Построение пятиугольника с помощью циркуля: Построение правильного пятиугольника

Пусть дана окружность и АВ — её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис.17 приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.

Рис.17

Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), установил соотношение

между стороной многоугольника и апофемой:

Рис. 18

аn/2 : ha =3/n-1(рис.18), которое можно выразить так: tg180°/n =3/n-1.

В 1888 г. в журнале «; Вестник опытной физики и элементарной математики»; появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне (рис.19).

Пусть АВ- сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равносторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр CD на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ на 6 равных частей и такие откладываем на СD по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что, например, А7 — радиус окружности, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ.

Рис.19

Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение даёт точный результат. Докажем, что для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью. Пусть величина центрального угла ANB некоторого n-угольника равна х. Обозначим АВ через а. Тогда

tgx/2=AD/ND=AD/(NC+CD)=a/2((n-6)∙a/2+(a∙)/2)=

=3/n-6+3 = 3/(n-1)+0,19615.

Приближённые способы построения правильных многоугольников просты и удобны на практике.

7.1 Пример построения правильного 59- угольника.

Построим правильный 59-угольник с использованием всего лишь простейших инструментов — циркуля и линейки без делений.

При этом выполняют следующие построения (рис.20):

1. В заданной окружности АВ с центром в точке Р проводят два перпендикулярных диаметра ОВ и АК;

2. Откладывают на заданной окружности вниз от точки О произвольным размером 59 равных дуг. При этом отмечают точкой 4 окончание четвертой отложенной дуги, а точкой 59 — окончание 59-й дуги;

3. Точки А и 59 соединяют отрезком, который пересечет диаметр ОВ в точке М;

4. Проводят луч из точки М через точку 4;

5. Из точки М проводят циркулем полуокружность радиусом АМ, которая пересечет диаметр ОВ в точке Е, его продолжение за точкой О — в точке Н, и луч из точки М через точку 4 — в точке Т;

6. Откладывают на дуге АЕ от точки А дугу АС, равную дуге НТ;

7. Проводят луч из точки Р через точку С, который пересечет заданную окружность в точке Д. При этом величина дуги АД на заданной окружности составит точно 1/59 длины заданной окружности с центром в точке Р;

8. Откладывают на заданной окружности от точки Д вниз следующие дуги: ДД1 , Д1 Д2 и т.д. до дуги Д57 А, все равные дуге АД;

9. Соединяют отрезками точки А и Д, Д1 и Д2 и т.д. до точек Д 57 с точкой А, получают при этом правильный  59-угольник, вписанный в заданную окружность с центром в точке Р.

Точность геометрических построений по данному способу, в основном, зависит от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых построений.

Особенность описанного построения правильного  59-угольника в том, что он выполняется методом засечек с использованием всего лишь простейших инструментов — циркуля и линейки без делений.

7.2 Приспособление для построения правильных n- угольников.

Если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов — циркуля и линейки без делений — не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено.

Предложено простое устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.

Устройство (рис.21) представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т. д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника.

С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.

На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.

Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:

1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.

2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.

3. Проводят линию между точками 6 и В.

4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй — из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.

5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.

6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В — в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.

7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.

8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.

9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный 9-угольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.

Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ.

Литература:

1.         Атанасян Л.С. и др.   Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.

2.         Атанасян Л.С. и др.  Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса – М.: «Просвещение»,1997.

3.         Перельман Я.И.  Занимательная геометрия. – М.: АО «Столетие» 1994.

5.         Прасолов В.В.  Задачи по планиметрии. Части 1 и 2.- М.: «Наука» 1991.

7.         Дорофеев Г.В. и др.  Избранные вопросы математики. Журнал «Математика в школе» № 10 2003г.

8.         Ботвинников А.Д.  Справочник по техническому черчению. – М.: «Просвещение» 1974.

9.

• Б. И. Аргунов, М Б Балк. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М., Учпедгиз, 1957 — 268 с.

• Ю. И.  Манин, О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки, Энциклопедия элементарной математики книга четвёртая (геометрия), М., Физматгиз, 1963. — 568с.

Выступление.

Тема моей работы «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки».В школе на уроках геометрии рассматривается задача о построении пра­вильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Легко построить правильный четырехугольник-квадрат. Совсем просто строится правильный треугольник и почти так же правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более хитрое дело — построе­ние правильного пятиугольника. Научившись строить указанные многоугольники, легко по­строить и многие другие. И у меня возник вопрос : « А любой ли многоугольник можно построить циркулем и линейкой?»

Оказалось, что еще в древней Греции никому из самых замечательных геометров, не удалось построить ни правильного семиугольника, ни правильного девяти угольника; не удавалось осуществить построения правильного р-угольника ни для какого простого р, отличного от 3 и 5. Две тысячи лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. И лишь совсем недавно 210 лет назад в 1796 году 19-ти летний Карл Фридрих Гаусс доказал возможность построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки.

В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения

правильных n-угольников циркулем и линейкой, выяснив, в частности, что такое построение невозможно при p = 7, 9, и 13, и что правильный n-угольник можно построить, только если n=2р

Но как же тогда построить 7- или 9- угольник? Существуют ли приближенные способы построения правильных многоугольников? Какова их точность? Существуют ли какие- либо компьютерные программы, позволяющие строить многоугольники? На эти вопросы я и постарался ответить в своей работе. Для каждого из приближенных способов я нашел погрешность построения Так например еще в I в. Герон Александрийский указал при­ближенное значение длины стороны 9 угольника, приняв ее равной двум третьим радиуса. Абсолютная погрешность его способа составляет около 2%. Чем сложнее способ построения, тем он точнее. Так ,например приём Биона: при n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%. Способ заключается в следующем:

Пусть дана окружность и АВ — её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.

