Чему равна площадь шестиугольника: Площадь правильного шестиугольника | Мозган калькулятор онлайн

Как найти площадь поверхности правильной призмы: боковой, полной, основания

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 3ah
полная

microexcel.ru

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Площадь	Формула
основание	S осн. = a2
боковая поверхность	Sбок. = 4ah
полная	Sполн. = 2a2 + 4ah

microexcel.ru

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна

a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 6ah
полная

microexcel.2 )

(S) — площадь правильного шестиугольника

(r) — радиус вписанной окружности

Настоящий шестиугольник

1. Все углы правильного шестиугольника равны 120 °

2. Все стороны правильного шестиугольника идентичны друг другу

Регулярный шестиугольный периметр

4. Форма поверхности правильного шестиугольника

5. Радиус удаленной окружности правильного шестиугольника

6. Диаметр круглого круга нормального шестиугольника

7. Радиус введенной правильной шестиугольной окружности

8. Отношения между радиусами введенных и ограниченных кругов

как , и , и , из которого следует треугольник — прямоугольная с гипотенузой — это то же самое . Таким образом,

10. Длина AB равна

11. Формула сектора

.

Вычисление сегментов сегментов правильного шестиугольника

Рис. 1. Регулярные шестиугольные сегменты с разбивкой на одни и те же алмазы

1. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу отмеченной окружности

2. Подключение точек с шестиугольником , мы получим ряд равных ромбов (рис.

, , .

Рис. Сегменты правильного шестиугольника с разбивкой на одни и те же треугольники

3. Добавить диагональ , , в ромбах мы получаем шесть одинаковых треугольников с поверхностями

3. Сегменты нормального шестиугольника с разбивкой на треугольники

4. Поскольку нормальный шестиугольник равен 120 °, площадь и они будут одинаковыми

5. Области и мы используем квадратную формулу реального треугольника .

Учитывая, что в нашем случае высота , но основой , мы его получаем

Площадь нормального шестиугольника Это число, которое характерно для правильного шестиугольника в единицах площади.

Настоящий шестиугольник (шестиугольник) Это шестиугольник, в котором все страницы и углы одинаковы.

[править] Легенда

N — количество клиентов, n = 6;

р Является радиусом введенного круга;

R Это радиус круга;

α — половина центрального угла, α = π / 6;

P6 — размер правильного шестиугольника;

SΔ — поверхность равного треугольника с основанием, равным стороне, а боковые стороны равны радиусу окружности;

S6 Это область нормального шестиугольника. 2

где

sin frac <6>= frac <1> <2>[Math] cos frac < pi> <6>= FRAC < sqrt < 3>> <2>[/ Math], [Math] tg frac < pi> <6>= frac < sqrt <3>> <3>pi> <6>= sqrt <3>[/ математика]

[править] Другие полигоны

Общая площадь гексагона // KhanAcademyNussian [9:01]

Пчелы пчел становятся гексагональными без помощи пчел

Типичный сетчатый рисунок может быть выполнен, если ячейки треугольные, квадратные или шестиугольные.

Шестиугольная форма больше, чем остальное, позволяет вам хранить на стенах, оставляя на сотах меньше сока с такими клетками. Впервые эта «экономика» пчел была отмечена в IV. Century. E. и в то же время было высказано предположение, что пчелы при построении часов «должны управляться математическим планом».

Однако с исследователями из Университета Кардиффа п

Площадь правильного шестнадцатиугольника — Циклопедия

Площадь правильного шестнадцатиугольника — это число, характеризующее правильный шестнадцатиугольник в единицах измерения площади.2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}R,[/math]

где

[math]\sin\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}, \ \cos\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}[/math]

[math]tg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1, \ ctg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1.[/math]

[править] Другие многоугольники

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

• высота — прямая, перпендикулярная плоскостям, лежащим у основания многогранника;
• боковые рёбра — стороны, являющиеся общими для боковых граней;
• вершины — точки, принадлежащие сразу двум отрезкам и формирующим периметр геометрического тела;
• диагонали — отрезки, проходящие через 2 вершины, но при этом несвойственные одной грани;
• диагональные плоскости — пересекающие боковые рёбра и диагональ у основания.

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

Площадь основания. Так как в основе тела лежат правильные шестиугольники, то, используя их свойства, можно получить формулу: S = (3 * a ² * √ 3) / 2, где: а — сторона многоугольника.

Площадь полной поверхности. Определяется она из равенства: Sb = 6 * a * h + 2 * (3 * a ² * √ 3) / 2. Из-за того, что площадь плоскости можно получить путём сложения сторон призмы и двух поверхностей её основания, а грань — прямоугольник (S прямоугольника = a * h), то указанная формула будет верной.

Объём. Он равняется произведению площади основания на высоту. Роль последней может играть ребро любой стороны, например, BB1. Учитывая сказанное, формулу можно записать так: V = S * BB 1 = ((3 √ 3) / 2) * (a² * h).

Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .

Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA1² + AE²)= √(h² + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB1² + BE²) = √(h² + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE² + EE²) = √(h² + a²) = √2 *a.

Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h² + a²), что и следовало доказать.

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E² = C1C² + CE = 2² + (4 c3) ². C1E² = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R² = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a² * sin60 / 2 = (R² * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

Предыдущая

ГеометрияТочка пересечения биссектрис — свойства, теорема и соотношения

Следующая

ГеометрияЭлементы треугольника — формулы вычисления основных параметров

Площадь основания правильной шестиугольной призмы. Формулы площади правильного шестиугольника

Образование 6 ноября 2018

В школьном курсе геометрии изучаются свойства различных видов призм, включая шестиугольную. Последняя часто встречается при рассмотрении кристаллических решеток металлов, поэтому знание ее характеристик важно при определении свойств этого класса материалов. Данная статья посвящена вопросу площади основания правильной шестиугольной призмы.

