Построение многоугольников в autocad
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Урок №5 Построение многоугольников в AutoCAD.
Правильные многоугольники, частными случаями которых являются равносторонние треугольники, квадраты и шестигранники можно построить тремя способами:
- Описанный многоугольник;
- Вписанный многоугольник;
- Многоугольник с заданной стороной.
Рассмотрим каждый способ отдельно.
1. Для построения описанного многоугольника на вкладке «Главная» открываем панель «Рисование», нажимаем на кнопку «Многоугольник» (создание равносторонней замкнутой полилинии).
Кроме того можно использовать командную строку. Для русифицированных версий программы набираем команду «МН-УГОЛ», для англоязычных, команду «_polygon».
Указываем точку с координатами (0,0), нажимаем «Enter» и задаем параметр размещения «Описанный вокруг окружности».
Данный параметр можно задавать через контекстное меню, которое вызывается щелчком правой клавиши мыши.
Теперь достаточно задать радиус окружности, например 500 и нажать клавишу «Enter».
При необходимости, до ввода значения радиуса, многоугольник можно развернуть под любым углом.
2. Вписанный многоугольник строится аналогично, разница лишь в том, что параметр размещения указываем «Вписанный в окружность».
Задаем радиус в командной строке, или указываем точку курсором, щелкая левой кнопкой мыши в требуемом месте на экране.
При первом и втором способе параметр размещения можно задавать через командную строку. Для описанного многоугольника пишется русская буква
3.Построение многоугольника с заданной стороной начинается, как и в предыдущих случаях. На вкладке «Главная» открываем панель «Рисование», нажимаем на кнопку «Многоугольник» и указываем число сторон. Далее щелчком правой клавиши мыши вызываем контекстное меню, нажимаем команду 
Теперь нужно задать в командной строке координаты первой конечной точки (к примеру: 0,0), и второй конечной точки (например: 100,500). Нажимаем клавишу «Enter» — многоугольник построен.
Чтобы построить многоугольник с заданной стороной при помощи командной строки, после ввода числа сторон, пишем в командной строке русскую букву «С»
В следующем уроке рассмотрим построение прямоугольников.
Если у Вас есть вопросы можно задать их ЗДЕСЬ.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Список последних уроков по программе AutoCAD.
Автор: Дмитрий Родин | «AutoCAD ЭКСПЕРТ» Видео самоучитель По AutoCAD
|
Автор: Саляхутдинов Роман | «БОСК 5. Новый Видеокурс. «Твердотельное и Поверхностное Моделирование в КОМПАС-3D»
>> Читать Полное Описание << |
0″Автор: Саляхутдинов Роман | «БОСК 8.0» Познай Все Cекреты КОМПАС-3D
>> Читать Полное Описание << |
Правильный шестиугольник как построить без циркуля
Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон.
- Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
- Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
- Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
- Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2 )/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.
Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.
В широком смысле шестиугольник — это многоугольник с шестью углами. У правильного же шестиугольника углы и стороны равны. Нарисовать такой шестиугольник можно при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник — при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник — при помощи интуиции и карандаша. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами, просто читайте далее.
Геометрические построения являются одной из главных частей обучения.
Они формируют пространственное и логическое мышление, а также разрешают понять примитивные и натуральные геометрические обоснованности. Построения производятся на плоскости при помощи циркуля и линейки. Этими инструментами дозволено возвести крупное число геометрических фигур. При этом многие фигуры, кажущиеся довольно трудными, строятся с использованием простейших правил. Скажем, то, как возвести верный шестиугольник, дозволено описать каждого в нескольких словах.
Вам понадобится
- Циркуль, линейка, карандаш, лист бумаги.
Инструкция
1. Нарисуйте окружность. Установите некоторое расстояние между ножками циркуля. Это расстояние будет являться радиусом окружности. Выберите радиус таким образом, дабы вычерчивание окружности было довольно комфортным. Окружность должна всецело помещаться на листе бумаги. Слишком огромное либо слишком маленькое расстояние между ножками циркуля может привести к его изменению во время черчения.
Оптимальным будет расстояние, при котором угол между ножками циркуля равен 15-30 градусов.
2. Постройте точки вершин углов верного шестиугольника. Установите ножку циркуля, в которой закреплена игла, в всякую точку окружности. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем вернее будет установлен циркуль, тем вернее будет построение. Проведите дугу окружности так, дабы она пересекла начерченную ранее окружность. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Вновь переставьте иглу циркуля в точку пересечения дуги и окружности и вновь начертите дугу. Произведите данное действие еще три раза, перемещаясь в одном направлении по окружности. Каждого должно получиться шесть дуг и шесть точек пересечения.
3. Постройте положительный шестиугольник. Ступенчато объедините все шесть точек пересечения дуг с изначально начерченной окружностью. Соединяйте точки прямыми, вычерчиваемыми при помощи линейки и карандаша.
Позже произведенных действий будет получен верный шестиугольник, вписанный в окружность.
Шестиугольником считается многоугольник, владеющий шестью углами и шестью сторонами. Многоугольники бывают как выпуклыми, так и вогнутыми. У выпуклого шестиугольника все внутренние углы тупые, у вогнутого один либо больше угол является острым. Шестиугольник довольно легко возвести. Это делается в пару шагов.
Вам понадобится
- Карандаш, лист бумаги, линейка
Инструкция
1. Берется лист бумаги и на нем отмечается 6 точек приблизительно так, как это показано на рис. 1.
2. Позже того, как были подмечены точки, берется линейка, карандаш и с их подмогой ступенчато, друг за ином соединяются точки так, как это выглядит на рис. 2.
Видео по теме
Обратите внимание!
Сумма всех внутренних углов шестиугольника равна 720 градусам.
Шестиугольник – это многоугольник, тот, что владеет шестью углами. Для того, дабы начертить произвольный шестиугольник, надобно проделать каждого 2 действия.
Вам понадобится
- Карандаш, линейка, лист бумаги.
Инструкция
1. Нужно взять в руку карандаш и разметить на листе 6 произвольных точек. В дальнейшем эти точки будут исполнять роль углов в шестиугольнике. (рис.1)
2. Взять линейку и начертить по данным точкам 6 отрезков, которые бы соединялись друг с ином по начерченным ранее точкам (рис.2)
Видео по теме
Обратите внимание!
Специальным типом шестиугольника является положительный шестиугольник. Он именуется таковым потому, что все его стороны и углы равны между собой. Вокруг такого шестиугольника дозволено описать либо вписать окружность. Стоит подметить, что в точках, которые получились путем касания вписанной окружности и сторон шестиугольника, стороны положительного шестиугольника делятся напополам.
Полезный совет
В природе положительные шестиугольники владеют крупный популярностью. К примеру, вся пчелиная сота владеет положительной шестиугольной формой. Либо кристаллическая решетка графена (модификация углерода) тоже владеет формой положительного шестиугольника.
Как возвести тот либо другой угол – крупной вопрос. Но для некоторых углов задача невидимо упрощается. Одним из таких углов является угол в 30 градусов. Он равен ?/6, то есть число 30 является делителем 180. Плюс к этому его синус вестим. Это и помогает при его построении.
Вам понадобится
- транспортир, угольник, циркуль, линейка
Инструкция
1. Для начала разглядим особенно примитивную обстановку, когда у вас на руках есть транспортир. Тогда прямую под углом 30 градусов к данной дозволено легко отложить с поддержкой него.
2. Помимо транспортира существуют и угол ьники, один из углов которых равен 30 градусам.
Тогда иной угол угол ьника будет равен 60 градусам, то есть вам необходим визуально меньший угол для построения требуемой прямой.
3. Перейдем сейчас к нетривиальным способам построения угла 30 градусов. Как вестимо, синус угла 30 градусов равен 1/2. Для его построения нам надобно возвести прямоугол ьный треугол ьник. Возможен, мы можем возвести две перпендикулярные прямые. Но тангенс 30 градусов – иррациональное число, следственно соотношение между катетами мы можем посчитать лишь примерно (исключительно, если нет калькулятора), а, значит, и возвести угол в 30 градусов примерно.
4. В этом случае дозволено сделать и точное построение. Возведем вновь две перпендикулярные прямые, на которых будут располагаться катеты прямоугол ьного треугол ьника. Отложим по одной прямой катет BC какой-нибудь длины с поддержкой циркуля (B – прямой угол ).
После этого увеличим длину между ножками циркуля в 2 раза, что элементарно. Проводя окружность с центром в точке C с радиусом этой длины, обнаружим точку пересечения окружности с иной прямой. Эта точка и будет точкой A прямоугол ьного треугол ьника ABC, а угол A будет равен 30 градусам.
5. Возвести угол в 30 градусов дозволено и с поддержкой окружности, применяя то, что он равен ?/6. Возведем окружность с радиусом OB. Разглядим в теории треугол ьник, где OA = OB = R – радиус окружности, где угол OAB = 30 градусов. Пускай OE – высота этого равнобедренного треугол ьника, а, следственно, и его биссектриса и медиана. Тогда угол AOE = 15 градусов, и, по формуле половинного угла, sin(15o) = (sqrt(3)-1)/(2*sqrt(2)).Следственно, AE = R*sin(15o). Отсель, AB = 2AE = 2R*sin(15o). Строя окружность радиусом BA с центром в точке B, обнаружим точку пересечения A этой окружности с начальной.
Угол AOB будет равен 30 градусам.
6. Если мы можем определять длину дуг каким-нибудь образом, то, отложив дугу длиной ?*R/6, мы также получим угол в 30 градусов.
Обратите внимание!
Нужно помнить, что в 5 пункте мы можем возвести угол лишь приближенно, потому что в вычислениях будут фигурировать иррациональные числа.
Шестиугольником называют частный случай полигона – фигуры, образованной большинством точек плоскости, ограниченным замкнутой полилинией. Положительный шестиугольник (гексагон), в свою очередь, также является частным случаем – это полигон с шестью равными сторонами и равными углами. Эта фигура знаменательна тем, что длина всей из ее сторон равна радиусу описанной вокруг фигуры окружности.
Вам понадобится
Инструкция
1. Выберите длину стороны шестиугольника. Возьмите циркуль и установите расстояние между концом иглы, расположенной на одной из его ножек, и концом грифеля, расположенным на иной ножке, равным длине стороны вычерчиваемой фигуры.
Для этого дозволено воспользоваться линейкой либо предпочесть случайное расстояние, если данный момент несущественен. Зафиксируйте ножки циркуля винтом, если есть такая вероятность.
2. Нарисуйте окружность при помощи циркуля. Выбранное расстояние между ножками будет являться радиусом окружности.
3. Разбейте окружность точками на шесть равных частей. Эти точки будут являться вершинами углов шестиугольника и, соответственно, окончаниями отрезков, представляющих его стороны.
4. Ножку циркуля с иглой установите в произвольную точку, находящуюся на линии очерченной окружности. Игла должна верно проткнуть линию. От точности установки циркуля напрямую зависит точность построений. Очертите циркулем дугу так, дабы она пересекла в 2-х точках окружность, начерченную первой.