Также в своей работе я рассмотрел способ построения 59 угольника,(рассказать о способе)

Считаю, что материал моей работы может быть использован на уроках геометрии, черчения (особенно простые универсальные способы построений), ОИВТ или как факультатив, на котором учащиеся смогут научиться выполнять построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников, смогут изготовить шаблоны для построения правильных многоугольников, а также использовать компьютерные программы для выполнения построений

Приближенное построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Учебно-методические пособие

1. Любимова Виктория Сергеевна, учитель математики ГБОУ СОШ 454 Колпинского района Санкт-Петербурга

2. Пояснительная записка

3. Приближенное построение правильного семиугольника

4. Приближенное построение правильного семиугольника

5. Приближенное построение правильного семиугольника

6. Приближенное построение правильного семиугольника

7. Приближенное построение правильного семиугольника

8. Деление окружности на n равных частей

9. Последовательность действий

10. Приближенное построение правильного пятиугольника

11. Приближенное построение правильного пятиугольника

12. Приближенное построение правильного пятиугольника

13. Приближенное построение правильного пятиугольника

14. Построение правильного восьмиугольника

15. Литература

Построение правильных десяти- и пятиугольников с помощью циркуля и линейки. И2

Данный информационный модуль представляет собой анимированный ролик со звуком. Состоит из логически законченных частей, которые можно проигрывать как последовательно, так и в любом порядке по желанию учащегося. Каждая часть состоит из двух блоков: видеоряд и сопровождающий текст. Видеоряд может быть увеличен на весь экран (щелчок мышкой по пиктограмме «лупа с плюсом»). В этом режиме видеоряд проигрывается без сопровождающего текста. В любом режиме воспроизведения учащийся может включить/выключить звуковое сопровождение видеоряда (щелчок мышкой по пиктограмме «громкоговоритель»). Целью данного информационного модуля является: изучение учащимися методов построения правильных вписанных в окружность десяти- и пятиугольников с помощью циркуля и линейки.

Категория пользователей
Обучаемый, Преподаватель

Дисциплины
Математика / Правильные многоугольники

Уровень образования
Профессионально-техническая подготовка, повышение квалификации

Статус
Завершенный вариант (готовый, окончательный)

Тип ИР сферы образования
информационный модуль

Ключевые слова
правильный

Издатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт — http://www.nmg.ru

Правообладатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт — http://www.nmg.ru

Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.

Характеристики информационного ресурса

Тип используемых данных:
text/plain, text/html, image/jpeg

Объем цифрового ИР
844 131 байт

Проигрыватель

Категория модифицируемости компьютерного ИР

Признак платности
бесплатный

Наличие ограничений по использованию
нет ограничений

Рубрикация

Ступени образования
Основное общее образование

Целевое назначение
Учебное

Тип ресурса
Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

Классы общеобразовательной школы
9

Уровень образовательного стандарта
Федеральный

Характер обучения
Базовое

Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника

Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника

1МБОУ «Лицей №159»

1МБОУ «Лицей №159»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Гипотеза исследования построена на предположении о том, что задачи на построение правильного пятиугольника имеют достаточно широкое распространение в архитектуре, живописи и других, смежных с математикой, науках.

Методы исследования:

Поисковый;

Анализ;

Дедуктивный метод.

Объект исследования — задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Предмет исследования — решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам, построение правильного пятиугольника различными способами.

Проблема — задачи на построение правильного пятиугольника и задачи повышенной сложности на построение треугольника по трем элементам почти не изучаются в школьном курсе математики.

Цель исследования — поиск решения задач на построение правильного пятиугольника, на построение треугольников по трем элементам.
Задачи исследования:

1. Определить в математике понятие задачи на построение с помощью циркуля и линейки, изучить основную литературу по данной теме;

2. Решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам;

3.Исследовать архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники;

4.Рассмотреть наиболее интересные способы построения правильных пятиугольников;

5. Создание творческих проектов.

Актуальность исследования — данная тема очень актуальна, так как, выбирая профессию инженера, ученик сталкивается с множеством вопросов, например одним из них: «Где мы можем применить знания математики?» Исследования в данной области приводят к выводу о том, что математика имеет большое практическое применение, как в архитектуре, живописи, дизайне так и в других науках.

История возникновения

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Уже древними архитекторами и землемерами приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем и двух заостренных палок, связанных на одном конце.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений.

Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения. Это он вычислил и высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки. Задачи на построение интересовали Платона. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

Первая задача. Задача об удвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Вторая задача. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

Третья задача. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу. Эти три задачи на построение и носят название «знаменитых геометрических задач древности». Большую роль задачи на построение играют в «Началах» Эвклида , где существование фигур доказывается их построением при помощи циркуля и линейки. В «Началах» Эвклида находятся почти все задачи на построение, которые изучаются в настоящее время в школе.

Теоретическая часть

Что такое задачи на построение?

Задача на построение — это задача, в которой требует­ся построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без де­лений). Решение задач на построение состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений, а также рассмотреть различные способы построения правильного пятиугольника. В этом и состоит цель моей работы.

К элементарным задачам на построение, которые рассматривают на начальных этапах изучения в школьном курсе геометрии, как правило, относят следующие:

1. Отложение на прямой отрезка, равного данному.

2. Отложение от заданной полупрямой в заданную полуплоскость угла, равного данному.

3. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой.

4. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

5. Деление отрезка на две равные части.

6. Деление отрезка в заданном отношении.

7. Построение биссектрисы угла.

8. Построение угла, равного данному.

9. Построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам.

10. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу, по двум катетам.

11. Нахождение центра построенной окружности.

12. Построение касательной к окружности через заданную на ней точку. Заметим, что представленный перечень элементарных задач является условным, его можно дополнить.

Сколько бывает решений для задач на построение?

Решить задачу на построение — найти все её решения. Покажем на простейших примерах возможные случаи.

З адача имеет одно решение.

