Как узнать площадь круга если известен диаметр: Радиус круга | Онлайн калькулятор

Площадь круга и его частей. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Основные определения и свойства

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность		Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга		Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор		Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент		Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник		Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
		Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

      Следовательно,

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR².

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR².

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B₁B₂…B_n , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B₁B₂…B_n   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

      Следовательно,

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как найти площадь круга по формулам через диаметр, радиус, длину окружности, расчет площади сектора круга

Как найти площадь круга?

Для того, чтобы рассчитать площадь круга, необходимо знать следующие данные:

• Длину диаметра – отрезка, проходящего через центр круга и соединяющего две противоположные точки окружности, либо радиуса – отрезка, одна из крайних точек которого находится в центре круга, а вторая – на дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
• Значение числа π. Эта величина представляет собой константу – иррациональную дробь, не имеющую конца. При этом она не является периодической. Данное число выражает соотношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в заданиях школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых – 3,14.

Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

В зависимости от специфики условий геометрической задачи применяются две формулы нахождения площади круга:

1. Если известен радиус r, то расчет производится следующим образом: S= π*r²
2. Площадь круга через диаметр d вычисляется другим способом: S = π*d²/ 4

Чтобы определить, как найти площадь круга проще всего, нужно тщательно проанализировать условия задания.

Школьный курс геометрии также включает в себя задачи на расчет площади сегментов или секторов, для которых применяются специальные формулы:

1. Сектор представляет собой часть круга, ограниченную окружностью и углом с вершиной, расположенной  в центре. Площадь сектора рассчитывается по формуле: S = (π*r²/360)*А;
   • r – радиус;
   • А – величина угла в градусах.
   • r – радиус;
   • р – длина дуги.

Также существует второй вариант S = 0,5*р*r;

2. Сегмент – представляет собой часть, ограниченную сечением круга (хордой)  и окружностью. Его площадь можно найти по формуле S=(π*r²/360)*А± S_∆;

• r – радиус;
• А – величина угла в градусах;
• S_∆ – площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда круга; при этом одна из его вершин располагается в центре круга, а две других – в точках соприкосновения дуги окружности с хордой. Важный момент – знак “минус” ставится в том случае, если значение А меньше 180 градусов, а знак “плюс” – если больше 180 градусов.

Чтобы упростить решение геометрической задачи, можно вычислить

площадь круга он-лайн. Специальная программа быстро и безошибочно сделает расчет за пару секунд. Как рассчитать он-лайн площадь фигур? Для этого необходимо известные ввести исходные данные: радиус, диаметр, величину угла.

Структура раздела Справочные материалы:

Как найти радиус окружности — Лайфхакер

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

Через площадь круга

1. Разделите площадь круга на число пи.
2. Найдите корень из результата.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
• π (пи) — константа, равная 3,14.

Сейчас читают 🔥

Через длину окружности

1. Умножьте число пи на два.
2. Разделите длину окружности на результат.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• P — длина окружности (периметр круга).
• π (пи) — константа, равная 3,14.

Через диаметр окружности

Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• D — диаметр.

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Через стороны и площадь вписанного треугольника

1. Перемножьте три стороны треугольника.
2. Разделите результат на четыре площади треугольника.

Иллюстрация: Лайфхакер

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

Иллюстрация: Лайфхакер

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Через площадь сектора и его центральный угол

1. Умножьте площадь сектора на 360 градусов.
2. Разделите результат на произведение пи и центрального угла.
3. Найдите корень из полученного числа.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• S — площадь сектора круга.
• α — центральный угол.
• π (пи) — константа, равная 3,14.

Через сторону вписанного правильного многоугольника

1. Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
2. Найдите синус полученного числа.
3. Умножьте результат на два.
4. Разделите сторону многоугольника на результат всех предыдущих действий.

Иллюстрация: Лайфхакер

• R — искомый радиус окружности.
• a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
• N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.

Читайте также 📐✂️📌

Длина окружности. Решение задач на длину окружности и площадь круга

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в  3,14 раза.  Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква  π  (пи):

Таким образом, длину окружности  (C)  можно вычислить, умножив константу 

π  на диаметр  (D),  или умножив  π  на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR,

где  C  — длина окружности,  π  — константа,  D  — диаметр окружности,  R  — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен  5 см.

Решение: Так как длина окружности равна  π  умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром  5 см  будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Ответ:  15,7 см.