Объемная фигура — призма

В геометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными параллельно друг другу, и некоторым числом параллелограммов, соединяющих вершины названных многоугольников. Если основание образовано многоугольником с n вершинами, то количество параллелограммов также будет равно n.

Призмы характеризуются по типу многоугольника в основании (правильные и неправильные треугольные, четырехугольные и так далее), который может быть вогнутым и выпуклым, и по углу между боковыми гранями (параллелограммами) и основанием (прямоугольные и косоугольные).

Основными элементами любой призмы являются ее грани (Г), ребра (Р) и вершины (В). На рисунке выше приведена для примера треугольная призма. Как видно, она имеет 6 вершин (по 3 для каждого основания). Ниже приведена развертка этой призмы. Рисунок показывает, что она состоит из 5 граней: 2 треугольника и 3 прямоугольника.

Чтобы посчитать число ребер рассматриваемой фигуры, следует применить теорему Эйлера:

Р = В + Г — 2

Это выражение дает число ребер для этой призмы, равное 9. Действительно, если обратиться к трехмерному изображению призмы выше, то можно увидеть, что 6 ребер образуют основания фигуры, и еще 3 ребра являются результатом пересечения прямоугольников.

Призма шестиугольная

Перед рассмотрением вопроса площади основания правильной шестиугольной призмы, сначала познакомимся с этой фигурой. Из названия и приведенной выше классификации призм понятно, что речь пойдет о фигуре, в основании которой лежит шестиугольник. Это означает, что число сторон в такой призме будет равно 8 (два основания и шесть параллелограммов), а число вершин составит 12 (6 + 6). Тогда количество ребер будет равно:

Р = 12 + 8 — 2 = 18

Из этих 18-ти ребер основаниям принадлежат 12.

Если в основании находится правильный шестиугольник, а углы между боковыми сторонами (параллелограммами) и основаниями равны 90^o, то такая фигура будет называться прямоугольной призмой с правильным шестиугольником в основании, или просто правильной шестиугольной призмой. Ее схематическое изображение приводится ниже.

В правильной шестиугольной призме все ребра равны только в том случае, если c = a, где c — высота (длина бокового ребра) и a — длина стороны шестиугольника. В общем случае c ≠ a.

Далее приведем формулы для расчета площади поверхности и объема рассматриваемой призмы. Чтобы это сделать, необходимо знать площадь основания правильной шестиугольной призмы.

Площадь шестиугольника

Получим формулу площади правильного шестиугольника. Для этого рассмотрим эту плоскую фигуру, которая изображена на рисунке ниже.

Видно, что многоугольник состоит из шести одинаковых сторон, которые образуют угол 120^o. Поскольку этих углов шесть, то их сумма составит 720^o.

Рисунок также показывает, что правильный шестиугольник гармонично вписывается в окружность. Если соединить центр окружности с каждой вершиной фигуры, то получим 6 одинаковых треугольников. Поскольку угловая мера всей окружности составляет 360^o, то соответствующие углы треугольника равны 60^o (360^o/6). Они обозначены на рисунке. Поскольку каждый серый отрезок делит угол шестиугольника пополам, то оставшиеся два треугольника также равны по 60^o. Это означает, что изображенные 6 треугольников являются равносторонними. Длина каждой из их сторон равна стороне шестиугольника, обозначим ее буквой a.

Из курса геометрии известно, что площадь S₃ любого треугольника равна произведению его высоты h на сторону a, к которой она проведена, деленному пополам, то есть:

S₃ = h*a/2

Длину h легко вычислить, используя понятие о тригонометрической функции. Она равна:

h = a*cos(30^o) = a*√3/2

Тогда площадь всего треугольника равна:

S₃ = √3*a²/4

Умножая эту площадь на 6, получаем формулу площади правильного шестиугольника:

S₆ = 6*S₃ = 3*√3*a²/2

Для полноты информации следует отметить, что существует формула площади правильного многоугольника с произвольным количеством сторон n. Ниже приведено соответствующее выражение:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n)

Если подставить в это выражение значение n = 6, то мы получим формулу площади основания правильной шестиугольной призмы, которая совпадет с приведенной выше.

Заметим, что деление шестиугольника на 6 равносторонних треугольников означает, что шестиугольная призма состоит из 6 правильных треугольных призм.

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности любой призмы может быть получена, если сложить соответствующие площади S_o для двух оснований и для боковой поверхности S_b, представленной параллелограммами:

S = 2*S_o + S_b

Изучим развертку рассматриваемого вида призмы, которая приведена на рисунке ниже.

Мы видим, что призма состоит из двух одинаковых шестиугольников и 6 прямоугольников. Обозначим сторону основания буквой a, а стороны прямоугольников буквами a и c (сторона a является общей для шестиугольника и прямоугольника). В таком случае площадь полной поверхности шестиугольной призмы будет составлять:

S = 2*3*√3*a²/2 + 6*a*c = 3*a*(√3*a + 2*c)

Объем призмы

Эта важная величина для любого реального объекта в случае призмы находится просто: необходимо лишь умножить площадь основания на высоту фигуры, то есть:

V = S_o*h

Поскольку мы рассматриваем прямоугольную призму, то ее высота равна длине бокового ребра, то есть h = c. Тогда формула для объема правильной шестиугольной призмы запишется в виде:

V = 3*√3*a²*c/2

Таким образом, для определения площади и объема рассматриваемой фигуры необходимо знать длину ее ребра в основании и на боковой поверхности.