Рисунок 1

Пусть требуется построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Таких треугольников на плоскости можно построить множество, и они могут располагаться как угодно, но у всех равны соответственно две стороны два данных отрезка: гипотенуза и катет, а значит, эти треугольники равны. В этом случае говорят, что задача имеет одно решение «с точностью до равенства». Поэтому достаточно построить один треугольник.

Задача имеет конечное число решений.

Рисунок 2

Пусть требуется построить прямоугольный треугольник, катетом которого служит данный отрезок AC, а гипотенуза равна другому данному отрезку L. В этом случае условие задачи требует определённого расположения искомого треугольника относительно катета AC. Треугольник может оказаться в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости относительно отрезка AC. Поэтому задача имеет два решения: Δ и Δ (рис. 2), причём Δ = Δ . Важно отметить, что хотя здесь треугольники и равны, мы считаем их разными решениями (поскольку они расположены по-разному относительно отрезка AC).

Задача имеет бесконечно много решений.

Такого рода задачи называют неопределёнными. Конечно, мы не можем построить все решения неопределённой задачи. Когда же считают неопределённую задачу решённой? В том случае, когда указаны:

1) приём построения одной из искомых фигур задачи;

2) приём получения других искомых фигур.

Пример. Построить окружность данного радиуса и касающуюся данной прямой.

Рисунок 3

Р ешение. Через произвольную точку B прямой L проведём прямую L₁⊥L. Отложим на прямой L₁ от точки B, например, в верхнюю полуплоскость отрезок BO = r. Проведём окружность ω(O;OB=r). Через точку O проведём прямую L₂ параллельную L. Заметим, что при всевозможных положениях точки O на прямой L₂ возникают все решения данной задачи. Задача решена.

Задача не имеет решений.

Такие задачи называют переопределёнными.

Пример. Построить окружность, проходящую через три данные точки, лежащие на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, то провести через них окружность нельзя. Следовательно, задача не имеет решения.

О расположении данных в задаче ничего не сказано. В таких случаях задачу считают решённой, если рассмотрены всевозможные случаи расположения данных.

Пример. Провести через данную точку касательную к данной окружности.

Решение. Возможны три случая расположения данных (точки и окружности).

Случай 1. Точка находится вне окружности, но не принадлежит кругу. Здесь можно провести две касательные к окружности (рис. 4).

Случай 2. Точка находится на окружности. Здесь можно провести одну касательную (рис. 5).

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

С лучай 3. Точка находится вне окружности, но принадлежит кругу. Здесь касательную к окружности провести нельзя (рис. 6).

Что такое правильный пятиугольник? Правильный пятиугольник, или пентагон (от греческого πενταγωνον-пятиугольник) — выпуклая фигура, имеющая пять вершин, все стороны которой равны между собой (рис 7).

Также, можно заметить, что данная фигура делится в золотом сечении.

Рисунок 7. Правильный пятиугольник

Рисунок 8. Деление правильного пятиугольника в золотом сечении

Архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники

Пятиугольный храм (1475-1554) (рис. 10)
Дворец в крепости (1475-1554) (рис. 11)
Театр Советской армии (1934-1940) (рис. 12)
Цитадель в Кортрейке ( III-IV вв.) (рис. 13)
Укреплённая крепость Пиллау (начало XVIIв.) (рис. 14)

Схема типовой крепости из руководства по военному искусству(рис. 15)
Здание министерства обороны США (окончание строительства — январь 1943) (рис. 16)
Дом Советов в Махачкале (1927) (рис. 17)
План типового этажа( 2-9 этаж) 9-этажного дома башенного типа жилого комплекса Слоттсбергет в Гётеборге

Рисунок 9

Рисунок 10

Рисунок 11 Рисунок 12

Рисунок 13 Рисунок 14

Рисунок 15 Рисунок 16

Практическая часть. Приложение А

Заключение

Своеобразие геометрии,

выделяющее её среди

других разделов математики,

да и всех наук вообще,

заключается в неразрывном

органическом соединении живого

воображения со строгой логикой.

Геометрия в своей сути и есть

пространственное воображение,

пронизанное и организованное

строгой логикой.

В ходе моей работы цель исследования – поиск решений задач на построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника была достигнута. В своей работе я рассмотрел архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи, и выявил, что при проектировании данных сооружений использовались правильные пятиугольники. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией.

Практическая часть моей работы включает в себя различные задачи повышенной сложности на построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника.

Я выбрал эту тему, так как она имеет большое практическое применение в нашей жизни, например, в архитектуре, геометрии, инженерной графике, проектировании.

Список использованной литературы

1.http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/article-1.html
2.http://poisk-ru.ru/s5188t3.html

3.https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_пятиугольник

4. В. Н. Литвинов «Правильный пятиугольник» 2012г.

5. Александров И.И. «Сборник геометрических задач на построение», 1950 г

Просмотров работы: 48

Что нарисовать из шестиугольника ребенку. Построение пятиугольника подробно

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник — искомый.

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N 1 , Р 1 , Q 1 , К 1 и соединяем их прямыми.

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB — искомый. 

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

Обмер выполненных работ, за исключением особо оговоренных случаев, производится по площади действительно обработанной поверхности с учетом ее рельефа и за вычетом необработанных мест. Для определения действительно обработанных поверхностей при малярных работах следует пользоваться переводными коэффициентами, приведенными в таблицах. А. Деревянные оконные устройства (обмер производится по площади проемов по наружному обводу коробок) Наименование устройств Коэффициент при…

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…

Эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны.

Как правильно начертить луч и какие принадлежности для черчения вам понадобятся? Возьмите листок бумаги и отметьте в произвольном месте точку. Затем приложите линейку и проведите линию, начиная с указанной точки и до бесконечности. Чтобы начертить ровную линию, нажмите клавишу «Shift»и проведите линию нужной длины. Сразу после начертания откроется вкладка «Формат». Уберите выделение с линии и увидите, что в начале линии появилась точка. Для создания надписи нажмите кнопку «Нарисовать надпись» и создайте поле, где будет находиться надпись.