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен  3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на  2:

D = 3,5 · 2 = 7 (м),

теперь найдём длину окружности, умножив  π  на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Ответ:  21,98 м.

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна  7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на  2

π:

следовательно, радиус будет равен:

R	≈	7,85	=	7,85	=  1,25 (м).
		2 · 3,14		6,28

Ответ:  1,25 м.

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен  2 см.

Решение: Так как площадь круга равна  π  умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом  2 см  будет равна:

S ≈ 3,14 · 2² = 3,14 · 4 = 12,56 (см²).

Ответ:  12,56 см².

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен  7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на  2:

7 : 2 = 3,5 (см),

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr² ≈ 3,14 · 3,5² = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см²).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S = π	D2	≈ 3,14 ·	72	= 3,14 ·	49	=
	4		4		4

=	153,86	=  38,465 (см2).
	4

Ответ:  38,465 см².

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна  12,56 м².

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить  π,  а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π ,

следовательно, радиус будет равен:

r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м).

Ответ:  2 м.

Калькулятор площади круга

Как нам известно из школьной программы, кругом принято называть плоскую геометрическую фигуру, которая состоит из множества точек, равноудалённых от центра фигуры. Так как все они находятся на одинаковом расстоянии, они формируют окружность.

Удобная навигация по статье:

Отрезок, соединяющий центр круга и точки его окружности называют радиусом. При этом, в каждой окружности все радиусы между собой равны.2}/{4*3,14}=64/{12,56}=5. И получаем площадь круга равную пяти квадратным сантиметрам.

Площадь круга. Видео.

Круговые уравнения

Круг сделать легко:

Нарисуйте кривую на расстоянии
«радиуса» от центральной точки.

А так:

Все точки находятся на одинаковом расстоянии
от центра.

Фактически определение круга равно

Круг на графике

Нанесем на график окружность радиуса 5:

А теперь вычислим именно , где находятся все точки.

Делаем прямоугольный треугольник:

А затем используйте Пифагор:

x ² + y ² = 5 ²

Таких точек бесконечное количество, вот несколько примеров:

х	y	x 2 + y 2
5	0	5 2 + 0 2 = 25 + 0 = 25
3	4	3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
0	5	0 2 + 5 2 = 0 + 25 = 25
−4	−3	(−4) 2 + (−3) 2 = 16 + 9 = 25
0	−5	0 2 + (−5) 2 = 0 + 25 = 25

Во всех случаях точка на окружности подчиняется правилу x ² + y ² = радиус ²

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти пропущенное значение

Пример: x значение 2 и радиус из 5

Начать с: x ² + y ² = r ²

Известные нам значения: 2 ² + y ² = 5 ²

Переупорядочить: y ² = 5 ² -2 ²

Квадратный корень с обеих сторон: y = ± √ (5 ² -2 ² )

Решить: y = ± √21

у ≈ ± 4.58 …

( ± означает, что есть два возможных значения: одно с + , другое с — )

А вот две точки:

Более общий случай

Теперь поставим центр на (a, b)

Таким образом, круг — это всех точек (x, y) , которые находятся на расстоянии «r», от центра (a, b) .

Теперь давайте определим, где находятся точки (используя прямоугольный треугольник и Пифагор):

Идея та же, что и раньше, но нам нужно вычесть a и b :

И это «Стандартная форма» для уравнения круга!

Он сразу показывает всю важную информацию: центр (a, b) и радиус r .

Пример: круг с центром в точке (3,4) и радиусом 6:

Начать с:

(x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Вставьте (a, b) и r:

(x − 3) ² + (y − 4) ² = 6 ²

Затем мы можем использовать наши навыки алгебры, чтобы упростить и изменить это уравнение, в зависимости от того, для чего оно нам нужно.

Попробуйте сами

«Общая форма»

Но вы можете увидеть уравнение круга, а не знать его !

Потому что это может не быть в аккуратной «Стандартной форме» выше.

В качестве примера поместим некоторые значения в a, b и r, а затем расширим их

Начнем с: (x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Пример: a = 1, b = 2, r = 3: (x − 1) ² + (y − 2) ² = 3 ²

Развернуть: x ² — 2x + 1 + y ² — 4y + 4 = 9

Соберите как термины: x ² + y ² — 2x — 4y + 1 + 4-9 = 0

И в итоге получаем:

x ² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Это уравнение круга, но «замаскировано»!