5. Переставьте ножку циркуля с иглой в одну из точек пересечения начерченной дуги с изначальной окружностью. Вычертите еще одну дугу, также пересекающую окружность в 2-х точках (одна из них совпадет с точкой предыдущего расположения иглы циркуля).
6. Сходственным же образом переставляйте иглу циркуля и вычерчивайте дуги еще четыре раза. Перемещайте ножку циркуля с иглой в одном направлении по окружности (неизменно по либо вопреки часовой стрелки). В итоге обязаны быть выявлены шесть точек пересечения дуг с изначально построенной окружностью.
7. Нарисуйте положительный шестиугольник. Ступенчато попарно объедините отрезками полученные на предыдущем шаге шесть точек. Вычерчивайте отрезки при помощи карандаша и линейки. В итоге будет получен верный шестиугольник. Позже осуществления построения дозволено стереть вспомогательные элементы (дуги и окружность).
Обратите внимание!
Имеет толк выбирать такое расстояние между ножками циркуля, дабы угол между ними был равен 15-30 градусов, напротив при осуществлении построений данное расстояние может легко сбиться.
При строительстве либо разработке домашних дизайн-планов зачастую требуется возвести угол , равный теснее имеющемуся.
На поддержка приходят образцы и школьные умения геометрии.
Инструкция
1. Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет именоваться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
2. Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, дальше называют букву, стоящую у вершины, и после этого букву у иной стороны. Используйте и другие методы для обозначения углов, если вам комфортнее напротив. Изредка называют только одну букву, которая стоит у вершины. А дозволено обозначать углы греческими буквами, скажем, α, β, γ.
3. Встречаются обстановки, когда нужно начертить угол , дабы он был равен теснее данному углу. Если при построении чертежа применять транспортир вероятности нет, дозволено обойтись только линейкой и циркулем. Возможен, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, надобно возвести угол у точки К, так, дабы он был равен углу В.
То есть из точки K нужно провести прямую, образующую с линией MN угол , тот, что будет равен углу В.
4. В начале подметьте по точке на всей стороне данного угла, скажем, точки А и С, дальше объедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.
5. Теперь постройте на прямой MN такой же треугол ьник, дабы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
6. Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения 2-х окружностей объедините с К. Получите треугол ьник КPL, тот, что будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Дабы это построение сделать комфортнее и стремительней, от вершины В отложите равные отрезки, применяя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.
Видео по теме
Обратите внимание!
Избегайте случайного метаморфозы расстояния между ножками циркуля. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.
Полезный совет
Имеет толк изготавливать построения при помощи циркуля с отлично заточенным грифелем. Так построения будут особенно точны.
В широком смысле шестиугольник — это многоугольник с шестью углами. У правильного же шестиугольника углы и стороны равны. Нарисовать такой шестиугольник можно при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник — при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник — при помощи интуиции и карандаша. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами, просто читайте далее.
Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.
Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.
Полученный пятиугольник — искомый.
Первый способ построения пятиугольника
Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.
Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.
Второй способ построения пятиугольника
Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F.
Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.
Третий способ построения пятиугольника
На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.
Построение шестиугольника
Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.
Шестиугольник ADEFGB — искомый.
«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов
Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура.
При этом надо…
Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…
Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом. Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE. Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…
Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения. При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой.
Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…
Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…
Построение правильного шестигранника
Построение шестигранника может производиться несколькими способами. Удобнее всего использовать стандартный набор чертежных инструментов: циркуль, линейку. Однако, в отсутствие циркуля, фигура этого типа может быть начерчена с помощью рейсшины, угольника заводского изготовления с углами 90/60/30°.
Шестигранники применяются для откручивания и закручивания болтов при ремонте и сборке мебели.
В обоих случаях особенностью построения является элементарное знание основ геометрии. В правильном шестиугольнике длина его стороны всегда равна радиусу окружности, описанной вокруг него, противоположные стороны параллельны, грани сопрягаются под углом 60°.
Читайте также:
Как проходит сварка.
Показатели температуры огня.
Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой
Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.
Метод выглядит следующим образом:
Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 – углы, 0 – центр, D – радиус шестигранника.
- циркулем вычерчивается окружность – радиус является размером стороны;
- по линейке проводится радиус – точки пересечения этого отрезка будут углами многоугольника;
- находятся два угла многоугольника – циркуль переставляется в одну из точек пересечения отрезка (проведенный на предыдущем этапе диаметр), на дуге делаются отметки;
- находятся оставшиеся два угла – циркуль перемещается в противоположную точку пересечения отрезка с дугой окружности, создаются отметки пересечения на второй стороне окружности.
Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента. При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом. Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.
Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.
Вернуться к оглавлению
Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля
Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины – специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию. Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений.
Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.
Способ построения выглядит следующим образом:
Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 – углы, 0 – центр, D – радиус шестигранника.
- к одной стороне отрезка прикладывается угольник – короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
- на листе/заготовке вычерчивается линия – длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
- операция повторяется при развороте угольника – угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
- разворот угольника – теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
- уточнение размеров сторон – на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
- строительство двух оставшихся сторон – они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
- контроль параллельности – шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком
Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе.
Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.
Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.
Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a – диаметр, b – сторона шестигранника.
В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:
- после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
- инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
- короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
- скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.
Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.
Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.
Создание сеток шестиугольников / Хабр
Сетки из шестиугольников (гексагональные сетки) используются в некоторых играх, но они не так просты и распространены, как сетки прямоугольников. Я коллекционирую ресурсы о сетках шестиугольников уже почти 20 лет, и написал это руководство по самым элегантным подходам, реализуемым в простейшем коде. В статье часто используются руководства Чарльза Фу (Charles Fu) и Кларка Вербрюгге (Clark Verbrugge). Я опишу различные способы создания сеток шестиугольников, их взаимосвязь, а также самые общие алгоритмы.
Многие части этой статьи интерактивны: выбор типа сетки изменяет соответствующие схемы, код и тексты. (Прим. пер.: это относится только к оригиналу, советую его изучить. В переводе вся информация оригинала сохранена, но без интерактивности.).Примеры кода в статье написаны псевдокодом, так их легче читать и понимать, чтобы написать свою реализацию.
Геометрия
Шестиугольники — это шестигранные многоугольники. У правильных шестиугольников все стороны (грани) имеют одинаковую длину. Мы будем работать только с правильными шестиугольниками. Обычно в сетках шестиугольников используются горизонтальная (с острым верхом) и вертикальная (с плоским верхом) ориентации.
Шестиугольники с плоским (слева) и острым (справа) верхом
У шестиугольников по 6 граней. Каждая грань общая для двух шестиугольников. У шестиугольников по 6 угловых точек. Каждая угловая точка общая для трёх шестиугольников. Подробнее о центрах, гранях и угловых точках можно прочитать в моей статье о частях сеток (квадратах, шестиугольниках и треугольниках).
Углы
В правильном шестиугольнике внутренние углы равны 120°. Есть шесть «клиньев», каждый из которых является равносторонним треугольником с внутренними углами 60°. Угловая точка i находится на расстоянии
(60° * i) + 30°, на size единиц от центра center. В коде:function hex_corner(center, size, i):
var angle_deg = 60 * i + 30
var angle_rad = PI / 180 * angle_deg
return Point(center.x + size * cos(angle_rad), center.y + size * sin(angle_rad))Для заполнения шестиугольника нужно получить вершины многоугольника с
hex_corner(…, 0) по hex_corner(…, 5). Для отрисовки контура шестиугольника нужно использовать эти вершины, а затем нарисовать линию снова в hex_corner(…, 0).Разница между двумя ориентациями в том, что x и y меняются местами, что приводит к изменению углов: углы шестиугольников с плоским верхом равны 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, а с острым верхом — 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°.
Углы шестиугольников с плоским и острым верхом
Размер и расположение
Теперь мы хотим расположить несколько шестиугольников вместе. В горизонтальной ориентации высота шестиугольника
height = size * 2. Вертикальное расстояние между соседними шестиугольниками vert = height * 3/4.Ширина шестиугольника width = sqrt(3)/2 * height. Горизонтальное расстояние между соседними шестиугольниками horiz = width.
В некоторых играх для шестиугольников используется пиксель-арт, который не точно соответствует правильным шестиугольникам. Формулы углов и расположений, описанные в этом разделе, не будут совпадать с размерами таких шестиугольников. Остальная часть статьи, описывающая алгоритмы сеток шестиугольников, применима даже если шестиугольники немного растянуты или сжаты.
Системы координат
Давайте приступим к сборке шестиугольников в сетку. В случае сеток квадратов существует только один очевидный способ сборки.
Для шестиугольников же есть множество подходов. Я рекомендую использовать в качестве первичного представления кубические координаты. Осевые координаты или координаты смещений следует использовать для хранения карт и отображения координат для пользователя.Координаты смещений
Наиболее частый подход — смещение каждого последующего столбца или строки. Столбцы обозначаются
col или q. Строки обозначаются row или r. Можно смещать нечётные или чётные столбцы/строки, поэтому у горизонтальных и вертикальных шестиугольников есть по два варианта.
Горизонтальное расположение «нечет-r»
Горизонтальное расположение «чёт-r»
Вертикальное расположение «нечет-q»
Вертикальное расположение «чёт-q»
Кубические координаты
Ещё один способ рассмотрения сеток шестиугольников — видеть в них три основные оси, а не две, как в сетках квадратов. В них проявляется элегантная симметрия.
Возьмём сетку кубов и вырежем диагональную плоскость в x + y + z = 0. Это странная мысль, но она поможет нам упростить алгоритмы сеток шестиугольников. В частности, мы сможем воспользоваться стандартными операциями из декартовых координат: суммированием и вычитанием координат, умножением и делением на скалярную величину, а также расстояниями.
Заметьте три основные оси на сетке кубов и их соотношение с шестью диагональными направлениями сетки шестиугольников. Диагональные оси сетки соответствуют основному направлению сетки шестиугольников.
Шестиугольники
Кубы
Поскольку у нас уже есть алгоритмы для сеток квадратов и кубов, использование кубических координат позволяет нам адаптировать эти алгоритмы под сетки шестиугольников. я буду использовать эту систему для большинства алгоритмов статьи. Для использования алгоритмов с другой системой координат я преобразую кубические координаты, выполню алгоритм, а затем преобразую их обратно.
Изучите, как кубические координаты работают для сетки шестиугольников. При выборе шестиугольников выделяются кубические координаты, соответствующие трём осям.
- Каждое направление сетки кубов соответствует линии на сетке шестиугольников. Попробуйте выделить шестиугольник с
z, равным 0, 1, 2, 3, чтобы увидеть связь. Строка отмечена синим. Попробуйте то же самое дляx(зелёный) иy(сиреневый). - Каждое направление сетки шестиугольника — это сочетание двух направлений сетки кубов. Например, «север» сетки шестиугольников лежит между
+yи-z, поэтому каждый шаг на «север» увеличиваетyна 1 и уменьшаетzна 1.
Кубические координаты — разумный выбор для системы координат сетки шестиугольников. Условием является
x + y + z = 0, поэтому в алгоритмах оно должно сохраняться. Условие также гарантирует, что для каждого шестиугольника всегда будет каноническая координата.
