (BBR) (см. Рисунок 1) обеспечивает измерение низкотемпературной жесткости и релаксационных свойств асфальтовых вяжущих. Эти параметры указывают на способность асфальтового вяжущего противостоять низкотемпературному растрескиванию. — См. Дополнительную информацию по адресу: http://www.pavementinteractive.org/article/bending-beam-rheometer/#sthash.NocVgDFH.dpuf

.
Система реометра изгибной балки (BBR) состоит из базового блока с жидкостной ванной, устройства для испытания на трехточечный изгиб, которое легко снимается с базового блока для загрузки и разгрузки образца, внешнего охлаждающего устройства с регулятором температуры и комплекта калибровочного оборудования. с сумкой для переноски.Система включает ПК и программное обеспечение для тестирования.

Реометр BBR может быть использован как часть вашей программы испытаний на основе производительности Superpave.

No related posts.