Для чего нужно знать свойства шестиугольной призмы?

Как было сказано во введении, эти призмы встречаются в природе в металлах. В частности, кристаллическая атомная упаковка титана, цинка, циркония, магния и некоторых других металлов имеет форму шестиугольной призмы, в основании которой лежат 7 атомов (6 в вершинах и 1 в центре). От соотношения длины ребра этой фигуры к длине стороны основания зависят многие механические свойства этих металлов (деформационные и упругие характеристики).

Выше приведен пример этой упаковки атомов, который носит сокращенное название ГПУ (гексагональная плотная упаковка).

Источник: fb.ru

Площадь шестиугольника равна 36 кв.ед .Чему равна площадь закрашенной его части ??? С решением пожалуйста напишите)))

Для начала могу поспорить, что в условии большая сторона не 24, а 21.

7 месяцев назад

я бы пошёл таким путём:
очевидно, что треугольник МАС прямоугольный, причём катеты у него 5 и 12
откуда мы можем найти угол МСА (по теореме синусов, хотя бы)
теперь рассмотрим треугольник ЕОС (О — центр окружности)
он равнобедренный со сторонами ОЕ и ОС по 6
можем найти его углы
ЕСО = МСА
СЕО = ЕСО = МСА
ЕОС = 180 — 2*МСА
теперь рассмотрим треугольник ЕОА
он тоже равнобедренный со сторонами ЕО и АО по 6
и угол ЕОА = 180 — ЕОС = 180 — 180 — (-2*МСА) = 2*МСА
теперь мы знаем две стороны (по 6) и угол между ними (ЕОА = 2*МСА)
по теореме косинусов можем найти противоположную сторону АЕ
всё

7 месяцев назад

Розглянемо трикутник АМС.2)=v(576+100)=v676=26 см
периметр=24+24+34+26=108 см

7 месяцев назад

Шестиугольник

Шестиугольник

---

Площадь и периметр правильных многоугольников

Шестигранник

---

Цель содержания:

Студенты узнают, как найти периметр правильных шестиугольников.

Студенты откроют для себя два разных метода для нахождения площади правильных шестиугольников относительно правильных треугольники и апофема.

Материалы:

Линейки парные шестигранные рабочий лист периметра, рабочий лист шестиугольника

Процедура:

Периметр

1.Опять же, коллективно напомним определение периметра, указанного в день проверки, а также для правильных треугольников и квадраты. Попросите учащихся разделиться на пары и распределить шестиугольник. лист периметра. После того, как рабочий лист будет заполнен и студенты получат сравнили их ответы, задайте всем классу следующие вопросов:

Что вы заметили о длине сторон? нашего шестиугольника? Вы этого ожидали?

Что происходит с периметром, когда сбоку длины меняются?

Есть ли способ найти периметр правильный шестиугольник без измерения всех шести сторон?

Напоминая общие выражения для периметр из правильных треугольников и квадратов.Вы замечаете закономерность? Чего мы можем ожидать, когда обнаруживаем периметр шестиугольника?

2. Продемонстрируйте с помощью Sketchpad Geometer свойства длин сторон правильного шестиугольника. кликните сюда использовать файл GSP и наблюдать за анимацией изменения периметра.

---

Площадь

Мы покажем два способа нахождения области правильный шестиугольник. Первый метод использует предыдущие знание равносторонних треугольников.

МЕТОД 1:

Начните с показа приведенных ниже цифр и спросите следующие вопросы:

Нажмите здесь, чтобы использовать эскиз этих изображений GSP.

Во-первых, как мы можем разбить эту цифру в знакомые формы? Какие особые свойства у этих шестер треугольники есть? Учитывая, что сторона нашего шестиугольника — это длина s, какова длина стороны каждого из треугольников? Напомним метод поиска местности. правильного треугольника. Какова площадь ОДНОГО из треугольников в нашем шестиугольнике? Как быстро найти район на весь шестиугольник?

Итак, мы открыли общую формулу для площадь, используя меньшие треугольники внутри шестиугольника!

Пример 1:

Используйте указанное выше выражение площади для вычисления площадь шестиугольника с длиной стороны s = 3.00см и высота h = 2,60 см для сравнения с методом 2 позже.

МЕТОД 2:

Напомним формулу периметра нашего регулярного шестиугольник. Как мы можем упростить найденное выражение для площади?

Будем называть периметр р . Итак, теперь у нас есть

Теперь мы можем взглянуть на общий метод для нахождение площади правильного многоугольника. Определите апофему для студентов чтобы начать второй метод определения площади правильного шестиугольника.

Apothem — расстояние отрезка линии от центра правильного многоугольника, перпендикулярного стороне (т.е. когда правильный многоугольник разбит на треугольники, апофема — высота один из треугольников, основание которого является стороной правильного многоугольника).

Обсудить концепцию апофемы со студентами и задайте следующие вопросы:

Что означает апофема правильного шестиугольника выглядит как?

Как апофема связана с высотой, которую мы найдено в правильных шестиугольниках выше?

Сколько апофем у правильного шестиугольника? У всех апофемы одинаковой длины?

Как мы можем переписать нашу формулу для площади, используя apothem a для правильного шестиугольника вместо высоты х правильного треугольника?

Пример 2:

Теперь мы можем заполнить значения для p и a чтобы найти площадь этого правильного шестиугольника.Опять же, пусть s = 3,00 см. и пусть a = 2,60 см. Какой район?

МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ:

Обсудите со студентами два разных метода для определения площади правильного шестиугольника.

Как класс обсудить преимущества и недостатки для каждого из методов и задайте следующие вопросы:

Какой метод сформулировать проще?

Будут ли эти методы когда-либо давать разные ответы?