Итак, когда вы видите что-то подобное, подумайте: «хм… что может быть кругом! »

Фактически, мы можем записать его в «Общая форма» , задав константы вместо чисел:

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Примечание. Общая форма всегда имеет x ² + y ² для первых двух условий .

Переход от общей формы к стандартной

Теперь представьте, что у нас есть уравнение в общей форме :

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Как мы можем поместить его в стандартную форму вот так?

(x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Ответ: пройдите квадрат (прочтите об этом) дважды… один раз для x и один раз для y :

Пример: x ² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Начать с: x ² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Совместите x с и y с: (x ² — 2x) + (y ² — 4y) — 4 = 0

Константа справа: (x ² — 2x) + (y ² — 4y) = 4

Теперь завершите квадрат для x (возьмите половину −2, возведите ее в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

(x ² — 2x + (−1) ² ) + (y ² — 4y) = 4 + (−1) ²

И завершите квадрат y (возьмите половину −4, возведите ее в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

(x ² — 2x + (−1) ² ) + (y ² — 4y + (−2) ² ) = 4 + (−1) ² + (−2) ²

Убрать:

Упростить: (x ² — 2x + 1) + (y ² — 4y + 4) = 9

Наконец: (x — 1) ² + (y — 2) ² = 3 ²

А у нас это стандартная форма!

(Примечание: здесь использовался предыдущий пример a = 1, b = 2, r = 3, так что мы все поняли правильно!)

Единичный круг

Если мы поместим центр круга в (0,0) и установим радиус равным 1, то получим:

(x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 (x − 0) 2 + (y − 0) 2 = 1 2 x 2 + y 2 = 1 Каково уравнение единичной окружности

Как нарисовать круг вручную

1.Участок центр (а, б)

2. Нанесите 4 точки «радиусом» от центра в направлении вверх, вниз, влево и вправо.

3. Сделайте набросок!

Пример: График (x − 4) ² + (y − 2) ² = 25

Формула для круга: (x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Итак, центр находится в (4,2)

И r ² составляет 25 , поэтому радиус √25 = 5

Итак, мы можем построить:

• Центр: (4,2)
• Вверх: (4,2 + 5) = (4,7)
• Вниз: (4,2−5) = (4, −3)
• Слева: (4−5,2) = (−1,2)
• Справа: (4 + 5,2) = (9,2)

А теперь нарисуйте круг как можно лучше!

Как нарисовать круг на компьютере

Нам нужно изменить формулу так, чтобы мы получили «y =».

У нас должно получиться два уравнения (верхняя и нижняя части круга), которые затем можно построить.

Пример: График (x − 4) ² + (y − 2) ² = 25

Итак, центр находится в (4,2), а радиус √25 = 5

Переставьте, чтобы получить «y =»:

Начнем с: (x − 4) ² + (y − 2) ² = 25

Переместите (x − 4) ² вправо: (y − 2) ² = 25 — (x − 4) ²

Извлеките квадратный корень: (y − 2) = ± √ [25 — (x − 4) ² ]

(обратите внимание на ± «плюс / минус»…
может быть два квадратных корня!)

Переместите «−2» вправо: y = 2 ± √ [25 — (x − 4) ² ]

Итак, когда мы построим эти два уравнения, у нас должен получиться круг:

• y = 2 + √ [25 — (x − 4) ² ]
• y = 2 — √ [25 — (x − 4) ² ]

Попробуйте построить график этих функций в графическом редакторе функций.

Также можно использовать Equation Grapher, чтобы сделать все это за один раз.

Рабочий лист упражнений на «Площадь круга по диаметру»

Вот три случайно выбранных вопроса из более крупного упражнения, которые можно отредактировать , и отправить по электронной почте учащимся или напечатать , напечатать для создания рабочих листов упражнений.

от

по

Нахождение площади круга по диаметру (урок)

Площадь круга определяется по формуле:

В этой формуле d — диаметр окружности.На изображении ниже показано, что мы подразумеваем под диаметром:

Интерактивный виджет

Используйте этот интерактивный виджет , чтобы нарисовать круг, а затем вычислить его площадь по диаметру. Начните с нажатия на заштрихованную область.

Ой, сломано!

Поверните телефон на бок, чтобы использовать этот виджет.