Первый способ построения пятиугольника считается более «классическим». Получившаяся в результате построения фигура будет правильным пятиугольником. Двенадцатиугольник не является исключением, поэтому его построение будет невозможным без применения циркуля. Задача построения правильного пятиугольника сводится к задаче деления окружности на пять равных частей. Начертить пентаграмму можно с использованием простейших инструментов.

Я долго бился пытаясь этого добиться и самостоятельно найти пропорции и зависимости, но мне этого не удалось. Оказалось, что есть несколько различных вариантов построения правильного пятиугольника, разработанных известными математиками. Инересным моментов является то, что арифметически эту задачу решить только приблизительно точно, поскольку придется использовать иррациональные числа. Зато ее можно решить геометрически.

Деление окружностей. Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата. В окружности радиуса R (Шаг 1) следует провести вертикальный диаметр. В точке сопряжения N прямой и окружности прямая является касательной к окружности.

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите. Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырёх кнопок или иголочек). Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь.

С центра опусти на окружность 2 луча, чтоб угол между ними был 72 градуса (транспортиром). Деление круга на пять частей осуществляется с помощью обычного циркуля или транспортира. Поскольку правильный пятиугольник — это одна из фигур, содержащая в себе пропорции золотого сечения, его построением издавна интересовались живописцы и математики. Эти принципы построения с применением циркуля и линейки были изложены еще в эвклидовых «Началах».

Математических изображений | Рисование правильного пятиугольника с линейкой и циркулем

Если мы начнем с сегмента, мы можем нарисовать правильный пятиугольник, только используя линейку и циркуль, у которого этот сегмент является одной стороной.

Мы уже знаем, что диагональ правильного пятиугольника находится в золотом сечении по отношению к его сторонам и что золотое сечение обозначается как и его значение:

Это основной шаг:

Тогда значение a равно:

Затем мы можем нарисовать отрезок длиной диагональ правильного пятиугольника:

А можно закончить работу и получить правильный пятиугольник:

Нарисовав двенадцать пятиугольников, мы получим сетку додекаэдра:

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Демонстрация теоремы Пифагора, вдохновленная Евклидом.

В своей книге «Underweysung der Messung» Дюрер нарисовал неправильный пятиугольник с линейкой и неподвижным циркулем. Это простая конструкция, очень хорошо напоминающая правильный пятиугольник.

Золотой прямоугольник состоит из квадрата и другого золотого прямоугольника.

Золотой прямоугольник состоит из квадрата и другого золотого прямоугольника. Эти прямоугольники связаны расширяющимся вращением.

Золотая спираль — хорошее приближение к равноугольной спирали.

Две равноугольные спирали содержат все вершины золотых прямоугольников.

Двенадцать вершин икосаэдра лежат в трех золотых прямоугольниках. Тогда мы можем вычислить объем икосаэдра

Из трех золотых прямоугольников можно построить икосаэдр.

Некоторые свойства этого платонического тела и его отношение к золотому сечению. Построение додекаэдров разными методами.

Он изучал трансформации образов, например, лиц.

Дюрер первым опубликовал на немецком языке метод рисования эллипсов в виде конических сечений.

Дюрер ошибся, объясняя, как рисовать эллипсы. Мы можем доказать, используя только основные свойства, что эллипс не имеет формы яйца.

Первый рисунок плоской сети правильного додекаэдра был опубликован Дрером в его книге «Underweysung der Messung» («Четыре книги измерений»), опубликованной в 1525 году.

Два преобразования равносторонней спирали с одинаковым общим эффектом.

В равноугольной спирали угол между вектором положения и касательной постоянен.

Леонардо да Винчи сделал несколько рисунков многогранников для книги Луки Пачоли «De divina пропорционально». Здесь мы видим адаптацию додекаэдра.

Расширяющее вращение — это комбинация вращения и растяжения от одной и той же точки.

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

, Шон Д. Бродерик

Правильные многоугольники — это замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер равной длины и вершин равного размера.Самый простой правильный многоугольник — это равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер равной длины и трех углов между каждой парой ребер, составляющих 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, поскольку два ребра образуют угол, а одно ребро — сегмент. Полигоны — это замкнутые фигуры. Правильный многоугольник с четырьмя ребрами и есть квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы исследуем, как построить правильные многоугольники, используя циркуль и линейку, в сравнении с программой динамической геометрии, такой как Sketchpad Geometer.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с помощью линейки и циркуля. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон.

1. Мы начинаем с рисования произвольной точки A.

2. Затем мы открываем наш компас на фиксированное расстояние и делаем небольшую отметку справа от нашей точки A. Это то место, где в конечном итоге будет наша точка B.

3. Не отрывая циркуль от бумаги, перемещаем конец карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку.Это будет то место, куда в конечном итоге попадет точка C.

4. Теперь мы помечаем нашу точку B в любом месте отметки. (Почему мы можем отметить его где-нибудь на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите конец циркуля в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая место, куда пойдет точка C.

6. Отметьте пересечение как точку C.

7. Используя линейку, проведите первую сторону треугольника от A до B.

8. Снова, используя линейку, проведите вторую сторону треугольника от B. к С.

9. Нарисуйте последнюю сторону. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равностороннего треугольника в GSP:

1. Начнем с рисования отрезка произвольной длины. Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь мы построим круг, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы делаем еще один круг, используя точку A как центр и точку B как край.

5. Строим их пересечение и маркируем его точкой C.

6. Строим отрезок AC.

7. Строим отрезок ВС.

8. Если мы скроем наши круги, у нас теперь есть равносторонний треугольник.

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой среде?

3. Теряем ли мы что-нибудь или получаем что-нибудь, если мы учим студентов делать это, используя один, другой или оба средства?