Наконец раздаем шестиугольник рабочий лист и попросите учащихся заполнить группы, используя любой метод.Затем с классом сравните ответы и обсудите методы поиска решений.

Продемонстрируйте с помощью Sketchpad Geometer свойства длин сторон и длин апофем регулярных шестиугольники. Нажмите здесь, чтобы использовать GSP и наблюдайте за анимацией изменяющейся области.

---

Вернуться к учебному блоку

---

Значение шестиугольника — Imperium ad Infinitum

Шестиугольник — это соединительный центр универсальной согласованности, который связывает все вместе и связывает все вместе.Он учит вас больше, чем больше вы смотрите на него и размышляете над ним. Это новые умопомрачительные концепции, острые ощущения и загадки для тех, кто ищет опасности, или безопасный путь домой для тех, кто ищет стабильный центр.

Универсальное среднее геометрическое

Шестиугольник обладает сверхъестественными свойствами.

Во-первых, это решает проблему плитки. Шестиугольник — это форма, которую покрывает и лучше всего создает открытое пространство, минимизируя границу , как (человечески) обнаружено в 1999 году Томасом Хейлсом.Это сводит к минимуму количество материала, необходимого для построения этих границ, следовательно, пчелы используют шестиугольники.

Шестиугольник — это также компромисс между многоугольником и кругом, позволяющий строить примерно круговую мозаику, оставаясь при этом многоугольником со сторонами и углами. Вот почему компании сотовой связи используют гексагональные «ячейки» для отображения и распределения своих вышек сотовой связи, устроенных аналогично планировке городов в Settlers of Catan.

Шестигранник является универсальным средним и имеет лучший крутящий момент для машиностроения.

Каждый многоугольник имеет равностороннюю форму с одинаковыми углами, равными друг другу, но шестиугольник отличается. Если к шестиугольнику добавить больше сторон, он будет больше круглым, чем многоугольным. Если вычесть больше сторон, получится больше многоугольника, чем круга.

Это означает, что шестигранник создает наилучший крутящий момент, поэтому вы можете видеть его в гайках или соединениях труб в общественных туалетах и ​​писсуарах. (Признаюсь, я иногда вижу какие-то восьмиугольные соединения общественных туалетов, и это меня бесит.)

Гайка, например, с более чем шестью углами, будет легче скользить, потому что углы ее углов не будут такими жесткими. Углы квадратной гайки были бы сложнее, но площадь поверхности, прилагающей силу / крутящий момент к гайке с четырьмя сторонами, была бы меньше, чем с шестью.

Хотя это правило технически нарушает строгое определение «многоугольника» — десятиугольная форма, десятиугольник, технически все еще является многоугольником, если вы продолжаете добавлять стороны бесконечно, он просто становится все более и более нелепым, как круг.

Круги — это форма, в которой все точки одинаково удалены от центра, идеально симметричны со всех углов, наиболее симметричны нагрузка и напряжение. Таким образом, между трехсторонним многоугольником и бесконечной формой (кругом) шестигранный шестиугольник — это точный средний компромисс.

Именно поэтому шестиугольники структурно стабильны — их регулярность и ровность формы позволяют им повторяться, а их почти округлость обеспечивает максимально идеальное распределение нагрузки.

Нам, живущим в искусственной среде обитания человека, может показаться более очевидным, что квадраты кажутся равносторонними и достаточно симметричными. Почему они не образуются в природе? Очевидно, природа тоже спонтанно признает, что шестиугольник — это точный компромисс между равенством круга (все точки на одинаковом расстоянии от центра, идеально симметричны со всех сторон, наилучшее распределение нагрузки и напряжения) и углами многоугольника: это объяснение согласуется с теориями и иллюстрациями в этом ответе Quora, что природа стремится к энтропии и спонтанным состояниям покоя (круговое равенство), хотя ответ Quora все еще не объясняет, почему природа может выбрать шестиугольник вместо квадрата (соединяющий три вершины могли бы просто вернуться на угол в 90 градусов, возможно).

Опять же, решение проблемы плитки неявно объясняет преобладание в природе, структурную стабильность и оптимальный крутящий момент шестиугольников, не заявляя об этом сознательно или явно: шестиугольников — это идеальный компромисс между округлостью и угловатостью.

(Назовите это законом Сатурна.)

Шестиугольник на Сатурне?

Возможно, вы слышали о красном пятне на Юпитере, сильном шторме. Он имеет примерно овальную форму, что подходит для шторма или погоды.

Однако вы, возможно, не слышали, что на северном полюсе Сатурна находится массивная шестиугольная буря, достаточно большая, чтобы соответствовать планете Земля.

Ассоциации сильны.

Сатурн — это 6-я планета, ^-я, от Солнца, и его шестиугольная буря имеет 6-стороннюю форму. Странное совпадение. Также стоит отметить, что Сатурн является римским богом правопорядка, дисциплины, порядка и структуры, что также означает планета в астрологии, и примечательно, что на его поверхности появляется такая четко очерченная структура, состоящая из всего, что есть на самом деле. погода, воздух и газ — опять же, шторм Юпитера — это просто овулярная капля, как и следовало ожидать: такая упорядоченная, структурированная форма на планете структуры и порядка.

Стоит отметить, что совсем недавно (2015 г.) был обнаружен возможный, но пока еще неподтвержденный и более слабый шестиугольник также на южном полюсе Нептуна (а также более слабая система колец Нептуна, такая как у Сатурна?). Хотя, с одной стороны, это может (частично) подорвать 6-стороннюю форму совпадения 6-й планеты, это также указывает на очень странное слияние шестиугольника на северном полюсе Сатурна, астрологической планеты Материи и шестиугольника на Южный полюс Нептуна, астрологическая планета Духа, действующая как дипольные врата между концептуальными противоположными полюсами.