Существует множество различных систем координат для кубов и шестиугольников. В некоторых из них условие отличается от x + y + z = 0. Я показал только одну из множества систем. Можно также создать кубические координаты с x-y, y-z, z-x, у которых будет свой набор интересных свойств, но я не буду их здесь рассматривать.
Но вы можете возразить, что не хотите хранить 3 числа для координат, потому что не знаете, как хранить карту в таком виде.
Осевые координаты
Осевая система координат, иногда называемая «трапецеидальной», строится на основе двух или трёх координат из кубической системы координат. Поскольку у нас есть условие
x + y + z = 0, третья координата не нужна. Осевые координаты полезны для хранения карт и отображения координат пользователю. Как и в случае с кубическими координатами, с ними можно использовать стандартные операции суммирования, вычитания, умножения и деления декартовых координат.Существует множество кубических систем координат и множество осевых.
В этом руководстве я не буду рассматривать все сочетания. Я выберу две переменные, q (столбец) и r (строка). В схемах этой статьи q соответствует x, а r соответствует z, но такое соответствие произвольно, потому что можно вращать и поворачивать схемы, получая различные соответствия.
Преимущество этой системы перед сетками смещений в большей понятности алгоритмов. Недостатком системы является то, что хранение прямоугольной карты выполняется немного странно; см. раздел о сохранении карт. Некоторые алгоритмы ещё понятнее в кубических координатах, но поскольку у нас есть условие x + y + z = 0, мы можем вычислить третью подразумеваемую координату и использовать её в этих алгоритмах. В своих проектах я называю оси q, r, s, поэтому условие выглядит как q + r + s = 0, и я, когда нужно, могу вычислить s = -q - r.
Оси
Координаты смещения — это первое, о чём думает большинство людей, потому что они совпадают со стандартными декартовыми координатами, используемыми для сеток квадратов.
К сожалению, одна из двух осей должна проходить «против шерсти», и это в результате всё усложняет. Кубическая и осевая система идут «по шерсти» и у них более простые алгоритмы, но хранение карт немного более сложное. Существует ещё одна система, называемая «чередуемой» или «двойной», но здесь мы не будем её рассматривать; некоторые считают, что с ней проще работать, чем с кубической или осевой.Координаты смещения, кубические и осевые
Ось — это направление, в котором соответствующая координата увеличивается. Перпендикуляр к оси — это линия, на которой координата остаётся постоянной. На схемах сеток выше показаны линии перпендикуляров.
Преобразование координат
Вероятно, что вы будете использовать в своём проекте осевые координаты или координаты смещения, но многие алгоритмы проще выражаются в кубических координатах. Поэтому нам нужно уметь преобразовывать координаты между системами.
Осевые координаты близко связаны с кубическими, поэтому преобразование делается просто:
# преобразование кубических в осевые координаты
q = x
r = z
# преобразование осевых в кубические координаты
x = q
z = r
y = -x-zВ коде эти две функции могут быть записаны следующим образом:
function cube_to_hex(h): # осевая
var q = h. x
var r = h.z
return Hex(q, r)
function hex_to_cube(h): # кубическая
var x = h.q
var z = h.r
var y = -x-z
return Cube(x, y, z)
x
var r = h.z
return Hex(q, r)
function hex_to_cube(h): # кубическая
var x = h.q
var z = h.r
var y = -x-z
return Cube(x, y, z)Координаты смещения совсем немного сложнее:
# преобразование кубических в смещение чёт-q
col = x
row = z + (x + (x&1)) / 2
# преобразование смещения чёт-q в кубические
x = col
z = row - (col + (col&1)) / 2
y = -x-z
# преобразование кубических в смещение нечет-q
col = x
row = z + (x - (x&1)) / 2
# преобразование смещения нечет-q в кубические
x = col
z = row - (col - (col&1)) / 2
y = -x-z
# преобразование кубических в смещение чёт-r
col = x + (z + (z&1)) / 2
row = z
# преобразование чёт-r в кубические
x = col - (row + (row&1)) / 2
z = row
y = -x-z
# преобразование кубических в нечет-r
col = x + (z - (z&1)) / 2
row = z
# преобразование нечет-r в кубические
x = col - (row - (row&1)) / 2
z = row
y = -x-zПримечание о реализации: я использую a&1 (побитовое «И») вместо a%2 (деления с остатком) для определения, является ли число чётным (0) или нечётным (1).
Подробное описание см. на странице примечаний к моей реализации.Соседние шестиугольники
Дан один шестиугольник, с какими шестью шестиугольниками он находится рядом? Как и можно ожидать, легче всего дать ответ в кубических координатах, довольно просто в осевых координатах, и немного сложнее в координатах смещения. Также может потребоваться рассчитать шесть «диагональных» шестиугольников.
Кубические координаты
Перемещение на одно пространство в координатах шестиугольников приводит к изменению одной из трёх кубических координат на +1 и другой на -1 (сумма должна оставаться равной 0). На +1 могут изменяться три возможных координаты, а на -1 — оставшиеся две. Это даёт нам шесть возможных изменений. Каждое соответствует одному из направлений шестиугольника. Простейший и быстрейший способ — предварительно вычислить изменения и поместить их в таблицу кубических координат
Cube(dx, dy, dz) во время компиляции:var directions = [
Cube(+1, -1, 0), Cube(+1, 0, -1), Cube( 0, +1, -1),
Cube(-1, +1, 0), Cube(-1, 0, +1), Cube( 0, -1, +1)
]
function cube_direction(direction):
return directions[direction]
function cube_neighbor(hex, direction):
return cube_add(hex, cube_direction(direction))Осевые координаты
Как и раньше, мы используем для начала кубическую систему.
Возьмём таблицу Cube(dx, dy, dz) и преобразуем в таблицу Hex(dq, dr):var directions = [
Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1)
]
function hex_direction(direction):
return directions[direction]
function hex_neighbor(hex, direction):
var dir = hex_direction(direction)
return Hex(hex.q + dir.q, hex.r + dir.r)Координаты смещения
В осевых координатах мы вносим изменения в зависимости от того, в каком месте сетки находимся. Если мы в столбце/строке смещения, то правило отличается от случая столбца/строки без смещения.
Как и раньше, мы создаём таблицу чисел, которые нужно прибавить к col and row. Однако на этот раз у нас будет два массива, один для нечётных столбцов/строк, а другой — для чётных. Посмотрите на (1,1) на рисунке карты сетки выше и заметьте, как меняются col и row меняются при перемещении в каждом из шести направлений.
Теперь повторим процесс для (2,2). Таблицы и код будут разными для каждого из четырёх типов сеток смещений, приводим соответствующий код для каждого типа сетки.
Нечет-r
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex( 0, -1), Hex(-1, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
Hex(-1, 0), Hex( 0, +1), Hex(+1, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.row & 1
var dir = directions[parity][direction]
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)Сетка для чётной (EVEN) и нечётной (ODD) строк
Чёт-r
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
Hex(-1, 0), Hex( 0, +1), Hex(+1, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex( 0, -1), Hex(-1, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.row & 1
var dir = directions[parity][direction]
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)Сетка для чётной (EVEN) и нечётной (ODD) строк
Нечет-q
var directions = [
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex( 0, +1) ],
[ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex( 0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.col & 1
var dir = directions[parity][direction]
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)Сетка для чётного (EVEN) и нечётного (ODD) столбцов
Чёт-q
var directions = [
[ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex( 0, -1),
Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex( 0, +1) ],
[ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex( 0, -1),
Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex( 0, +1) ]
]
function offset_neighbor(hex, direction):
var parity = hex.col & 1
var dir = directions[parity][direction]
return Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)Сетка для чётного (EVEN) и нечётного (ODD) столбцов
Использование вышеуказанных таблиц подстановки — это простейший способ вычисления соседей. Если вам интересно, можно также почитать об извлечении этих чисел.
Диагонали
Перемещение в «диагональном» пространстве в координатах шестиугольников изменяет одну из трёх кубических координат на ±2 и две другие на ∓1 (сумма должна оставаться равной 0).
var diagonals = [
Cube(+2, -1, -1), Cube(+1, +1, -2), Cube(-1, +2, -1),
Cube(-2, +1, +1), Cube(-1, -1, +2), Cube(+1, -2, +1)
]
function cube_diagonal_neighbor(hex, direction):
return cube_add(hex, diagonals[direction])Как и раньше, мы можем преобразовать эти координаты в осевые, откинув одну из трёх координат, или преобразовать в координаты смещения, предварительно вычислив результаты.
Расстояния
Кубические координаты
В кубической системе координат каждый шестиугольник является кубом в трёхмерном пространстве. Соседние шестиугольники находятся в сетке шестиугольников на расстоянии 1 друг от друга, но на расстоянии 2 в сетке кубов. Это делает расчёт расстояний простым. В сетке квадратов манхэттенские расстояния равны
abs(dx) + abs(dy). В сетке кубов манхэттенские расстояния равны abs(dx) + abs(dy) + abs(dz). Расстояние в сетке шестиугольников равно их половине:function cube_distance(a, b):
return (abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y) + abs(a.z - b.z)) / 2Эквивалентом этой записи будет выражение того, что одна из трёх координат должна быть суммой двух других, а затем получение её в качестве расстояния. Можно выбрать форму деления пополам или форму максимального значения, приведённую ниже, но они дают одинаковый результат:
function cube_distance(a, b):
return max(abs(a.x - b.x), abs(a.y - b.y), abs(a.z - b.z))На рисунке максимальные значения выделены цветом. Заметьте также, что каждый цвет обозначает одно из шести «диагональных» направлений.GIF
Осевые координаты
В осевой системе третья координата выражена неявно. Давайте преобразуем из осевой в кубическую систему для расчёта расстояния:
function hex_distance(a, b):
var ac = hex_to_cube(a)
var bc = hex_to_cube(b)
return cube_distance(ac, bc)Если компилятор в вашем случае встраивает (inline)
hex_to_cube и cube_distance, то он сгенерирует такой код:function hex_distance(a, b):
return (abs(a.q - b.q)
+ abs(a.q + a.r - b.q - b.r)
+ abs(a.r - b.r)) / 2Существует множество различных способов записи расстояний между шестиугольниками в осевых координатах, но вне зависимости от способа записи расстояние между шестиугольниками в осевой системе извлекается из манхэттенского расстояния в кубической системе. Например, описанная здесь «разность разностей» получается из записи
a.q + a.r - b.q - b.r как a.q - b.q + a.r - b.r и с использованием формы максимального значения вместо формы деления пополам cube_distance. Все они аналогичны, если увидеть связь с кубическими координатами.Координаты смещения
Как и в случае с осевыми координатами, мы преобразуем координаты смещения в кубические координаты, а затем используем расстояние кубической системы.
function offset_distance(a, b):
var ac = offset_to_cube(a)
var bc = offset_to_cube(b)
return cube_distance(ac, bc)Мы будем использовать тот же шаблон для многих алгоритмов: преобразуем из шестиугольников в кубы, выполняем кубическую версию алгоритма и преобразуем кубические результаты в координаты шестиугольников (осевые или координаты смещения).