Как найти площадь круга по диаметру

Найти площадь круга по диаметру очень просто.

Какова площадь круга диаметром 10 см, как показано ниже?

шаг за шагом:

Начните с формулы:

Не забывайте: π — это число пи (≈ 3,14), и d ² = d × d (d в квадрате) и / означает ÷.

Подставьте диаметр в формулу.В нашем примере d = 10.

Площадь = π × 10 ² ⁄4

Площадь = π × 10 × 10 ÷ 4

Площадь = π × 100 ÷ 4

Площадь = π × 25

Площадь = 3,14 × 25

Площадь = 78,5 см ²

Ответ:

Площадь круга диаметром 10 см равна 78.5 см ² .

Слайдер

Ползунок ниже показывает еще один реальный пример того, как найти площадь круга по диаметру.

Откройте слайдер в новой вкладке

Как найти площадь круга по радиусу

Площадь круга можно определить по радиусу, а не по диаметру.

Площадь круга с учетом радиуса определяется по формуле:

В формуле r — радиус окружности.На изображении ниже показано, что мы подразумеваем под радиусом:

Подробнее о том, как найти площадь круга с помощью радиуса

Помогите нам улучшить математику Monster

• Вы не согласны с чем-то на этой странице?
• Вы заметили опечатку?

Сообщите нам, используя эту форму

См. Также

Что такое круг? Что такое пи? Какой диаметр? Найдите площадь круга, используя радиус Как найти радиус по диаметру Показатель степени, где основание — дробь Что такое числитель? Что такое знаменатель?

Как найти диаметр круга с площадью?

Геометрия

Наука

• Анатомия и физиология
• Астрономия
• Астрофизика
• Биология
• Химия
• науки о Земле
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия
• Физика

Математика

• Алгебра

Области кругов и секторов

Чтобы работать над последним разделом нашего исследования области, мы должны сначала узнать о форме, которую мы вообще не обсуждали в прошлом.На самом деле эта форма не многоугольник вообще, что означает, что у него нет вершин или сторон. В Форма, на которой мы собираемся сосредоточиться в этом разделе, называется кругом . Давайте начните этот урок с изучения определения круга.

Определение: Окружность — это плоская кривая, которая равноудалена от заданного фиксированная точка, называемая центром.

Каждая точка кривой находится на расстоянии x единиц от центра C.

Существует бесчисленное множество свойств, которые мы можем использовать для описания кругов, но мы будем просто остановимся на двух из них: радиус и диаметр . Хотя мы не напрямую использовать диаметр, чтобы найти площадь круга, понимая, как он сравнивается к радиусу может помочь нам определить области кругов. Давайте посмотрим на определения радиуса и диаметра, а также на иллюстрации ниже, чтобы увидеть, как они соотносятся.

Определение: Радиус — это отрезок прямой, соединяющий центр окружности с любая точка на окружности круга.

Определение: Диаметр — это отрезок прямой линии, проходящий через центр круга.

Обратите внимание, что радиус простирается только от центра круга наружу. край круга, тогда как диаметр проходит на всем протяжении с одной стороны к другому.Поскольку определение круга описывает геометрическое место точек, которые равноудалены от центра, мы знаем, что все радианы круга равны равно. Итак, мы можем просто разбить диаметр в центре круг, чтобы создать два радиана. Следовательно, мы знаем, что

где d — длина диаметра окружности, а r — длина радиуса.

Поскольку все радианы круга равны, мы знаем, что два из них составляют диаметр круга.

Теперь, когда мы обсудили важные части круга, мы можем научиться измерять площади кругов. Поскольку у кругов нет острых краев, их площади в квадрате единиц почти никогда не получится четное число, поэтому просто округлим области до сотого места.Давайте узнаем, как использовать формулу площади для кругов.

Площади кругов

Площадь круга равна произведению числа Пи (? ) на радиус круг в квадрате. Мы описываем это математически как

где A — площадь в квадратных единицах, ? — математическая константа (приблизительно равно 3.14 ), а r — радиус.

Напомним, что мы смогли выразить диаметр круга через его радиус. Поскольку каждая задача не дает нам радиуса круга, нам может потребоваться используйте наши знания об их диаметрах, чтобы помочь нам определить их площади. В другом словами, если нам дан диаметр круга, мы знаем, что половина диаметра равен радиусу, который мы можем подставить в нашу формулу площади.Давай поработаем над некоторыми упражнения сейчас.