1 (и часть 2).В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если круги одинакового размера, то радиусы одинакового размера и их положение таково, что они встречаются в трех точках (центры кругов и их пересечение). Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг поперек линии, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку круги слились и теперь имеют общий радиус, образующий основание, мы можем видеть, что поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются наверху, мы должны иметь равносторонний треугольник.

Остальные части 2. Мы видели, что составляет равносторонний треугольник в GSP, но что касается конструкции из карандаша и бумаги, мы видим, что они такие же, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного потерять конструкцию карандаша и бумаги, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги окружностей, а равномерное расстояние, созданное компасом, скрыто. Однако я считаю, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы у студентов было более полное представление о конструкциях.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начнем с построения по циркулю и линейке:

1.Мы отмечаем точку А, выставляем циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, поэтому не теряйте ее.

2. Мы отмечаем точку на отметке компаса, B.

3. Затем мы проводим прямую линию через точку A и точку B.

4. Используя компас при текущих настройках, отметьте отметку слева от точки A и справа от точки B.

5. Если мы хотим сделать квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх от точек A и B. Итак, чтобы сделать это, нам нужно продлить компас от нашей произвольной длины чуть-чуть.Затем мы размещаем точку на самом левом пересечении и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем конец циркуля в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересекались, как показано на рисунке. Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки циркуля на точке A и сделайте дугу вокруг точки B. Затем поместите точку циркуля на крайнее правое пересечение и сделайте дугу, соединяющуюся с другой точкой. , охватывающую точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходный циркуль произвольной длины.Это будет означать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от A до B, поэтому он будет квадратным. Далее нам нужно выяснить, где будет вершина квадрата. Поэтому мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от A вверх через две дуги вокруг A и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло теперь выглядеть.

7. Теперь мы закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив эту точку пересечения C.Наконец, мы соединяем точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Теперь проиллюстрируем, как можно построить квадрат, используя GSP:

1. Постройте отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A как центр и B как край. В верхней части круга мы отметили расстояние, такое же, как и от A до B.

3.Итак, теперь мы строим перпендикулярную линию через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину круга обозначим точкой D.

4. Построим перпендикулярную линию через точку D к прямой AD.

5. Затем мы строим еще одну перпендикулярную линию, на этот раз через точку B к прямой AB.

6.Мы обозначаем эту точку C.

7. Если мы скроем объекты, которые помогли нам в строительстве, мы получим построенный квадрат ABCD.

Комментарий:

Кажется, что причина, по которой это работает, похожа на объяснение равностороннего треугольника. Вот несколько эскизов:

Здесь мы имеем тот же тип конструкции, что и у треугольника.Теперь наши радиусы перпендикулярны и одинаковой длины. Это похоже на атрибуты квадрата.

Теперь мы выделяем две точки на одном круге и объединяем их с другим.

Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас будет наш квадрат.

Теперь обратим наше внимание на построение пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне понадобился Интернет.Есть много разных способов построить пятиугольник. В центре внимания этого эссе — показать, как это сделать, и обсудить, почему этот подход работает. Что за математика стоит за этим?

1. Пятиугольник состоит из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем круга. Итак, сначала строим круг с помощью циркуля. Далее мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.

2.Нам нужно построить еще одну линию, разделяющую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол 180 градусов, идущий вниз по середине круга. Для этого выставляем компас на определенную точку открытия. Мы помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем кончик циркуля на сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет идти деление угла пополам.Создает X, пересечение которого является местом, где должен пройти луч круга. Проведите линейкой биссектрису угла.

3. Следующая цель — построить середину отрезка, который мы только что нарисовали. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше, чем приблизительная средняя точка сегмента. Помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметку дуги как на картинке.Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, дуги должны пересекаться, как показано. Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.

4. Затем соедините середину найденного сегмента с вершиной круга и с точкой пересечения разделительной линии и края круга.Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и средней точки к краю, как показано на рисунке. Мы используем те же методы, что и в начале. Раскрываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем циркуль и помещаем его конец на сделанные нами отметки и делаем новые отметки в направлении центра угла.Эти отметки должны пересекаться под биссектрисой угла. Проведена линия биссектрисы угла от вершины угла через точку X до линии, разделяющей круг на две равные части. (На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продлить биссектрису угла за вертикальную линию.)

5. Следующая цель — построить прямую, параллельную горизонтальному сегменту, в точке пересечения вертикального сегмента и биссектрисы угла.Это делается путем размещения острия циркуля в вершине угла, разделенного пополам, и разметки угла дугой, как показано. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный сегмент, поместите точку циркуля и нарисуйте еще одну дугу, как и раньше. Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от углового сегмента к угловому сегменту на сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы проводите выше, и это пересечение является точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии.Давай, сделай это.

6. Соедините пересечение нового сегмента и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и края круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.

7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Четвертую сторону мы можем соединить с пятой, не делая конструкции.Однако мы все равно делаем его, чтобы убедиться, что фигура построена правильно. Теперь нам просто нужно определиться, с чего начать. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, проходящий через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.

8. Повторим этот процесс в другой раз.

9.Повторяем этот процесс еще раз.

10. Теперь мы закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.

Мне также любопытно, что есть математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать. Это большой круг на внешней стороне конструкции, прежде чем мы его скроем.Кроме того, внутри пятиугольника есть небольшой кружок, если дуги, определяющие середину сегмента, были немного более согласованными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли это? Это пропорционально большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?

Теперь мы покажем этот же процесс с помощью GSP:

1.Строим круг произвольной длины. Затем мы проводим линию по центру круга.

2. Затем мы строим перпендикулярную линию к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем отрезок из только что созданной линии от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.

3. Оттуда мы проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга.Это создает угол, а затем мы строим биссектрису угла.

4. Мы строим параллельную линию предыдущей горизонтальной линии, и пересечение новой линии с краем круга является точкой для создания первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.