Отрисовка линий
Как нарисовать линию от одного шестиугольника до другого? Я использую линейную интерполяцию для рисования линий. Линия равномерно сэмплируется в
N+1 точках и вычисляется, в каких шестиугольниках находятся эти сэмплы.GIF- Сначала мы вычисляем
N, которое будет расстоянием в шестиугольниках между конечными точками. - Затем равномерно сэмплируем
N+1точек между точками A и B. С помощью линейной интерполяции определяем, что для значенийiот0доN, включая их, каждая точка будетA + (B - A) * 1.0/N * i. На рисунке эти контрольные точки показаны синим. В результате получаются координаты с плавающей запятой. - Преобразуем каждую контрольную точку (float) обратно в шестиугольники (int). Алгоритм называется
cube_round(см. ниже).
Соединяем всё вместе для отрисовки линии от A до B:
function lerp(a, b, t): // для float
return a + (b - a) * t
function cube_lerp(a, b, t): // для шестиугольников
return Cube(lerp(a.x, b.x, t),
lerp(a.y, b.y, t),
lerp(a.z, b.z, t))
function cube_linedraw(a, b):
var N = cube_distance(a, b)
var results = []
for each 0 ≤ i ≤ N:
results.append(cube_round(cube_lerp(a, b, 1.0/N * i)))
return resultsПримечания:
- Бывают случаи, когда
cube_lerpвозвращает точку, находящуюся точно на грани между двумя шестиугольниками. Затемcube_roundсдвигает её в ту или иную сторону. Линии выглядят лучше, если их сдвигают в одном направлении. Это можно сделать, добавив «эпсилон»-шестиугольныйCube(1e-6, 1e-6, -2e-6)к одной или обеим конечным точкам перед началом цикла. Это «подтолкнёт» линию в одном направлении, чтобы она не попадала на границы граней. - Алгоритм DDA-линии в сетках квадратов приравнивает
Nк максимуму расстояния по каждой из осей. Мы делаем то же самое в кубическом пространстве, что аналогично расстоянию в сетке шестиугольников. - Функция
cube_lerpдолжна возвращать куб с координатами в float. Если вы программируете на языке со статической типизацией, то не сможете использовать типCube. Вместо него можно определить типFloatCubeили встроить (inline) функцию в код отрисовки линий, если вы не хотите определять ещё один тип. - Можно оптимизировать код, встроив (inline)
cube_lerp, а затем рассчитавB.x-A.x,B.x-A.yи1.0/Nза пределами цикла. Умножение можно преобразовать в повторяющееся суммирование. В результате получится что-то вроде алгоритма DDA-линии. - Для отрисовки линий я использую осевые или кубические координаты, но если вы хотите работать с координатами смещения, то изучите эту статью.
- Существует много вариантов отрисовки линий. Иногда требуется «сверхпокрытие». Мне прислали код отрисовки линий с сверхпокрытием в шестиугольниках, но я пока не изучал его.
Диапазон перемещения
Диапазон координат
Для заданного центра шестиугольника и диапазона
N какие шестиугольники находятся в пределах N шагов от него?Мы можем произвести обратную работу из формулы расстояния между шестиугольниками distance = max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)). Чтобы найти все шестиугольники в пределах N, нам нужны max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) ≤ N. Это значит, что нужны все три значения: abs(dx) ≤ N и abs(dy) ≤ N и abs(dz) ≤ N. Убрав абсолютное значение, мы получим -N ≤ dx ≤ N и -N ≤ dy ≤ N и -N ≤ dz ≤ N. В коде это будет вложенный цикл:
var results = []
for each -N ≤ dx ≤ N:
for each -N ≤ dy ≤ N:
for each -N ≤ dz ≤ N:
if dx + dy + dz = 0:
results.append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))Этот цикл сработает, но будет довольно неэффективным. Из всех значений
dz, которые мы перебираем в цикле, только одно действительно удовлетворяет условию кубов dx + dy + dz = 0. Вместо этого мы напрямую вычислим значение dz, удовлетворяющее условию:var results = []
for each -N ≤ dx ≤ N:
for each max(-N, -dx-N) ≤ dy ≤ min(N, -dx+N):
var dz = -dx-dy
results.append(cube_add(center, Cube(dx, dy, dz)))Этот цикл проходит только по нужным координатам. На рисунке каждый диапазон является парой линий. Каждая линия — это неравенство. Мы берём все шестиугольники, удовлетворяющие шести неравенствам.GIF
Пересекающиеся диапазоны
Если нужно найти шестиугольники, находящиеся в нескольких диапазонах, то перед генерированием списка шестиугольников можно пересечь диапазоны.
Можно подойти к этой проблеме с точки зрения алгебры или геометрии. Алгебраически каждая область выражается как условия неравенств в форме -N ≤ dx ≤ N, и нам нужно найти пересечение этих условий. Геометрически каждая область является кубом в трёхмерном пространстве, и мы пересечём два куба в трёхмерном пространстве для получения прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве. Затем мы проецируем его обратно на плоскость x + y + z = 0, чтобы получить шестиугольники. Я буду решать эту задачу алгебраически.
Во-первых, мы перепишем условие -N ≤ dx ≤ N в более общей форме xmin ≤ x ≤ xmax, и примем xmin = center.x - N и xmax = center.x + N. Сделаем то же самое для y и z, в результате получив общий вид кода из предыдущего раздела:
var results = []
for each xmin ≤ x ≤ xmax:
for each max(ymin, -x-zmax) ≤ y ≤ min(ymax, -x-zmin):
var z = -x-y
results.append(Cube(x, y, z))Пересечением двух диапазонов
a ≤ x ≤ b и c ≤ x ≤ d является max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d). Поскольку область шестиугольников выражена как диапазоны над x, y, z, мы можем отдельно пересечь каждый из диапазонов x, y, z, а затем использовать вложенный цикл для генерирования списка шестиугольников в пересечении. Для одной области шестиугольников мы принимаем xmin = H.x - N and xmax = H.x + N, аналогично для y и z. Для пересечения двух областей шестиугольников мы принимаем xmin = max(h2.x - N, h3.x - N) и xmax = min(h2.x + N, h3.x + N), аналогично для y и z. Тот же шаблон работает для пересечения трёх или более областей.GIFПрепятствия
При наличии препятствий проще всего выполнить заливку с ограничением по расстоянию (поиск в ширину). На рисунке ниже мы ограничиваемся четырьмя ходами. В коде
fringes[k] — это массив всех шестиугольников, которых можно достичь за k шагов. При каждом проходе по основному циклу мы расширяем уровень k-1 на уровень k.function cube_reachable(start, movement):
var visited = set()
add start to visited
var fringes = []
fringes.append([start])
for each 1 < k ≤ movement:
fringes.append([])
for each cube in fringes[k-1]:
for each 0 ≤ dir < 6:
var neighbor = cube_neighbor(cube, dir)
if neighbor not in visited, not blocked:
add neighbor to visited
fringes[k].append(neighbor)
return visitedПовороты
Для заданного вектора шестиугольника (разницу между двумя шестиугольниками) нам может понадобиться повернуть его, чтобы он указывал на другой шестиугольник. Это просто сделать, имея кубические координаты, если придерживаться поворота на 1/6 окружности.
Поворот на 60° вправо сдвигает каждую координату на одну позицию вправо:
[ x, y, z]
to [-z, -x, -y]Поворот на 60° влево сдвигает каждую координату на одну позицию влево:
[ x, y, z]
to [-y, -z, -x]«Поиграв» [в оригинале статьи] со схемой, можно заметить, что каждый поворот на 60° меняет знаки и физически «поворачивает» координаты. После поворота на 120° знаки снова становятся теми же. Поворот на 180° меняет знаки, но координаты поворачиваются в своё изначальное положение.
Вот полная последовательность поворота положения P вокруг центрального положения C, приводящего к новому положению R:
- Преобразование положений P и C в кубические координаты.
- Вычисление вектора вычитанием центра:
P_from_C = P - C = Cube(P.x - C.x, P.y - C.y, P.z - C.z). - Поворот вектора
P_from_Cкак описано выше и присваивание итоговому вектору обозначенияR_from_C. - Преобразование вектора обратно в положение прибавлением центра:
R = R_from_C + C = Cube(R_from_C.x + C.x, R_from_C.y + C.y, R_from_C.z + C.z). - Преобразование кубического положения R обратно в нужную систему координат.
Здесь несколько этапов преобразований, но каждый из них довольно прост. Можно сократить некоторые из этих этапов, определив поворот непосредственно в осевых координатах, но векторы шестиугольников не работают с координатами смещения, и я не знаю, как сократить этапы для координат смещения. См. также обсуждение других способов вычисления поворота на stackexchange.
Кольца
Простое кольцо
Чтобы выяснить, принадлежит ли заданный шестиугольник к кольцу заданного радиуса
radius, нужно вычислить расстояние от этого шестиугольника до центра, и узнать, равно ли оно radius. Для получения списка всех таких шестиугольников нужно сделать radius шагов от центра, а затем следовать за поворачиваемыми векторами по пути вдоль кольца.function cube_ring(center, radius):
var results = []
# этот код не работает для radius == 0; вы понимаете, почему?
var cube = cube_add(center,
cube_scale(cube_direction(4), radius))
for each 0 ≤ i < 6:
for each 0 ≤ j < radius:
results.append(cube)
cube = cube_neighbor(cube, i)
return resultsВ этом коде
cube начинается на кольце, показанном большой стрелкой от центра к углу схемы. Я выбрал для начала угол 4, потому что он соответствует пути, в котором двигаются мои числа направлений. Вам может понадобиться другой начальный угол. На каждом этапе внутреннего цикла cube двигается на один шестиугольник по кольцу. Через 6 * radius шагов он завершает там, где начал.Спиральные кольца
Проходя по кольцам по спиральному паттерну, мы можем заполнить внутренние части колец:
function cube_spiral(center, radius):
var results = [center]
for each 1 ≤ k ≤ radius:
results = results + cube_ring(center, k)
return resultsПлощадь большого шестиугольника равна сумме всех окружностей плюс 1 для центра. Для вычисления площади используйте эту формулу.
Обход шестиугольников таким способом можно также использовать для вычисления диапазона перемещения (см. выше).
Область видимости
Что видимо из заданного положения с заданным расстоянием, и не перекрывается препятствиями? Простейший способ определить это — нарисовать линию к каждому шестиугольнику в заданном диапазоне. Если линия не встречается со стенами, то вы видите шестиугольник. Перемещайте мышь по шестиугольникам [на схеме в оригинале статьи], чтобы увидеть отрисовку линий к этим шестиугольникам и стены, с которыми линии встречаются.
Этот алгоритм может быть медленным на больших площадях, но его легко реализовать, поэтому рекомендую начать с него.
GIFСуществует много разных определений видимости. Хотите ли вы видеть центр другого шестиугольника из центра начального? Хотите ли вы видеть любую часть другого шестиугольника из центра начального? Может быть, любую часть другого шестиугольника из любой точки начального? Мешающие взгляду препятствия меньше полного шестиугольника? Область видимости — это более хитрое и разнообразное понятие, чем кажется на первый взгляд. Начнём с простейшего алгоритма, но ждите, что он обязательно правильно вычислит ответ в вашем проекте. Бывают даже случаи, когда простой алгоритм даёт нелогичные результаты.