Символ времени

Гексагональная буря на планете, римский бог Сатурн которой правил временем. Сатурн был богом сезонных сельскохозяйственных работ. Его греческого аналога буквально звали Кронос или Кронос.

Совершенный компромисс шестиугольника между полигональностью и округлостью также подразумевает нечто радикальное в природе самого времени: он по своей сути содержит ритм собственного прерывания, сегментацию времени по сравнению с течением времени.

Поскольку пространство и время тесно связаны, время необходимо для того, чтобы создать что-либо как реальное вообще.

Но реальность — отстой. В мире идей все совместимо. В мире материи твердые объекты сталкиваются и препятствуют друг другу, а некоторые вещи просто не могут сосуществовать. Облом. Жизнь — это боль, но нам нужно быть живыми, чтобы что-то чувствовать. Вот почему реальность должна иногда отменяться посредством случайной отмены и прерывания времени.

Если время — это расстояние, конец времени означает, что все рушится в одну точку и все объединяется, что поочередно звучит как смерть, встреча с Богом, экстатический или оргиастический, в зависимости от того, как вы это интерпретируете. Каждая культура признала это, одним из самых знаковых признаний этого является праздник Сатурналии. Во время Сатурналий иерархия была приостановлена, рабы выходили на свободу весь январь, иногда их ждали хозяева, а церемониальный Владыка Сатурналий был случайно выбран, чтобы давать нелепые произвольные команды, чтобы послать их через верх.

потерять счет времени

Этот ритм встроен в времена года, колесо года. Весна и осень — это перемены и потоки, а лето и зима — противоположные формы упразднения времени, когда время стоит на месте.

Компромисс шестиугольника между полигональностью и округлостью символизирует этот сезонный компромисс и чередование между течением времени и самоустраняющимся временем, встроенным в природу и ритм самого времени. И все же время существует в болезненных количественных приращениях, которые по большей части абсолютно необходимы, чтобы заставить нас ценить время вечеринок, когда время упраздняется.Это необходимое чередование заключения и освобождения — это природа времени. Таким образом, шестиугольник представляет время.

Шестиугольник как символ символической и значимой Вселенной

Шестиугольник — это прежде всего символ. Его обычный равносторонний симметричный вид предполагает человеческое прикосновение, а близость к округлости при сохранении углов делает его еще более символичным. Это набор линий, углов, пустого и заполненного пространства.Это эстетично, геометрически. Это связующее звено, в котором материя и сознание сходятся и пересекаются.

Все символы представляют собой комбинации некоторой материи, материала или изображения (и, следовательно, энергии), которые соответствуют идее, концепции или значению и, следовательно, буквально являются точкой соединения между материей и сознанием.

Пока сознание существует где-нибудь, вся вселенная пропитана им из-за того, что вся воспринимаемая материя интерпретируется сознанием.Всякая материя потенциально и, следовательно, неизбежно символична.

Таким образом, шестиугольник — это рекурсивный символ, символ символизма, символического порядка Вселенной. Это служит напоминанием о внутренних ментальных свойствах всей материи, которые допускают существование сознательных организмов, как описано в Гексагональной Доктрине.

Однако на этом не заканчивается. Символ глубоко связан с вопросом , означающим . (Что такое символ? Символ — это то, что имеет значение.Что такое значение?) Шестиугольник — это не только символ эстетической организации Вселенной, но и символ того, что сама жизнь имеет значение.

Вопрос об экзистенциальном значении (в чем смысл жизни, в чем смысл всего?), Кажется, вполне отвечает тексту или символическому определению значения : одно означает другое, одно заменяет другое, одно становится другим, все связано, мы все едины. Текстовое переходное свойство становится пресуществлением и преобразованием, а также перевоплощением.

Эта параллель пришла мне в голову совершенно естественно, когда я смотрел на страницу значений слова «значение» в Википедии, где символическое и экзистенциальное значения перечислялись бок о бок, и поэтому стало ясно, что одно было ответом на другое … Мне неприятно думать, что это все это время он смотрел нам в лицо, и мы так и не поняли этого только потому, что никогда не исследовали наши собственные определения.

, означающее , из , означающее , означает, что что-то заменяет что-то другое, то есть взаимозаменяемость: слов, понятий, вещей, людей, душ.А в чем смысл? Это бесконечная цепочка? Дело в том, что оно охватывает все, бесконечность. Да, это бесконечная цепочка, и проблема не в этом, а в решении, в этом суть.

Наконец, там, где связь и гармония между вещами еще не установлены (например, если Бог не существует и т. Д.), Шестиугольник символизирует императив, что эта связь должна быть создана наукой и силой.

Шестиугольник — символ универсальной согласованности

Единство противоположностей (как я его понимаю) — это когда две противостоящие силы или концепции находят какой-то способ, но не для компромисса, а для фактического дополнения друг друга или даже для синтеза и интеграции своего существования в одну связную сущность.

Универсальная когерентность — это масштабная концепция, в которой единство противоположностей применяется к каждому явлению во Вселенной, что будет более подробно рассмотрено в другом месте.

Все, что я здесь намекаю, это то, что многие специалисты по дизайну заметили двойственную природу шестиугольников: как естественных, так и искусственных, как органических, так и технологических. Таким образом, шестиугольники являются символом вездесущности сознания и значимости, распределенной по всей вселенной, и должны быть постулированы рациональными, логическими, естественными, технологическими объяснениями.Это должно быть объяснено в доктрине Универсальной Связности.