5.Теперь мы повторяем этот процесс для второй стороны бордового цвета.

6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым.

7. Мы повторяем этот процесс с розовым или темно-синим цветом, каким бы он ни был. На этом этапе мы можем просто соединить две последние стороны, но поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.

8. Похоже, что в середине этого сооружения происходит много всего. Однако пятиугольник, который, как я думал, находится прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.

9. Если мы скроем все тонкие линии, мы увидим наш пятиугольник.

Вопрос:

Почему это работает?

Ответ:

В классе мы обсуждали использование золотого сечения.В пятиугольнике,

отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.

Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, как конструкция выше представляет собой пятиугольник. Теперь сделаем круг радиуса с одной стороной единицы длины:

Затем мы наклеили несколько ярлыков для облегчения обсуждения:

Во-первых, мы замечаем, что треугольник ABF похож на треугольник AEB .Из этого можно сделать вывод, что:

Тогда через подстановку получаем:

Что дает:

Мы знаем, что фи — это золотое сечение. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:

Чтобы обсудить причину, по которой эта конструкция представляет собой пятиугольник, мы используем вышеуказанные метки.Наша цель — доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи или золотому сечению, тогда фигура оказывается пятиугольником. Показанная выше конструкция является той же конструкцией, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.

Начну с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Сегменты BC и CO имеют длину одну единицу, потому что C является средней точкой BO. Если AO равно 2, а CO равно 1, то AC:

Теперь мы можем найти угол ACO с помощью тригонометрии.Следовательно, угол ACO равен:

Таким образом, угол DCO составляет половину этого, по определению:

Сегмент DO / 1 равен:

Поскольку мы знаем, что EO равно 2, мы используем теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ED ² + DO ² = EO ² . Итак, имеем:

Следовательно, ED =

Мы умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF.Итак, EF =

Мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы рассчитываем соотношение длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь мы ищем длину стороны, скажем AE. Мы планируем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ² . Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 — DO. Следовательно, решаем:

Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для получения десятичного приближения, мы получаем AE = 2.35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF / AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это то же самое, что и мое приближение для EF / AE. Следовательно, эта конструкция дает правильный многоугольник.

Теперь перейдем к разделу построения шестиугольника с линейкой и циркулем:

1. Начнем с построения круга произвольного размера.

2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны.Сохраняя исходный произвольный размер компаса, мы помещаем точку циркуля на эту отметку и отмечаем пересечения круга сверху и снизу.

3. Теперь мы рисуем диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с помощью нашей линейки.

4. Проделаем то же самое на противоположном перекрестке.

5.Теперь мы можем приступить к построению сторон шестиугольника. Наша первая сторона идет от отмеченной нами правой точки до верхнего пересечения круга.

6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?

7. Делаем нашу третью сторону, строя линию, соединяющую отметки центров двух наших кругов. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где наша третья сторона закончится.Теперь мы можем построить эту третью сторону.

8. Рисуем четвертую сторону, начиная с только что сделанного пересечения и заканчивая левым нижним пересечением.

9. Наша пятая сторона построена путем соединения нижних перекрестков.

10. Мы закончили конструирование сторон шестиугольника, соединив точки пересечения от правого нижнего до крайней правой отметки.

11.У нас есть шестиугольник!

Хм … Похоже, верх немного криво … Не знаю, почему так получилось. Снова мы спрашиваем, как эта конструкция дает шестиугольник. Связано ли это с умением создавать внутренние или дополнительные углы?

Мы выполняем этот процесс в GSP:

1. Сначала построим круг произвольного размера.

2. Затем мы строим горизонтальную линию от центра круга до края.

3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого в качестве центра и центр первого в качестве края.

4. Затем мы проводим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.

5. Затем мы строим еще одну линию через центр первого круга, которая проходит через нижнее пересечение кругов.

6.Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается от нижнего пересечения обоих кругов и идет к центру второго круга.

7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой нарисованной линии и первого круга.

8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первой окружности и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первой окружности.

9. Четвертая сторона идет от пересечения первой окружности и горизонтальной линии до верхнего пересечения первой окружности и второй линии.

10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.

11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть шестиугольник.

12.Когда мы скрываем линии и помечаем вершины, мы получаем чистое изображение нашего построенного шестиугольника.

Теперь мы подошли к вопросу о том, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос, почему это так?

Поскольку это невозможно, я считаю, что сейчас хорошее время, чтобы закончить это эссе.

Построение пятиугольника можно выполнить с помощью компаса и…

Контекст 1

… построения линейки и циркуля состоят из многократного применения пяти основных построений, основанных на аксиомах Евклида [39], с использованием точек, линий и окружностей, которые уже были построены. Основанные на этих геометрических примитивах и фиксированном наборе операций конструкции линейки и циркуля, такие как показано на рисунке 1, являются первыми алгоритмическими описаниями генеративных моделей. 3. Пусть D — середина BO. …

Контекст 2

… Элементарные структуры данных обычно используются в компьютерной графике (см. рисунок 10). Увеличивая количество примитивов, можно создать лучшее приближение цилиндра. …

Context 3

… качество аппроксимации поверхности объекта полигонами сильно зависит от количества примитивов и используемых операций моделирования. Как только приближение найдено, вся информация об аппроксимируемой поверхности часто теряется, см. Рисунок 11. …

Контекст 4

… Поверхности Подразделения поверхностей определяются рекурсивно, начиная с заданной многоугольной сетки (обычно четырехугольной или треугольной), как показано на рисунке 10 (в центре). Схема уточнения применяется к этой сетке, создавая новые вершины и грани, сходящиеся к поверхности предельного подразделения (которая является поверхностью, полученной путем применения схемы уточнения бесконечное количество раз). …

Контекст 5

… к тому факту, что положение и размер вокселя предопределены заранее, воксели хороши для представления регулярно выбираемых пространств.Аппроксимация форм произвольной формы страдает от этого врожденного свойства, как видно на рисунке 10 (справа). Тем не менее, представления вокселей не страдают от числовой нестабильности, поскольку они обычно определяются на целочисленной сетке. …