В руководстве Кларка Вербрюгге описывается алгоритм для вычисления области видимости «начинаем с центра и двигаемся наружу». См. также проект Duelo, у которого есть на Github онлайн-демо области видимости с направлениями. Также можете прочитать мою статью об расчёте 2d-видимости, в ней есть алгоритм, работающий с многоугольниками, в том числе и с шестиугольниками. У сообщества любителей roguelike есть хороший набор алгоритмов для сеток квадратов (см. здесь, здесь и здесь). Некоторые из них можно адаптировать под сетки шестиугольников.
Шестиугольники в пиксели
Для перевода из шестиугольников в пиксели полезно изучить схему размеров и расположения, представленную в разделе «Геометрия». В случае осевых координат к преобразованию из шестиугольников в пиксели надо подходить, рассматривая базисные векторы. На схеме стрелка A→Q — это базисный вектор q, а A→R — базисный вектор r. Координата пикселя равна
q_basis * q + r_basis * r. Например, B в (1, 1) является суммой базисных векторов q и r.При наличии библиотеки матриц операция является простым умножением матриц. Однако здесь я запишу код без матриц. Для осевой сетки
x = q, z = r, которую я использую в этом руководстве, преобразование будет иметь следующий вид:Для шестиугольников с плоскими верхами
function hex_to_pixel(hex):
x = size * 3/2 * hex.q
y = size * sqrt(3) * (hex.r + hex.q/2)
return Point(x, y)Для шестиугольников с острыми верхами
function hex_to_pixel(hex):
x = size * sqrt(3) * (hex.q + hex.r/2)
y = size * 3/2 * hex.r
return Point(x, y)Матричный подход будет удобен позже, когда нам нужно будет преобразовать координаты пикселей обратно в координаты шестиугольников. Всё, что нам понадобится — обратить матрицу. Для кубических координат можно либо использовать кубические базисные векторы (x, y, z), или сначала преобразовать их в осевые, а затем использовать осевые базисные векторы (q, r).
Для координат смещения нам нужно будет сместить номер столбца или строки (он больше не будет целым). После этого можно использовать базисные векторы q и r, связанные с осями x и y:
Нечет-r
function offset_to_pixel(hex):
x = size * sqrt(3) * (hex.col + 0.5 * (hex.row&1))
y = size * 3/2 * hex.row
return Point(x, y)Чёт-r
function offset_to_pixel(hex):
x = size * sqrt(3) * (hex.col - 0.5 * (hex.row&1))
y = size * 3/2 * hex.row
return Point(x, y)Нечет-q
function offset_to_pixel(hex):
x = size * 3/2 * hex.col
y = size * sqrt(3) * (hex.row + 0.5 * (hex.col&1))
return Point(x, y)Чёт-q
function offset_to_pixel(hex):
x = size * 3/2 * hex.col
y = size * sqrt(3) * (hex.row - 0.5 * (hex.col&1))
return Point(x, y)К сожалению, координаты смещения не имеют базисных векторов, которые можно использовать вместе с матрицей. Это одна из причин того, почему преобразования из пикселей в шестиугольники сложнее в координатах смещения.
Другой подход: преобразовывать координаты смещения в кубические/осевые координаты, затем использовать преобразование кубических/осевых координат в пиксели. Благодаря встраиванию кода преобразования при оптимизации он в результате будет таким же, как выше.
Из пикселей в шестиугольники
Один из самых частых вопросов заключается в том, как взять положение пикселя (например, щелчка мыши) и преобразовать его в координату сетки шестиугольников? Я покажу, как это делается для осевых или кубических координат. Для координат смещения проще всего будет преобразовать в конце кубические координаты в координаты смещения.GIF
- Сначала мы инвертируем преобразование из шестиугольника в пиксели. Это даст нам дробные координаты шестиугольника, показанные на рисунке маленьким синим кругом.
- Затем мы определим шестиугольник, содержащий дробную координату шестиугольника. Он показан на рисунке подсвеченным шестиугольником.
Для преобразования координат шестиугольников в координаты пикселей мы умножили
q, r на базисные векторы для получения x, y. Можно считать это умножением матриц. Вот матрица для шестиугольников с острыми верхами:Преобразование координат пикселей обратно в координаты шестиугольников достаточно прямолинейно. Мы можем обратить матрицу:
Эти вычисления дадут нам дробные осевые координаты (float) для
q и r. Функция hex_round() преобразует дробные осевые координаты в целые осевые координаты шестиугольников.Вот код для осевых шестиугольников с острыми верхами:
function pixel_to_hex(x, y):
q = (x * sqrt(3)/3 - y / 3) / size
r = y * 2/3 / size
return hex_round(Hex(q, r))А вот код для осевых шестиугольников с плоскими верхами:
function pixel_to_hex(x, y):
q = x * 2/3 / size
r = (-x / 3 + sqrt(3)/3 * y) / size
return hex_round(Hex(q, r))Эти три строчки кода преобразуют положение пикселя в осевую координату шестиугольника. Если вы используете координаты смещения, то воспользуйтесь
return cube_to_hex(cube_round(Cube(q, -q-r, r))).Существует множество других способов преобразования пикселей в шестиугольники. На этой странице перечислены известные мне.
Округление до ближайшего шестиугольника
Иногда у нас получается кубическая координата (x, y, z) с плавающей запятой, и нам нужно узнать, в каком шестиугольнике она должна находиться. Это выясняется отрисовкой линии и преобразованием из пикселей в шестиугольники. Преобразование значения с плавающей запятой в целое значение называется округлением (rounding), поэтому я назвал этот алгоритм
cube_round.В кубических координатах x + y + z = 0 даже при кубических координатах с плавающей точкой. Поэтому давайте округлим каждую компоненту до ближайшего целого (rx, ry, rz). Однако, хотя x + y + z = 0, после округления у нас нет гарантий того, что rx + ry + rz = 0. Поэтому мы изменяем компоненту с самым большим изменением так, чтобы условие rx + ry + rz = 0 было верным. Например, если изменение y abs(ry-y) больше abs(rx-x) и abs(rz-z), то мы изменяем его на ry = -rx-rz. Это гарантирует нам, что rx + ry + rz = 0. Вот алгоритм:
function cube_round(h):
var rx = round(h.x)
var ry = round(h.y)
var rz = round(h.z)
var x_diff = abs(rx - h.x)
var y_diff = abs(ry - h.y)
var z_diff = abs(rz - h.z)
if x_diff > y_diff and x_diff > z_diff:
rx = -ry-rz
else if y_diff > z_diff:
ry = -rx-rz
else:
rz = -rx-ry
return Cube(rx, ry, rz)Для некубических координат проще всего будет преобразовать их в кубические координаты, воспользоваться алгоритмом округления, а затем преобразовать обратно:
function hex_round(h):
return cube_to_hex(cube_round(hex_to_cube(h)))Примечание о реализации:
cube_round и hex_round получают координаты в float, а не в int. Если вы написали классы Cube и Hex, они будут отлично работать в языках с динамической типизацией, в которых можно передавать числа с плавающей запятой вместо целых, и в языках со статической типизацией с унифицированным типом чисел. Однако в большинстве языков со статической типизацией нужен будет отдельный тип class/struct для координат float и cube_round будет иметь тип FloatCube → Cube. Если вам также нужна hex_round, она будет FloatHex → Hex, использующей вспомогательную функцию floatcube_to_floathex вместо cube_to_hex. В языках с параметризированными типами (C++, Haskell и т.д.) можно определить Cube, где T является int или float. Или же можно написать cube_round для получения трёх чисел с плавающей точкой в качестве входных данных вместо определения нового типа только для этой функции.Хранение карт в осевых координатах
Чаще всего осевая система координат вызывает жалобы потому, что приводит к ненужному расходованию пространства при использовании прямоугольных карт. Это одна из причин в пользу системы координат смещения. Однако все системы координат шестиугольников приводят к расходу пространства при использовании треугольных или шестиугольных карт. Мы можем использовать одну стратегию для хранения всех этих типов карт.
Прямоугольная карта
Треугольная карта
Шестиугольная карта
Ромбовидная карта
Заметьте на схеме, что неиспользуемое пространство находится справа и слева от каждой строки (за исключением ромбовидных карт). Это даёт нам три варианта стратегий хранения карты:
- Игнорировать проблему. Использовать сплошной массив с нулями или другими индикаторами неиспользуемого пространства. Для этих стандартных форм карт неиспользуемое пространство может занимать максимум половину массива. Возможно, использование более сложных решений нерационально.
- Использовать вместо сплошного массива хеш-таблицу. Это позволяет использовать карты произвольной формы, в том числе и с отверстиями. Когда нужно получить доступ к шестиугольнику в
q,rмы вместо этого получаем доступ кhash_table(hash(q,r)). Инкапсулируем её в геттер/сеттер в классе сетки, чтобы остальная часть игры не должна была знать о ней. - Сместить строки влево и использовать строки с переменным размером. Во многих языках двухмерный массив является массивом массивов. Массивы необязательно должны быть одной длины. Это позволяет избавиться от неиспользуемого пространства справа. Кроме того, если начинать массивы с самого левого столбца вместо 0, то удалится неиспользуемое пространство слева.
Чтобы применить эту стратегию в произвольных выпуклых картах, необходимо хранить дополнительный массив «первых столбцов». Когда нужно получить доступ к шестиугольнику в
q,r, мы вместо этого получаем доступ кarray[r][q - first_column[r]]. Инкапсулируем его в геттер/сеттер в классе сетки, чтобы остальная часть игры не должна была знать о нём. На съемеfirst_columnпоказан в левой части каждой строки.Если карты имеют фиксированные формы, то «первые столбцы» можно вычислять «на лету», а не хранить их в массиве.
- Для прямоугольных карт
first_column[r] == -floor(r/2). В результате мы получаем доступ кarray[r][q + r/2], что оказывается аналогом преобразования координат в координаты смещения сетки. - Для треугольных карт, как здесь показано,
first_column[r] == 0, поэтому мы получаем доступ кaccess array[r][q]— очень удобно! Для треугольных карт, ориентированных по-другому (не показаны на схеме), это будетarray[r][q+r]. - Для шестиугольных карт радиуса
N, гдеN = max(abs(x), abs(y), abs(z), у нас получаетсяfirst_column[r] == -N - min(0, r). Мы получаем доступ кarray[r][q + N + min(0, r)]. Однако так как мы начинаем с каких-то значенийr < 0, нам также нужно сместить строку и использоватьarray[r + N][q + N + min(0, r)]. - Для ромбовидных карт всё идеально совпадает, поэтому можно использовать массив
array[r][q].
- Для прямоугольных карт
Зацикленные карты
В некоторых играх требуется, чтобы карта «склеивалась» по краям. Квадратную карту можно обернуть только по оси x (что примерно соответствует сфере) или по обеим осям x и y (что примерно соответствует тору). Сворачивание зависит от формы карты, а не от формы её элементов. Сворачивание квадратной карты проще выполняется в координатах смещения. Я покажу, как выполняется сворачивание шестиугольной карты в кубических координатах.