Как это:

Нравится Загрузка …

Призмы с примерами

Перейти к площади или объему поверхности.

Призма — это твердый объект с:

• одинаковые концы
• плоские грани
• и тот же сечение по всей длине!

Поперечное сечение — это форма, полученная при прямом разрезе объекта.

Поперечное сечение этого объекта — треугольник …

.. одинаковое поперечное сечение по всей длине …

… значит, это треугольная призма .

Попробуйте нарисовать фигуру на куске бумага (по прямым линиям) А теперь представьте, что он выходит из листа бумаги … … это призма!

Без кривых!

Призма — это многогранник, а это значит, что все грани плоские!

Например, цилиндр не является призмой , потому что у него изогнутые стороны.

Базы

Концы призмы параллельны
и каждый называется базой.

Стороны

Боковые грани призмы — параллелограммы
(четырехсторонние формы с параллельными противоположными сторонами)

Это все призмы:

и более!

Пример: гексагональный кристалл льда.

Похоже на шестиугольник, но из-за некоторой толщины на самом деле это шестиугольная призма!

Фотография НАСА / Алексей Клятов.

Обычная и неправильная призмы

Все предыдущие примеры — это Обычные призмы , потому что поперечное сечение является правильным (другими словами, это форма с равными длинами кромок и равными углами).

Вот пример неправильной призмы :

Неправильная пятиугольная призма:
		Поперечное сечение
Это «нерегулярно», потому что Поперечное сечение не «правильной» формы.

Правая и наклонная призма

Когда два конца идеально выровнены, это правая призма, в противном случае — наклонная призма:

Площадь призмы

Площадь поверхности = 2 × Площадь основания
+ Периметр основания × Длина

Пример: какова площадь поверхности призмы, у которой площадь основания 25 м ² , периметр основания 24 м, а длина 12 м:

Площадь поверхности = 2 × Площадь основания + Периметр основания × Длина

= 2 × 25 м ² + 24 м × 12 м

= 50 м ² + 288 м ²

= 338 м ²

(Примечание: у нас есть инструмент для расчета площади)

Объем призмы

Объем призмы — это площадь одного конца, умноженная на длину призмы.

Объем = Площадь основания × Длина

Почему шестиугольники? —ArcGIS Pro | Документация

Агрегирование данных точек инцидента в сетки правильной формы используется по многим причинам, например, для нормализации географии для картирования или для смягчения проблем, связанных с использованием неправильной формы. произвольно созданные полигоны (например, границы округов или группы блоков, которые были созданы в результате политического процесса). Сетки правильной формы могут состоять только из равносторонних треугольники, квадраты или шестиугольники, так как эти три формы многоугольника — единственные три, которые могут быть мозаичными (повторение одной и той же формы снова и снова, край к краю, чтобы покрыть область без промежутков или перекрытий), чтобы создать равномерно распределенная сетка.

Хотя квадратная сетка (сетка-сетка) является преимущественно используемым типом формы в ГИС-анализе и тематическом картировании, существуют способы, которыми шестиугольники могут быть лучше подходят для вашего анализа, в зависимости от характера вашего вопроса.

Причины для рассмотрения возможности объединения в шестиугольную сетку следующие:

• Шестиугольники уменьшают смещение выборки из-за краевых эффектов формы сетки, это связано с низким отношением периметра к площади формы шестиугольника. У круга самый низкий коэффициент, но он не может разбиваться на мозаику для формирования непрерывной сетки.Шестиугольники — это многоугольники наиболее круглой формы, которые можно разбивать на мозаику для формирования равномерно распределенной сетки.
• Эта округлость шестиугольной сетки позволяет отображать кривые в шаблонах данных более естественно, чем квадратные сетки.
• При сравнении многоугольников с равными площадями, чем больше многоугольник похож на круг, тем ближе к центроиду находятся точки около границы (особенно точки около вершин). Это означает, что любая точка внутри шестиугольника ближе к центроиду шестиугольника, чем любая заданная точка в квадрате или треугольнике равной площади (это связано с более острыми углами квадрата и треугольника по сравнению с шестиугольником).
• Шестиугольники предпочтительнее, если ваш анализ включает аспекты связности или путей движения.
• Из-за линейной природы прямоугольников сетка в сетку может привлечь внимание к прямым, неразрывным, параллельным линиям, которые могут подавлять основные закономерности в данных. Шестиугольники, как правило, разбивают линии и позволяют более четко и легко увидеть любую кривизну рисунков в данных. Этот разбиение искусственных линейных узоров также уменьшает любое смещение ориентации, которое может быть замечено в сетках в сетку.
• Если вы работаете на большой площади, шестиугольная сетка будет меньше искажаться из-за кривизны земли, чем форма сетки в сетку.
• Найти соседей проще с помощью шестиугольной сетки. Поскольку край или длина контакта одинаковы с каждой стороны, центроид каждого соседа находится на одинаковом расстоянии. Однако с сеткой-сеткой центроиды соседа Ферзя (вверху / внизу / справа / слева) находятся на расстоянии N единиц, в то время как центроиды соседей по диагонали (ладья) находятся дальше (точно квадратный корень из 2 умноженных на N единиц). ).
• Поскольку расстояние между центроидами одинаково во всех шести направлениях с шестиугольниками, если вы используете диапазон расстояний для поиска соседей или используете инструменты Оптимизированный анализ горячих точек, Оптимизированный анализ выбросов или Создать пространственно-временной куб путем агрегирования точек, вы будет иметь больше соседей, включенных в расчеты для каждой функции, если вы используете гексагональную сетку, а не сетку в сетку.