Упражнение 1

Найдите площадь круга p .

Ответ:

Давайте проанализируем предоставленную нам информацию, чтобы понять, что мы должны сделать, чтобы найти площадь круга p . Нам дано, что диаметр 18 дюймов , и мы знаем, что диаметр круга в два раза больше до его радиуса, поэтому все, что нам нужно сделать, чтобы найти радиус, это взять половина диаметра.

Мы видим, что радиус нашего круга равен 9 дюймов .

Помните, что ? не является переменной; это математическая константа. Также, когда дело доходит до значения , мы не будем беспокоиться о большой точности? .Мы можем просто определить ? как 3,14 , так как наш окончательный ответ будет с округлением до сотых долей. Готовы решить для площади круга п .

Итак, площадь круга p составляет примерно 254.34 квадратных дюйма .

Теперь давайте посмотрим на другой пример, который потребует немного больше работы.

Упражнение 2

Найдите значение x , если площадь круга g приблизительно равна 1661 квадратных футов .

Ответ:

В этом примере нам дана площадь круга g , поэтому мы будем придется работать в обратном направлении, чтобы найти радиус.Заполним формулу площади, подставляя переменные, которые мы знаем.

А ? не равно 3,14 , мы будем использовать 3,14 как приблизительное значение, которое поможет нам решить для x . У нас

Чтобы избавиться от квадрата, нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:

Мы знаем, что радиус окружности g составляет приблизительно 23 футов , но мы не решили для переменной x .Нам просто нужно вычесть 7 с обеих сторон уравнения, и мы получаем

Итак, значение x приблизительно равно 16 .

Давайте теперь узнаем о секторах кругов.

Площади секторов

Иногда нам не нужно находить области полных кругов, а вместо этого нужно найти меньшие участки круга.В этих случаях нам понадобится способ вычисления эти части кругов называются секторами. Давайте изучим определение секторов и посмотрим, как они выглядят, прежде чем вводить формулу площади.

Определение: Круговой сектор — это часть круга, заключенная в два радиуса. и дугу окружности.

Обратите внимание, что дуга окружности — это просто часть окружности, заключенная конечные точки обоих радианов.

Работать с секторами кругов может быть довольно просто, если мы умеем применять формула площади для кругов. Если мы знаем, что круг разбивается на определенные количество совпадающих областей, мы можем просто поместить соответствующий коэффициент в нашу область формула. Например, если у нас есть круг, который разделен на четыре равные части, и мы хотим найти площадь одного из этих участков, наша формула площади будет

Поскольку одна четвертая круга заштрихована, мы просто умножаем формулу площади окружности c с коэффициентом, чтобы найти площадь сектора круга.

В других случаях нам может быть дана мера угла в радиусе круга, называется центральным углом . Для этих упражнений мы можем применить площадь секторов формула, которая равна

где A — площадь, x — градус центрального угла, а r — радиус.

Эта формула по сути делает то же самое, что и в предыдущем примере. потому что он просто преобразует градус внутреннего угла в эквивалентный дробная часть. Круги имеют градусы 360 ° . Поэтому, когда мы разделите данную меру на 360 ° , мы просто берем долю круг, который мы желаем, и умножив его на нашу обычную формулу площади.Давайте принимать взгляните на последний пример, чтобы убедиться, что мы понимаем, как применять область Формула секторов.

Упражнение 3

Найдите область затененного сектора ниже.

Ответ:

Поскольку круг т не был разбит для нас на четные участки, мы нельзя просто умножить формулу площади кругов на дробь.Скорее нам нужно использовать градусную меру центрального угла и вставить ее в область секторов формула. Помните, нам нужно также использовать тот факт, что радиус равен 14 метров долго, чтобы решить для области сектора. Давай сделаем это сейчас.

Итак, площадь заштрихованного сектора составляет примерно 230.79 кв.м .

Думая дальше

А теперь давайте вернемся и проанализируем взаимосвязь между степенью измерения центральный угол и часть круга, которая была заштрихована.

Первый множитель формулы площади для секторов в итоге упростился до ? потому что

Дело в том, что эта дробь упрощается до ? означает, что сектор Площадь составляет три восьмых от площади всего круга.

Если мы разделим круг t на восемь равных частей, мы увидим, что центральный угол 135 ° создает сектор, равный 3/8 площади всего круга.