Относительно центра карты существует шесть «зеркальных» центров. При выходе с карты мы вычитаем ближайший к нам зеркальный центр, пока снова не вернёмся на основную карту. На схеме [в оригинале статьи] попробуйте покинуть центральную карту, и понаблюдайте, как один из зеркальных центров входит в карту с противоположной стороны.
Простейшей реализацией будет предварительное вычисление ответов. Создаём таблицу подстановок, хранящую для каждого шестиугольника, выходящего с карты, соответствующий куб с другой стороны. Для каждого из шести зеркальных центров M и для каждого из положений на карте L храним mirror_table[cube_add(M, L)] = L. Каждый раз при вычислении шестиугольника, находящегося в таблице зеркал заменяем его неотзеркаленной версией.
На шестиугольной карте с радиусом N зеркальные центры будут Cube(2*N+1, -N, -N-1) и шестью его поворотами.
Поиск пути
При использовании поиска пути на графах, например алгоритма поиска A*, алгоритма Дейкстры или Флойда-Уоршелла поиск пути на сетках шестиугольников не отличается от поиска пути на сетках квадратов. Пояснения и код из моего руководства по поиску пути применимы и для сеток шестиугольников.
[В оригинале статьи пример интерактивен, нажатиями мыши можно добавлять и удалять стены]
- Соседи. Пример кода, представленный в руководстве по поиску пути, вызывает для получения соседних с положением элементов
graph.neighbors. Используйте для этого функцию в разделе «Соседние шестиугольники». Отфильтровывайте непроходимые соседние шестиугольники. - Heuristic. В примере кода алгоритма A* используется функция
heuristic, получающая расстояние между двумя положениями. Используйте формулу расстояний, умноженную на затраты на передвижение. Например, если перемещение стоит 5 единиц на шестиугольник, то умножайте расстояние на 5.
Дополнительное чтение
У меня есть руководство по реализации собственной библиотеки сеток шестиугольников с примерами кода на C++, Java, C#, Javascript, Haxe и Python.
- В моём руководстве по сеткам я рассматриваю осевые системы координат и обработку граней и углов квадратов, треугольников и шестиугольников. Также я объясняю, как связаны сетки квадратов и шестиугольников.
- Лучшим ранним руководством, которое я видел, стало руководство Кларка Вербрюгге, написанное в 1996 году.
- Впервые я увидел кубическую систему координат в посте 1994 года Чарльза Фу в rec.games.programmer.
- В DevMag есть хороший визуальный обзор математики шестиугольников, включая способы представления площадей, таких как полуплоскости, треугольники и четырёхугольники. Существует версия в PDF, которая немного подробнее. Крайне рекомендуется к изучению! Библиотека GameLogic Grids реализует эти и многие другие типы сеток в Unity.
- У Джеймса Макнейла есть хорошее визуальное объяснение преобразований сеток.
- Обзор типов координат шестиугольников: ступенчатых (со смещением), чередуемых, трёхмерных (кубических) и трапецеидальных (осевых).
- Библиотека Rot.js содержит список систем координат шестиугольников: неортогональной (осевой), с нечётным сдвигом (со смещением), двойной ширины (чередуемой), кубической.
- Диапазон в кубических координатах: какие шестиугольники находятся на заданном расстоянии от заданного?
- Определение расстояний в сетках шестиугольников с помощью кубических координат и объяснение причин использования кубических координат вместо координат смещения.
- В этом руководстве объясняются основы измерения и отрисовки шестиугольников с помощью сетки смещения.
- Преобразование кубических координат шестиугольников в координаты пикселей.
- В этом посте объясняется, как генерировать кольца.
- В системе HexPart используются как шестиугольники, так и прямоугольники для упрощения работы с некоторыми алгоритмами.
- Есть ли плюсы и минусы у шестиугольников с плоским и острым верхом?
- Линия видимости в сетке шестиугольников с координатами смещения, разделение шестиугольников на треугольники. [Нерабочая ссылка]
- Hexnet объясняет, что соотношение между шестиугольниками и кубами намного глубже, чем я описал в этой статье, и обобщает связь до большего количества измерений.
- Я использовал PDF с сетками шестиугольников с этой страницы, когда работал над некоторыми алгоритмами.
- Обобщённая сбалансированная троичная система счисления для координат шестиугольников выглядит интересно; я пока не изучал её.
- Hex-Grid Utilities — это библиотека C# с открытым исходным кодом для математики сеток шестиугольников с определением соседних шестиугольников, сетками, поиском диапазонов и путей, областью видимости. Лицензия MIT.
- В обсуждениях на Reddit, Hacker News и MetaFilter есть больше комментариев и ссылок.
Код [оригинала] этой статьи написан на смеси Haxe и Javascript: Cube.hx, Hex.hx, Grid.hx, ScreenCoordinate.hx, ui.js и cubegrid.js (для анимации кубов/шестиугольников). Однако если вы хотите написать свою библиотеку сеток шестиугольников, то рекомендую вместо этого кода изучить моё руководство по реализации.
Я хочу в дальнейшем расширять это руководство. У меня есть список на Trello.
Правильный шестиугольник вписанный в окружность. Правильный шестиугольник и его свойства
Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.
Определение и построение
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.
Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
- диаметр описанной окружности;
- диаметр вписанной окружности;
- площадь;
- периметр.
Описанная окружность и возможность построения
Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.
После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
Вписанная окружность
Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А поскольку R=a и r=h, то получается, что
r=R(√3)/2 .
Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
Ее площадь будет составлять:
S=3πa²/4 ,
то есть три четверти от описанной.
Периметр и площадь
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а , или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
S=3R²(√3)/2
Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Занимательные построения
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если
Деление окружности на шесть равных частей и построение правильного вписанного шестиугольника
Деление окружности на шесть равных частей и построение правильного вписанного шестиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90º и/или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 2.24). Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.
а) б)
Рисунок 2.24
При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис. 2.25). Соединив полученные точки, получают двенадцатиугольник.
а) б)
Рисунок 2.25
2.2.5 Деление окружности на пять и десять равных частей
и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника
Деление окружности на пять и десять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника показано на рис. 2.26.
а) б) в) г)
Рисунок 2.26
Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 2.26 а), получают точку А.Из точки А,как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки Адо точки 1 до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В(рис. 2.26 б). Отрезок 1Вравен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 2.26, в) радиусом К,равным отрезку 1В,делят окружность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки 1 строят точки 2 и 5 (рис. 2.26, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем. Если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пятиугольник (рис. 2.26, г).
Деление окружности на десять равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 2.26), но сначала делят окружность на пять частей, начиная построение из точки 1, а затем из точки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 2.27, а). Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный десятиугольник(рис. 2.27, б).
а) б)
Рисунок 2.27
2.2.6 Деление окружности на семь и четырнадцать равных
частей и построение правильного вписанного семиугольника и
четырнадцатиугольника
Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и построение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 2.28 и 2.29.
Из любой точки окружности, например точки А, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 2.28, а) до пересечения с окружностью в точках В и D. Соединим точки Ви Dпрямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Радиусом, равным отрезку ВС,делают засечки на окружности в последовательности, показанной на рис. 2.28, б. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный семиугольник (рис. 2.28, в).
Деление окружности на четырнадцать равных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 2.29, а).
а) б) в)
Рисунок 2.28
Сначала окружность делится на семь равных частей от точки 1, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырнадцатиугольник (рис. 2.29, б).
а) б)
Рисунок 2.29
Построение эллипса
Изображение окружности в прямоугольной изометрической проекции во всех трех плоскостях проекций представляет собой одинаковые по форме эллипсы.
Направление малой оси эллипса совпадает с направлением аксонометрической оси, перпендикулярной той плоскости проекций, в которой лежит изображаемая окружность.
При построении эллипса, изображающего окружность небольшого диаметра, достаточно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу (рис. 2.30). Четыре из них являются концами осей эллипса (A, B, С, D),а четыре других (N1, N2, N3, N4) расположены на прямых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.
| а | б |
Рисунок 2.30
Читайте также:
Круг
Круг сделать легко: Нарисуйте кривую на расстоянии А так: Все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. |
Самостоятельно нарисовать
Вставьте булавку в доску, оберните вокруг нее петлю и вставьте в петлю карандаш.Держите веревку натянутой и нарисуйте круг!
Поиграй с ним
Попробуйте перетащить точку, чтобы увидеть, как меняются радиус и окружность.
(Посмотрите, сможете ли вы сохранить постоянный радиус!)
Радиус, диаметр и окружность
Радиус — это расстояние от центра наружу.
Диаметр проходит прямо по окружности через центр.
Окружность — это расстояние один раз по окружности.
А вот и действительно крутая вещь:
Когда мы разделим длину окружности на диаметр, мы получим 3,141592654 …
, что является числом π (Pi)
Таким образом, когда диаметр равен 1, длина окружности равна 3,14 1592654 … |
Можно сказать:
Окружность = π × Диаметр
Пример: вы ходите по кругу диаметром 100 м. Как далеко вы прошли?
Пройденное расстояние = Окружность = π × 100 м
= 314м (с точностью до метра)
Также обратите внимание, что диаметр в два раза больше радиуса:
Диаметр = 2 × Радиус
Так же верно и то:
Окружность = 2 × π × Радиус
Вкратце:
| × 2 | × π |
| Радиус | Диаметр | Окружность |
Вспоминая
Длина слов может помочь вам запомнить:
- Радиус — кратчайшее слово и кратчайшая мера
- Диаметр длиннее
- Окружность самая длинная
Как нарисовать голову под любым углом
Основные формы
Чтобы нарисовать голову под любым углом, вы должны сначала понять ее основную структуру.Не обращайте внимания на все отвлекающие детали и визуализируйте лежащие в основе формы. Эту способность упрощать можно применить к чертам лица, но, начав рисовать, можно смотреть еще дальше. Не обращайте внимания даже на особенности и упрощайте до самой простой формы головы. Я использую метод, которому научил Эндрю Лумис в его книге «Рисование головы и рук».
Голова в разобранном виде — это сфера , , череп и блок , челюсть, и скулы.
Сфера как череп
Боковые стороны головы плоские, поэтому мы можем отрезать кусок с обеих сторон шара. В профиль эта плоскость будет идеальным кругом, но при рисовании под другим углом из-за перспективы она будет казаться овалом. Разделите овал на квадранты. Вертикальная линия представляет начало челюсти. Горизонтальная линия представляет линию бровей. Верх и низ овала помогут вам найти линию волос и низ носа.
Блок в виде челюсти и скул
Придайте форму челюсти. Верх начинается от линии надбровных дуг, а спинка — от центра овала. Это трехмерный объем с передней плоскостью, боковыми плоскостями и нижней плоскостью (нижняя плоскость видна под некоторыми углами).