Дополнительные ресурсы:

Birch, Colin P.D., Oom, Sander P., и Бичем, Джонатан А. Прямоугольные и шестиугольные сетки, используемые для наблюдений, экспериментов и моделирования в области экологии. Экологическое моделирование , Vol. 206, № 3–4. (Август 2007 г.), стр. 347–359.

---

Отзыв по этой теме?

Эзотерическое значение шестиугольника

Поскольку шестиугольник встречается повсюду в природе, организованные религии настаивают на том, что он является символом гармонии и баланса. Однако эзотерическое значение шестиугольника идет намного глубже — прямо в самую суть наших истоков.

Из всех геометрических фигур в сакральной геометрии шестиугольник, пожалуй, самый мощный и увлекательный. Он присутствует во многих духовных символах, таких как Звезда Давида, Древо Жизни в Каббале и Руна Хагаль, составленная древними племенами Северной Европы.

Звезда Давида, также известная как Печать Соломона, считается одним из самых старых когда-либо используемых символов. Хотя его происхождение неизвестно, вероятно, оно существовало задолго до того, как было включено в философию иудаизма.

Вы найдете шестиугольник в центре Звезды Давида. Это сакральная геометрия, образованная соединением двух треугольников — направленного вверх треугольника, представляющего положительную / мужскую энергию, и обращенного вниз треугольника, представляющего отрицательную / женскую энергию.

Это не означает, что мужчины положительны, а женщины отрицательны. Это просто способ выражения положительных и отрицательных зарядов в электромагнитной энергии. Созидание формируется из объединения этих противостоящих сил природы.

Например, атом состоит из положительных частиц, известных как протоны (мужская энергия), и отрицательных частиц, известных как электроны (женская энергия). Электроны «спариваются» с протонами, чтобы найти баланс. Этот процесс иногда называют «химическим союзом».

То же верно и в отношении человеческого тела и разума. Когда мы уравновешиваем свои эмоции аналитическим мышлением, мы пробуждаем силы, управляемые универсальными законами природы, и становимся творцами нашей реальности.

Строительные блоки творения

Атомы, конечно же, являются строительными блоками творения.Современная наука считает, что первые атомы возникли сразу после Большого взрыва в виде водорода. После этого они регенерировали, чтобы создать другие элементы, состоящие более чем из одного протона и одного электрона.

Это научное объяснение — одно из значений, лежащих в основе Звезды Давида. И это сердце — шестиугольник. Посмотрите на природу, и вы обнаружите, что шестиугольник — один из основных управляющих паттернов, доминирующих в мире природы.
И это тоже ядро ​​человечества.

Шестиугольник встречается в структуре ДНК. Это образование цепей, которые производят макромолекулу двойной спирали. Но шестиугольник не ограничивается Землей.

Одним из самых интересных открытий миссий НАСА «Вояджер» и «Кассини» стал облачный вихрь на Сатурне в форме шестиугольника. Таким образом, этот таинственный шестигранный узор — ткань материи как в микроскопической сфере, так и в макромире.

Но что все это значит? Что ж, для древних мудрецов, которые включили эзотерическое значение шестиугольника в свою систему сакральной геометрии, шестиконечная звезда представляла собой потенциал для жизни.

А принципы, закодированные в шестиугольнике, могут буквально изменить вашу жизнь.

Эзотерическое значение шестиугольника и плода жизни

В Каббале есть сложная система, которая использует сакральную геометрию для объяснения смысла жизни. В своей самой основной форме эта система математики и геометрических фигур известна как Сефирот — или, чаще, древо жизни.

Однако конечный продукт, прорастающий на дереве жизни, — это цветок жизни.В узорной сети кругов скрыт плод жизни, который, как говорят, открывает врата в высшее сознание.

Плод жизни состоит из 13 кругов в узоре цветка жизни. Это тот же образец, что и руна Хагеля из нордических традиций.

Число 13 также является синонимом единства и перехода между физическим царством и духовным царством.

Вот почему мы часто находим число 13, выраженное во многих древних культурах как 12 вокруг единицы:

• Иисус Христос и 12 учеников
• Король Артур и 12 рыцарей круглого стола
• 12 знаков зодиака вокруг Солнца
• 12 имамов следуют за Мухаммедом
• 12 станций жизни в колесе дхармы (13 — центр)
• 12 колен Израилевых, учеников Бога

Кроме того, 12 богов в греческих, римских и зороастрийских мифах представляют 12 архетипов личности человека.Ссылка на 13 — это человек как его истинное «я».

Мы видим это более ясно в теории психоаналитика Карла Дж. Юнга в 20 веке. Юнг выделил 12 архетипов, которые, по его мнению, являются ключевыми атрибутами, которые необходимо принять, чтобы стать завершенными. На Юнга сильно повлияли древние учения.

Когда вы проводите прямые линии через центр каждого из 13 кругов, получается шестиконечная звезда — основа шестиугольника, когда вы соединяете все стороны вместе.

Самое грубое и красивое изображение шестиугольника — шестиконечная звезда.Самая поразительная форма — это кристаллизация воды, продемонстрированная в эксперименте, проведенном доктором Масару Эмото.

В самой грубой форме это руна Хагал, составленная древними шаманами нордических племен. Этот древний символ поразительно напоминает изображение кристаллов воды. Неудивительно, что древние получили идею руны от природы.

Руна Хагала также выглядит как концептуальная звезда.Научное сообщество считает, что многие элементы, обнаруженные на Земле, изначально образовались в звездах и высвободились, когда звезды сгорели и погибли.

Мы находим тот же узор, который использовали нордические племена Северной Европы, погребенный в цветке жизни. В каббале это называется «плодом жизни». Плод жизни — это точка в вашем личном развитии, когда у вас есть платформа для преобразования вашего восприятия мира.