Контекст 6

… таким образом можно выполнить деформированное разделение, деформацию можно запечь в любой точке, чтобы учесть прямые разрезы в деформированной геометрии. Пример показан на рисунке 13. …

Контекст 7

… Первым шагом процесса является регистрация генеративной модели (включая ее свободные параметры) для лазерного сканирования. Затем разница между генеративной моделью и лазерным сканированием сохраняется в текстуре, которую можно применить ко всем экземплярам одного и того же семейства форм, как показано на рисунке 14. …

Контекст 8

… Платформа моделирования позволяет разработчикам оптимизировать компромисс перекодирования для создания интерактивных трехмерных визуализаций. Пример приложения дополненной реальности, показанный на Рисунке 15, отображает подземную инфраструктуру, созданную из данных географических информационных систем (ГИС)….

Контекст 9

… Чтобы уменьшить пространство поиска, из классификаций выводится нерегулярная сетка, а алгоритм синтаксического анализа применяется для получения наиболее вероятного применения правил, которое дает классификационную метку для каждого ячейка сетки. Такое дерево синтаксического анализа может быть легко преобразовано в процедурную модель, как показано на рисунке 16. …

Контекст 10

… система завершает работу, если каждой вершине присвоено состояние. Этот процесс показан на рисунке 17.На основе этих классификаций получается неправильная сетка (c) и анализируется двумерная разбитая грамматика (d). …

Контекст 11

… авторы предлагают меру сходства между статистической моделью и заданной входной сеткой, которая состоит из трех частей: расстояние формы, которое измеряет общее несоответствие формы, геометрическое расстояние, которое отражает статистика геометрии его ветвей и структурное расстояние, которое кодирует стоимость преобразования графического представления модели статистического дерева в графическое представление входной модели дерева.Некоторые примеры см. На рисунке 18. Метод MCMC также применялся другими методами для нахождения параметров статистической генеративной модели: [101], [119], [127]. …

Контекст 12

… примерный набор данных, показанный на рисунке 19, состоит из отсканированных лазером чашек и описания генеративных чашек. Алгоритм способен обнаружить экземпляр генеративной чаши. …

Контекст 13

… можно комбинировать, вызывая последовательность различных преобразований.На рисунке 21a показан пример многоугольника профиля, копии которого расположены радиально вокруг начала координат (рисунок 21b). Эти многоугольники сначала преобразуются в двухсторонние грани. …

Контекст 14

… можно комбинировать, вызывая последовательность различных преобразований. На рисунке 21a показан пример многоугольника профиля, копии которого расположены радиально вокруг начала координат (рисунок 21b). Эти многоугольники сначала преобразуются в двухсторонние грани. …

Контекст 15

… полигоны сначала преобразуются в двусторонние грани. Затем соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c) и создается поверхность разделения (рисунок 21d). Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). …

Контекст 16

… сначала многоугольники преобразуются в двусторонние грани. Затем соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c) и создается поверхность разделения (рисунок 21d).Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). …

Контекст 17

… соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c), и создается поверхность разделения (рисунок 21d). Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). На этапе постобработки выбранные грани можно раскрасить по-разному (Рисунок 21h)….

Контекст 18

… многоугольник профиля, угол поворота и набор настраиваемых параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). На этапе постобработки выбранные грани можно раскрасить по-разному (Рисунок 21h). Создание базовой формы отделено от дополнительных шагов по созданию гравюр, изменению материалов или добавлению драгоценных камней. …

Как сделать правильный пятиугольник с помощью циркуля. Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по кругу.Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Правильный пятиугольник — это многоугольник, в котором все пять сторон и все пять углов равны друг другу. Вокруг него легко описать круг. Постройте пятиугольник , и этот круг вам поможет.

Инструкция по эксплуатации

Прежде всего, необходимо построить круг с помощью циркуля. Пусть центр окружности совпадает с точкой О. Нарисуйте оси симметрии перпендикулярно друг другу.На пересечении одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольника и . На пересечении другой оси с окружностью, позиция D.

На отрезке OD найдите середину и отметьте на ней точку A. После этого нужно циркулем начертить круг с центром в этой точке. Кроме того, он должен проходить через точку V, то есть с радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этого круга обозначьте B.

После этого с помощью циркуля нарисуйте круг такого же радиуса, поместив стрелку в точку V. Обозначьте пересечение этого круга с оригиналом точкой F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольника и.

Теперь вам нужно провести ту же окружность через точку E, но с центром в F. Обозначьте пересечение только что нарисованной окружности с исходной как G. Эта точка также станет одной из вершин пятиугольника и.Аналогичным образом нужно построить еще один круг. Его центр находится в G. Пусть это будет точка пересечения с исходной окружностью. Это последняя вершина правильного многоугольника.

У вас должно получиться пять вершин. Осталось просто соединить их по линейке. В результате всех этих операций у вас получится правильный, вписанный в круг пятиугольник .

Построение правильных пятиугольников возможно с помощью циркуля и линейки. Правда, процесс довольно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон.Современные компьютерные программы позволяют сделать это за несколько секунд.

Вам понадобится

• — компьютер с AutoCAD.

Руководство по эксплуатации

Найдите в AutoCAD верхнее меню и вкладку «Главная» в нем. Щелкните по нему левой кнопкой мыши. Появится панель рисования. Появятся разные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Это многоугольник, осталось только ввести параметры. AutoCAD позволяет рисовать множество различных правильных многоугольников.Количество сторон может достигать 1024. Вы можете использовать командную строку, в зависимости от версии, набрав «_polygon» или «multi-angle».

Независимо от того, используете ли вы командную строку или контекстное меню, на экране появится окно с просьбой ввести количество сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окно координаты. Вы можете обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные.