Строительство под любым углом
Шаг 1 — Определите угол поворота мяча
Угол головы установлен в самом начале рисунка с мячом.Все три оси должны иметь адрес:
Ось X — Наклон вверх и вниз определяется углами горизонтальной и вертикальной линий в овале. Кроме того, при экстремальных наклонах вверх и вниз ракурс будет уменьшен из-за перспективы.
Ось Y — Направление вращения головы (влево или вправо) определяется шириной овала. По мере того, как голова поворачивается к вам, вы можете видеть больше передней части лица и меньше его стороны, поэтому овал, представляющий сторону, будет уже.Точно так же, когда голова отворачивается от вас, открывается большая часть боковой плоскости, а овал становится шире.
Ось Z — Скручивание определяется углом центральной линии, углом овала и положением овала на шаре.
Шаг 2 — Найдите трети
После определения угла шара разделите грань на три части. Расстояние между линией роста волос и линией бровей должно быть таким же, как расстояние между линией бровей и нижней частью носа.Добавьте такое же расстояние, чтобы найти подбородок. Обратите внимание, как линия роста волос и линия носа совпадают с верхней и нижней частью овала, когда они обертываются вокруг лица. Представьте себе голову в виде коробки. Третьи должны быть обернуты вокруг боковой плоскости и передней плоскости.
Шаг 3 — Добавьте челюсть
Распространенная ошибка на этом этапе — сделать челюсть слишком длинной по сравнению с мячом. Убедитесь, что вы правильно измерили трети и правильно ли они соотносятся с мячом.Обратите внимание, как форма челюсти меняется под разными углами.
Шаг 4. Добавьте элементы
Если эта базовая структура установлена должным образом, становится намного проще добавлять элементы в нужное место. За дополнительной информацией о конкретных функциях обращайтесь в более поздний пост .
— Как рисовать глаза
— Как рисовать нос
— Как рисовать губы
— Как рисовать уши
* * *
Практикуйтесь в изобретении головы со всех возможных углов.Возьмите альбом для рисования и заполните всю страницу маленькими головками. Рисуя без справочных фотографий, вы быстро понимаете, в чем ваши слабые места, потому что не можете полагаться на копирование. Вы можете работать только с тем, что знаете.
ОБНОВЛЕНИЕ — 17.08.2012
Сделал видеоверсию этого урока. Подпишитесь на мой YouTube канал ProkoTV, чтобы смотреть больше видео.
Как нарисовать тыкву
Приветствуем вас, уважаемые художники и любители искусства! Новый урок рисования как всегда уже ждет вас на нашем сайте, а сегодня мы покажем вам, как нарисовать овощ.Итак, сегодня мы покажем вам , как нарисовать тыкву . Урок очень простой, но в конце урока вы получите вполне реалистичную тыкву. Но на самом деле это не только отличное украшение для Хэллоуина, оружие Хобгоблина и Зеленого гоблина, но и отличная еда. Давайте познакомимся с этим уроком и научимся рисовать тыкву!
Шаг 1
Сначала нарисуйте плоский овал. Форма тыквы вполне может быть не совсем гладкой — как в нашем образце.
Шаг 2
Затем в верхней части овала нарисуйте стебель тыквы. Обратите внимание, что почти все это внутри тыквенного контура.
Шаг 3
Этот шаг особенно важен. Здесь мы должны нарисовать линии на тыкве. Обратите внимание — самые близкие к нам части тыквы кажутся намного крупнее и шире, чем те, что находятся дальше. Еще один момент — чем дальше линии, тем они ближе друг к другу.
Шаг 4
Работаем стеблем. Сотрите лишние линии, чтобы они не казались прозрачными. Затем нарисуйте круг на его конце, чтобы обозначить толщину. Наконец, используя четкие и уверенные линии, нарисуйте стебель и нарисуйте несколько линий внутри него. Здесь нарисуйте нижнюю часть сегментов тыквы.
Шаг 5
Завершите урок, посвященный , как нарисовать тыкву , добавив тени. Обратите внимание, что свет падает слева от нас, тогда мы добавим тени к правым частям сегментов.Как видите, тень очень простая — обычная штриховка. Плотность тени контролирует степень давления на карандаш.
Урок рисования тыквы подготовили для вас художники DrawingForAll.net. Напомним, что это не единственный учебник по фруктам и овощам, на нашем сайте вы также можете найти уроки по винограду и вишне. Не забывайте следить за новостями на официальной странице нашего сайта в Facebook. Следите за обновлениями и учитесь рисовать вместе с нами каждый день!
Conics: Круги: Введение и чертеж
Коники: Круги: Введение и чертеж (стр. 1 из 3)
Разделы: Введение и рисунок, Работа с уравнениями, далее примеры
Круг — это геометрическая форма, не имеет большого смысла в алгебре, поскольку уравнение круга не является функцией.Но вам может потребоваться работать с уравнениями окружности на уроках алгебры.
В «примитивных» терминах круг форма, образованная в песке при вождении палки («центр») в песок, обвив петлей вокруг центра, натянув туго натянуть петлю другой палкой и протащить вторую палку через шлифуйте дальше по длине петли бечевки. Полученная фигура нарисованный на песке круг.
В алгебраических терминах круг — это множество (или «геометрическое место») точек ( x , y ) на некотором фиксированном расстоянии r от некоторой фиксированной точки ( ч , к ). Стоимость р составляет называется «радиусом» окружности, а точка ( х , к ) называется «центр» круга.
«Общее» уравнение окружности. это:
Форма «центральный радиус» уравнение:
…где ч и k исходят из центральной точки ( ч , k ) и приходит r 2 от значения радиуса r . Если
центр находится в начале координат, поэтому
( h , k ) = (0, 0), то уравнение
упрощается до x 2 + y 2 = r 2 .
Примечание: «Общая» форма может
быть даны в вашей книге с использованием разных букв для коэффициентов, но
форма «центральный радиус» будет использовать те же буквы, что и на рисунке
выше: центр всегда обозначается как «( h , k ) «и радиус всегда
обозначается « r ».
Ваша книга может также относиться к так называемому «стандартному»
форма окружности-уравнения. К сожалению, «стандартная форма» имеет
нет фиксированного значения, которое я смог определить, поэтому вам придется оставить
отслеживать, что ваша книга подразумевает под этим термином.
Вы можете преобразовать «центральный радиус» форму уравнения окружности в «общую» форму путем умножения вещи из и упрощения; вы можете конвертировать в обратном направлении заполнив квадратик.
Форма центрального радиуса уравнения окружности происходит непосредственно из формулы расстояния и определение круга. Если центром круга является точка ( h , k ), а радиус — длина r , затем каждая точка ( x , y ) по окружности расстояние r начиная с точка ( h , k ).Вставив эту информацию в формулу расстояния (используя r для расстояние между точками и центром), получаем:
Вы должны узнать эту формулу; вы ожидается, что он сможет читать информацию из него.
- Государственный центр и радиус круга с уравнением ( x 2) 2 + y 2 = 5 2 , и нарисуйте круг.
y 2 термин означает то же, что и ( y 0) 2 , поэтому уравнение действительно ( x 2) 2 + ( y 0) 2 = 5 2 , и центр должно быть на ( h , к ) = (2, 0) .Ясно, что радиус это r = 5 .
Для наброска я сначала нарисую точка для центра: | ||
Тогда я наберу маркеры, находятся в пяти единицах от центра в каждом из четырех «легких» направления: | ||
Тогда я буду грубо в соблазнительных битах между этими маркерами, поворачивая бумагу на ходу: Авторские права Элизабет Стапель 2010-2011 Все права защищены | ||
Я внесу исправления выгляжу полезным, пытаюсь сделать мой круг правильным круглым, и нарисуйте мой окончательный ответ сплошной темной линией: |
Переворачивать бумагу может быть очень полезно когда вы рисуете, чтобы в итоге получился круг, который выглядит довольно круглый.
Верх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к указателю Далее >>
Цитируйте эту статью как: | Стапель, Елизавета.
«Коники: круги: введение и рисование». Purplemath .
Доступно по номеру |
Как нарисовать меч за 10 простых шагов. Видео и полный учебник Статья
Добро пожаловать в этот урок о том, как нарисовать меч за 10 шагов. В этой статье я покажу вам, как рисовать и раскрашивать меч, следуя пошаговому и простому процессу.
В качестве наглядного пособия здесь вы найдете не только изображения на каждом шагу, но и видео, в котором я сам рисую и раскрашиваю меч.Мы будем использовать базовые формы, чтобы помочь нам очертить форму меча.
Вы можете использовать любой материал, который хотите использовать для рисования и раскрашивания меча. В моем случае я сделал это в цифровом виде, используя Photoshop, чтобы я мог правильно записать видеоурок.
В этих строках вы найдете видео, в котором я сам рисую и раскрашиваю меч. Ниже видео представлено полное пошаговое руководство. Если вас интересуют другие уроки рисования, пожалуйста, ознакомьтесь с моими уроками рисования «Как нарисовать человеческое тело в полный рост» и «Как нарисовать орка».
Итак, приступим к рисованию!
ВИДЕО «КАК НАРИСОВАТЬ МЕЧ»
«КАК НАРИСОВАТЬ МЕЧ» Учебное пособие
ШАГ 1. ОСНОВНАЯ СТРУКТУРА
Этот первый шаг довольно прост. Просто проведите горизонтальную линию. На правом конце линии разместим перекладину меча. Мы собираемся нарисовать средневековый европейский меч, поэтому крестовина будет нарисована в виде пары коротких кривых линий, расположенных одна над другой.
Не волнуйтесь, ваши линии не очень чистые на первых этапах. Перед тем, как перейти к цветной стадии, мы отполироваем последнюю линию.
ШАГ 2: ЧЕРТЕЖ КРЕСТОВИНЫ
На этом втором этапе рисования мы определим поперечину. В моем рисунке я выбрал простой дизайн, ничего особенного.
Моя перекладина прямая со стороны рукоятки и имеет заостренную сторону со стороны лезвия, с двумя изгибами, переходящими в заостренную форму на горизонтальной линии.
Обе стороны поперечины оканчиваются сферой.
ШАГ 3: РУКОЯТКА И НАКОНЕЧНИК
Рукоять меча представляет собой трубчатую прямую форму. Шире со стороны перекладины и уже со стороны лука.
Как вы можете видеть на гарде, точка соединения между этой частью меча и рукоятью представляет собой небольшой прямоугольник. Для нас выглядит прямоугольным из-за перспективы. На самом деле имеет круглую форму.
Эта соединительная деталь обычно является продолжением ограждения и окружает отверстие в его центре.Рукоятка крепится к ограждению, вводя его через это отверстие.
Лука также имеет соединительную часть. Вы сможете лучше увидеть это на следующих этапах. По форме навершие напоминает лезвие топора в небольшом масштабе.
ШАГ 4: ЛЕЗВИЕ
На этом четвертом шаге мы нарисуем лезвие меча. Мы начнем рисовать пару прямых параллельных линий сверху и снизу наших исходных горизонтальных линий. Эти параллельные линии будут представлять края лезвия.
Следующим шагом мы нарисуем острие лезвия. Мы сделаем это, нарисовав пару коротких кривых линий, начиная с обоих левых концов краевых линий и сходясь на центральной линии, которую мы рисуем на шаге 1.