Теперь мы знаем, как измерять меньшие участки круга, и можем сравнивать эти участки. на площадь круга в целом.

Хотя нам еще предстоит подробно обсудить круги, работа с секторами кругов может Помогите нам узнать, как связать градусы и радианы окружностей, которые имеют важное значение компоненты таких предметов, как предварительное исчисление и исчисление.

Найти, если точка находится внутри круга

Дан круг (координаты центра и радиуса) и точка (координата), найдите, лежит ли точка внутри или на круге, или нет.

Примеры:

Вход: x = 4, y = 4 // Заданная точка
       круг_x = 1, круг_y = 1, рад = 6; // Круг
Выход: внутри

Input: x = 3, y = 3 // Заданная точка
       круг_x = 0, круг_y = 1, рад = 2; // Круг
Выход: снаружи
 

Мы настоятельно рекомендуем свернуть браузер и сначала попробовать это самостоятельно.
Идея состоит в том, чтобы вычислить расстояние точки от центра. Если расстояние меньше или равно радиусу. точка внутри, иначе снаружи.

Ниже представлена ​​реализация вышеизложенной идеи.

C ++

#include с использованием пространства имен std; bool isInside ( int circle_x, int circle_y, внутр рад, внутр x, внутр y) { если ((x - круг_x) * (x - круг_x) + (y - круг_y) * (y - круг_y) <= рад * рад) возврат правда ; остальное возврат ложь ; } внутренний основной () { int x = 1, y = 1; int круг_x = 0, круг_y = 1, рад = 2; isInside (круг_x, круг_y, рад, x, y)? cout << «Внутри» : cout << «Снаружи» ; }

Ява

класс GFG { статический логический isInside ( int circle_x, int circle_y, внутр рад, внутр x, внутр y) { если ((x - круг_x) * (x - круг_x) + (y - круг_y) * (y - круг_y) <= рад * рад) возврат правда ; остальное return false

Определение радиуса круга и калькулятор

Определение радиуса круга и калькулятор - Math Open Reference

1.Линия от центра круга до точки на окружности.
2. Расстояние от центра круга до точки на окружности.

Попробуйте это Перетащите оранжевую точку. Синяя линия всегда остается радиусом круга.

Радиус круга - это длина линии от центра до любой точки на его крае. Форма множественного числа - радиусы (произносится как «луч-ди-глаз»). На рисунке выше перетащите оранжевую точку и убедитесь, что радиус всегда постоянен в любой точке круга.

Иногда слово «радиус» используется для обозначения самой линии. В этом смысле вы можете увидеть «нарисовать радиус круга». В более позднем смысле это длина линии, поэтому ее называют «радиус круга составляет 1,7 сантиметра».

Если известен диаметр

Учитывая диаметр круга, радиус просто равен половине диаметра: где:
D - диаметр окружности

Если знать окружность

Если вам известна длина окружности, радиус можно найти по формуле
, где:
C - длина окружности
π - Пи, приблизительно 3.142

Если вы знаете район

Если вам известна площадь круга, радиус можно найти по формуле
, где:
A - это площадь круга
π - Пи, примерно 3,142

Калькулятор

Воспользуйтесь калькулятором выше, чтобы вычислить свойства круга.

Введите любое одно значение, и остальные три будут рассчитаны. Например: введите радиус и нажмите «Рассчитать». Будут рассчитаны площадь, диаметр и окружность.

Точно так же, если вы войдете в область, будет вычислен радиус, необходимый для получения этой области, а также диаметр и окружность.

Сопутствующие товары

Диаметр Ширина круга. Диаметр в два раза больше радиуса. Увидеть диаметр круга

Окружность Окружность - это расстояние по краю круга. Увидеть Окружность круга подробнее.

Что попробовать

1. На рисунке выше нажмите «Сброс» и перетащите оранжевую точку.Обратите внимание, что радиус имеет одинаковую длину в любой точке круга.
2. Щелкните «Показать диаметр». Перетащите любую оранжевую точку на концах линии диаметра. Обратите внимание на то, что радиус всегда равен половине диаметра.
3. Снимите флажок "фиксированный размер". Повторите вышесказанное и обратите внимание на то, что радиус всегда равен половине диаметра, независимо от размера круга.

Другие темы в круге

Общие

Уравнения окружности

Углы по окружности

Дуги

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.