Выберите предпочтительный метод строительства.. AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник можно описать или вписать в круг, но вы также можете построить его в соответствии с заданным размером стороны. Выберите нужный вариант и нажмите Enter. При необходимости укажите радиус окружности и также нажмите Enter.

Пятиугольник на данной стороне сначала строится точно таким же образом. Выберите «Нарисовать» замкнутую полилинию и введите количество сторон. Щелкните правой кнопкой мыши, чтобы открыть контекстное меню. Нажмите ребро или боковую команду. В командной строке введите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника.После этого на экране появится пятиугольник.

Все операции можно выполнять из командной строки. Например, чтобы построить пятиугольник сбоку в русскоязычной версии программы, введите букву «с». В английской версии это будет «_e». Чтобы построить вписанный или описанный пятиугольник, после определения количества сторон введите буквы «o» или «b» (или английские «_c» или «_i»).

Таким простым способом можно построить не только пятиугольник. Для того, чтобы построить треугольник, необходимо развести ножки циркуля на расстояние, равное радиусу круга.Затем поместите иглу в любую точку. Нарисуйте тонкий опорный круг. Две точки пересечения кругов, а также точка, в которой была ножка циркуля, образуют три вершины правильного треугольника.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в круг.

Построение шестиугольника основано на том, что его сторона равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить круг на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью подъемника и угла 30X60 °. Для выполнения этой конструкции возьмем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, построим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проведем стороны 5 — 6 и 3. — 2.

Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и квадрата с углами 30 и 60 ° или всего одного циркуля. Рассмотрим два способа построить равносторонний треугольник, вписанный в круг.

Первый способ (рис. 61, а) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат 60 °, а вертикальная линия, проведенная через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. .Так как угол 0 — 1 — 2 равен 30 °, то для нахождения стороны 1 — 2 достаточно построить угол 30 ° в точке 1 и стороне 0 — 1. Для этого установите подъемник и угольник. как показано на рисунке, проведите линию 1-2, которая будет одной из сторон желаемого треугольника. Чтобы построить сторону 2–3, мы устанавливаем траншею в положение, показанное пунктирными линиями, и через точку 2 проводим прямую линию, определяющую третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что если вы построите правильный шестиугольник, вписанный в круг, а затем соедините его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Чтобы построить треугольник, отметьте вершину 1 на диаметре и проведите диаметральную линию 1 — 4. Далее из точки 4 с радиусом, равным D / 2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами желаемого треугольника.

Это построение можно сделать с помощью квадрата и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описываемой окружности и наклонены к ее осям под углом 45 °. Исходя из этого, устанавливаем подъемник и угольник с углами 45 °, как показано на фиг. 62, а, отметьте точки 1 и 3. Затем через эти точки проведите горизонтальные стороны квадрата 4 — 1 и 3 — 2 с помощью рейки. Затем с помощью подъемника по ножке квадрата проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делятся пополам дугами окружности, заключенными между концами диаметра. Мы отмечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки A, B и C, и из них радиусом y описываем дуги до их взаимного пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проведите вспомогательные линии, отмеченные на рисунке сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определяют вершины 1 и 3; 4 и 2.Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяются последовательно между собой.

Построение правильного пятиугольника, вписанного в круг.

Чтобы вписать правильный пятиугольник в круг, сделаем следующие конструкции. Отметим на окружности точку 1 и примем ее за одну из вершин пятиугольника. Разделите отрезок АО пополам. Для этого радиусом AO от точки A описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и B.Соединяя эти точки прямой, получаем точку K, которую затем соединяем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем дугу от точки K до пересечения с линией AO в точке H. Соединяя точку 1 с точкой H, получаем сторону пятиугольника. Затем с помощью циркуля, равного отрезку 1H, описав дугу от вершины 1 до пересечения с окружностью, найдем вершины 2 и 5. Сделав такой же циркуль решения выемки из вершин 2 и 5, мы получим оставшиеся вершины 3 и 4.Находим соединенные точки последовательно друг с другом.

Построение правильного пятиугольника на заданной стороне.

Чтобы построить правильный пятиугольник с этой стороны (рис. 64), разделим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек A и B с радиусом AB мы описываем дуги, пересечение которых даст точку K. Через эту точку и разделив 3 линией AB, проведите вертикальную линию. Далее от точки K на этой прямой откладываем отрезок равный 4/6 AB.Получаем точку 1 — вершину пятиугольника. Затем с радиусом, равным AB, от точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, предварительно проведенными из точек A и B. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Находим вершины соединяем последовательно друг с другом.

Построение правильного семиугольника, вписанного в круг.

Пусть дан круг диаметром D; в него нужно ввести правильный семиугольник (рис.65). Разделите вертикальный диаметр круга на семь равных частей. От точки 7 с радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точка F называется полюсом многоугольника. Взяв точку VII за одну из вершин семиугольника, проведите лучи от полюса F через четные части вертикального диаметра, пересечение которых с окружностью определит вершины VI, V и IV семиугольника.Чтобы получить вершины / — // — /// из точек IV, V и VI, проведем горизонтальные линии до пересечения с окружностью. Найденные вершины соединяются последовательно друг с другом. Семиугольник можно построить, проведя лучи от полюса F через нечетные части вертикального диаметра.

Приведенный выше метод подходит для построения правильных многоугольников с любым количеством сторон.

Разделение круга на любое количество равных частей также можно выполнить, используя данные в таблице.2, где приведены коэффициенты, позволяющие определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Длины сторон правильных вписанных многоугольников.

В первом столбце этой таблицы указано количество сторон правильного вписанного многоугольника, а во втором — коэффициенты. Длина стороны данного многоугольника будет получена путем умножения радиуса данного круга на коэффициент, соответствующий количеству сторон этого многоугольника.2) (4) \ sqrt (\ frac (5+ \ sqrt (5

Отрывок о регулярном Пентагоне