В качестве последнего штриха мы проведем параллельную линию рядом с центральной линией. создание углубления, называемого полнее.
ШАГ 5: НАЧИСЛЕНИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ШАГОВ
Мы завершим рисование в этом уроке, сделав последние штрихи нашему рисунку и подготовив его к этапу рисования.
Как видите, я нарисовал серию неровных линий на рукоятке. Я делал это, думая о создании какой-то тканевой обертки, как у самурайских мечей, для моего меча. Как вы увидите в следующих шагах, я изменил свое мнение относительно упаковки рукоятки. Я решил использовать один слой кожи, покрывающий всю деталь.
Также вы заметите, что я укоротил острие меча. Я проверял некоторые из своих рекомендаций и понял, что у средневековых европейских мечей были короткие и маленькие наконечники.В основном эти мечи ремонтировались для использования в качестве режущего оружия, а не колющего оружия.
ШАГ 6: СОЗДАНИЕ ЦВЕТОВОЙ БАЗЫ
Теперь я опишу по пунктам процесс, которому вы должны следовать на этом шаге:
- Если вы рисуете с помощью цифрового носителя, такого как Photoshop, Procreate, Painter и т. Д. Я рекомендую вам использовать инструмент «Выделение» или даже лучший инструмент «Перо», чтобы разделить меч на разные части. Причина в том, что вы можете создать хорошую ровную цветную основу с твердыми и чистыми краями.Это ключ к получению прочного и чистого аспекта нашего меча.
- После того, как каждая выделенная часть создана, залейте ее цветом по вашему выбору с помощью Bucket Tool. Вы можете сделать рукоять коричневой для кожи, перекладину и навершие серой для стали и более светлой и слегка голубовато-серой для лезвия.
- Если вы посмотрите видео в верхней части этой статьи, вы сможете увидеть, как я использую Инструмент выделения для разделения и изоляции каждой части.
ШАГ 7: РАБОТА С ЛЕЗВИЕМ И КРЕСТОВИНОЙ
На этом этапе мы попытаемся создать объем, нарисовав некоторые световые отражения и тени на нашем мече.
Лезвие:
Моя первая рекомендация — использовать инструмент «Градиент» и мягкую кисть. Если вы следовали описанному выше процессу, возможно, у вас есть разные части меча, разделенные слоями. Это то, что вам нужно сделать дальше:
- Перейдите на слой лезвия и используйте Selection Tool, чтобы выбрать нижнюю часть лезвия.
- От выпуклости в центре к нижнему краю, как только у вас будет выделена вся область, используйте Gradient Tool, перетащите от выпуклости к краю, чтобы вы могли создать красивую и прогрессивную тень на лезвии.
- Для верхней стороны лезвия я рекомендую сделать то же самое, но вместо того, чтобы использовать инструмент «Градиент» после выделения области, используйте мягкую кисть.
- Откройте новый слой поверх слоя основного цвета. Измените режим нового слоя с Normal на Linear Dodge.
- При активированном выделении нарисуйте две или три линии поперек выделения. Используйте светло-серый цвет для полос. Не забудьте варьировать толщину штрихов. Окончательный результат будет выглядеть как отражение света на лезвии.
- Наконец, нарисуем толстую темную линию через центр лезвия. Это будет полость, называемая полнее.
- Касаясь нижнего края дола, вы нарисуете еще одну параллельную линию. На этот раз вы нарисуете его очень светло-серым цветом. Эта линия будет тоньше. Я буду изображать границу полости дола, на которую попадает свет,
Крестовина
Мы собираемся использовать те же методы, которые мы использовали для окраски лезвия.
- Используйте Pen Tool или Selection Tool и изолируйте каждую часть поперечины. Вы собираетесь начать наш выбор с центра перекладины.
- После того, как каждая сторона выделена, используйте инструмент «Градиент». Перетащите каплю, начиная от центра к бокам перекладины.
- Используйте более светлый серый цвет для верхней стороны и более темный серый цвет для нижней стороны.
- Обе сферы по бокам рук можно нарисовать с помощью инструмента выделения круга и градиентов для создания света и тени.Только не забудьте сделать нижнюю сферу темнее, чем сфера выше. Кроме того, вы можете отбрасывать небольшую тень, исходящую от верхней сферы, на плечо креста. Это поможет создать 3D-эффект и заставит сферу выскочить из остальной части руки.
ШАГ 8: РАБОТА С РУКОЯТКОЙ И НАДЕЖКОЙ
На шаге 8 мы сосредоточим наши усилия на рукоятке и луке. Также мы немного затемним лезвие, чтобы оно не сливалось с фоном. Это затемнение можно сделать, выбрав лезвие и затемняя его с помощью уровней.
Рукоять:
Мы собираемся придать объем трехмерности рукоятке, используя те же методы, которые мы использовали для других частей меча.
- Первым шагом будет выделение области захвата с помощью Selection Tool.
- Как только выделение станет активным, мы создадим тень, перетащив инструмент «Градиент» снизу в центр ручки.
- Используйте темный коричневый оттенок для тени.
- Поскольку рукоятка представляет собой цилиндр, нам нужно разместить наш свет через центр рукоятки.Это создаст переход от темного по бокам к светлому в центре.
- Мы будем использовать кисть Diffuse Brush и нарисуем прямую линию через центр для создания освещенной области.
Лука:
Лука разделена на две части.
- Одна часть, которая действует как соединительная часть, прикрепленная к рукоятке.
- Другая часть — это конец лука, имеющий форму лезвия топора.
- Мы снова выберем каждую часть и воспользуемся той же техникой, что и для лезвия и рукоятки.
ШАГ 9: ФИКСИРОВАНИЕ ТОЧКИ И ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОКРАСКИ
Этот этап посвящен переходу детализации и визуализации материалов на новый уровень.
Острие лезвия:
Я решил сузить лезвие, сделав острие меньше. Мое решение было основано на моем обзоре собранных мной ссылок на средневековые мечи. Как я сказал вам на предыдущих этапах, эти мечи были созданы, чтобы рубить вашего врага тупой силой. Таким образом, у этого типа мечей большие края, и их острие значительно уменьшено, и это гораздо менее актуально.
Основные моменты:
Для создания бликов выполните следующие шаги:
- Выделите весь меч и на верхнем слое залейте выделение черным цветом, используя Bucket Tool.
- Измените режим слоя на Color Dodge Mode
- Вы увидите, что черный цвет исчезнет.
- Начните рисовать, используя светло-серый тон и кисть Diffuse Brush.
- Закрасьте области, которые вы уже отметили как освещенные светом.
- Проверьте изображение, которое я включил на этом этапе.Здесь видно, где я расставляю световые акценты. Точка на навершии или сферы на перекладине могут быть хорошими примерами. Другими примерами могут быть выделенные области на лезвии или в центре рукоятки.
ШАГ 10: ДОБАВЛЕНИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ
В качестве заключительного шага мы добавим немного свечения на лезвие и уточним некоторые тени.
The Glow:
- Добавить эффект свечения на лезвие довольно просто.
- Используйте Diffuse Brush и уменьшите непрозрачность.
- Выберите светло-серый тон.
- Переведите кисть в режим Linear Dodge.
- Нарисуйте точку на верхнем крае лезвия.
Когда я закончу, я затемню несколько теней на мече. Области будут на границе, где происходит переход между светом и тенью. В частности, я говорю о зажиме, соединительной части лука и перекладине.
Возьмем, к примеру, рукоятку:
- Перейдите в центральную область, где находится главный световой момент.
- В той точке, где начинается тень, нарисуйте темную линию, используя Diffuse Brush и очень темно-коричневого цвета.
- Линия должна сливаться с существующей тенью.
- Смысл этого в том, чтобы имитировать то, что происходит в действительности, когда мы находим переход между областью, пораженной источником света, и областью в тени.
- Зрители будут воспринимать эту точку перехода между светом и тенью как самую темную точку на этой конкретной поверхности.
- Повторите процесс для соединительной части лука и перекладины.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После всей этой информации, которую я дал вам в этой статье, вместе с видео и изображениями, я думаю, у вас есть достаточно информации, чтобы начать работу над собственным дизайном меча.
Существует много видов мечей, таких как катаны, сабли, гладиусы и т. Д. Вы можете раскрасить их все, следуя тем же принципам, которые я дал вам в этом уроке. Я советую начать рисовать меч, похожий на мой, и как только вы овладеете процессом, вы можете попробовать свои собственные конструкции.
Если вы хотите расширить свои знания о рисовании и живописи, я рекомендую вам мою статью о «Самые доступные курсы искусства в Интернете».
Как всегда, я надеюсь, что это руководство было для вас полезным. Если у вас есть какие-либо комментарии или сомнения, оставьте, пожалуйста, строчку в разделе комментариев, и мы с радостью ответим вам, как только я смогу. Кроме того, не забудьте подписаться на нашу страницу, чтобы я мог держать вас в курсе новых руководств, статей и курсов.
Toni Justamante Jacobs
Об авторе: Привет, я Тони Жустаманте Джейкобс.Я профессиональный концепт-художник и иллюстратор с более чем 10-летним опытом работы в отрасли. Некоторые из моих клиентов — Gameloft, Fantasy Flight Games, Kunlun Games и Games Workshop. В настоящее время я работаю в Socialpoint в качестве старшего концепт-художника.
9 самых распространенных форм и способы их определения
Вы, наверное, много узнали о формах, даже не задумываясь о том, что они из себя представляют. Но понимание того, что такое фигура, невероятно удобно при сравнении ее с другими геометрическими фигурами, такими как плоскости, точки и линии.
В этой статье мы рассмотрим, что такое фигура, а также несколько общих фигур, как они выглядят и основные формулы, связанные с ними.
Что такое форма?
Если вас спросят, что такое форма, вы, вероятно, сможете назвать довольно много из них. Но «форма» тоже имеет особое значение — это не просто названия кругов, квадратов и треугольников.
Форма — это форма объекта, а не то, сколько места он занимает или где находится физически, а реальную форму, которую он принимает. Круг определяется не тем, сколько места он занимает или где вы его видите, а скорее реальной круглой формой, которую он принимает.
Форма может иметь любой размер и появляться где угодно; они ничем не ограничены, потому что фактически не занимают места. Трудно обдумать это, но не думайте о них как о физических объектах — форма может быть трехмерной и занимать физическое пространство, например подставку для книг в форме пирамиды или цилиндрическую банку с овсянкой, или он может быть двухмерным и не занимать физического пространства , такого как треугольник, нарисованный на листе бумаги.
Тот факт, что он имеет форму, отличает форму от точки или линии.
Точка — это просто позиция; у него нет ни размера, ни ширины, ни длины, ни вообще никаких размеров.
Линия же одномерная. Он бесконечно расширяется в любом направлении и не имеет толщины. Это не форма, потому что у нее нет формы.
Хотя мы можем представлять точки или линии как фигуры, потому что нам действительно нужно их видеть, на самом деле они не имеют никакой формы. Это то, что отличает форму от других геометрических фигур — она двух- или трехмерная, потому что у нее есть форма.