Плод жизни называется в христианстве «плодом духа».Согласно апостолу Павлу в послании к Галатам, плод духа относится к девяти добродетелям человека; любовь, радость, мир, терпение, доброта, доброта, верность, мягкость и самообладание.

Далее стих в Послании к Галатам 5:23 утверждает: «Против таких вещей нет закона».

Другими словами, девять атрибутов — это наша истинная природа. Когда мы овладеваем своими эмоциями, мы становимся целостными, и зеркальное отображение шестиугольника становится единым целым. Истинное Я возвращается к источнику нашего происхождения.

Хотите знать, как древняя символика может помочь вам добиться успеха в жизни?

Хотите понять тайный язык эзотерической символики? Объединитесь с Master Mind Content и изучите искусство саморазвития на одном из наших проницательных курсов символизма. Вы узнаете, что на самом деле означают эзотерические символы и как вы можете использовать этот мощный инструмент для уверенного принятия решений и улучшения качества своей жизни.

Тематическое отображение с шестиугольниками

Хотите быть «в» крутом клубе? Используйте шестиугольники для визуализации ваших данных.
За последние несколько лет мы видим все больше и больше карт, в которых используются шестиугольники. Они стали «крутыми». Почему это? Что ж, шестиугольники и другие элементы правильной формы позволяют вам нормализовать географию для тематического картирования, а не ограничиваться использованием многоугольников неправильной формы, созданных в результате политического процесса (например, границы округов, участки переписи, почтовые индексы и т. Д.). И это ОЧЕНЬ полезно из-за огромного несоответствия в некоторых из этих форм.
Например, если вы создаете тематическую карту с использованием округов США, округ, в котором я живу, непропорционально выделяется, поскольку он является самым большим округом в США и имеет площадь 20 105 квадратных миль (52070 км2) или немного больше, чем штаты Нью-Джерси, Коннектикут, Делавэр и Род-Айленд вместе взятые.Использование правильно расположенных фигур подходящего размера помогает решить эту проблему несоответствия восприятия.
Слева: Плотность населения с графствами. Справа: гексагонами показана плотность населения.
Но почему шестиугольники?
Проще говоря, шестиугольники хороши для визуализации, потому что они идеально сочетаются друг с другом и хорошо выглядят. Прямоугольники также являются хорошим способом отображения данных, и мы постоянно делаем это с растрами и данными изображений, но линейные узоры прямоугольников очень заметны при достаточно большом увеличении, чтобы их можно было увидеть.Линейные узоры в шестиугольниках не так очевидны, а формы «мягче», что делает их более привлекательными, когда вы видите контур формы. (Примечание: если вы уменьшены до мелкого масштаба, прямоугольники и шестиугольники выглядят одинаково, поэтому важен масштаб, в котором будут использоваться данные).
Слева: шестиугольники длиной 20 км, показывающие плотность мостов. Справа: прямоугольники длиной 20 км, показывающие плотность мостов.
Как присваивать данные шестиугольникам?
Присвоить данные шестиугольникам довольно просто.Вам просто нужны более подробные данные, чем масштаб ваших шестиугольников, а затем вы объединяете эти данные в свои шестиугольники. Вы просто накладываете свои исходные данные (например, набор точек, представляющих местоположения мостов) и слой шестиугольников, а затем суммируете значения, которые пересекают ваши шестиугольники. Это очень просто для точечных данных, поскольку вы берете все точки в одном шестиугольнике и указываете, как вы хотите агрегировать каждое поле в точечных данных (максимум, минимум, среднее, количество и т. Д.). Если ваши данные представлены в виде линий или многоугольников, вы также можете наложить их, но вы должны знать, что вы вводите некоторые интерполированные данные в свои результаты.(Используйте инструмент анализа «Суммировать в пределах» в ArcGIS Desktop или ArcGIS Online для агрегирования данных.)
В зависимости от экстента или ваших исходных данных вы можете захотеть выполнить агрегирование в нескольких различных масштабах. Затем вы можете создавать многомасштабные шестиугольники, которые включаются при увеличении или уменьшении масштаба карты, давая вашим конечным пользователям более динамичный опыт. Они видят только данные, подходящие для данного масштаба, и никогда не борются за их распознавание.

Скрытие источника.
Интересным аспектом этого агрегирования данных является то, что вы можете использовать его, чтобы скрыть источник данных по соображениям конфиденциальности.Например, если у вас есть список участников конференции и вы хотите показать карту, откуда они пришли, вы, вероятно, не захотите показывать их фактическое местоположение из-за проблем с конфиденциальностью. И вы можете не захотеть использовать почтовые индексы по тем же причинам. Но вы можете использовать многомасштабные шестиугольники, чтобы показать приблизительную площадь людей и даже отфильтровать результаты, чтобы отображать только шестиугольники, в которых проживает более 10 человек.
Отображение участников конференции в нескольких масштабах. Вверху: шестиугольники 500 км; Середина: шестиугольники 100 км; Внизу: шестиугольники 20 км.
А как насчет анализа?
Поскольку шестиугольники не соответствуют строго контролируемой нотации строк и столбцов (в отличие от данных растров / изображений), выполнять наложение или другой анализ с помощью шестиугольников немного сложнее. Вы, конечно, можете легко фильтровать / выбирать данные (преимущества векторных данных) и легко отображать и нормализовать данные, используя множество атрибутов и создавая новые атрибуты. Но если вы пытаетесь вычислить рельеф, интерполировать информацию или вывести тренды, лучше использовать традиционный векторный или растровый анализ.

Где взять шестиугольники для использования?
У вас есть несколько вариантов: вы можете использовать существующие шестиугольники или создать свои собственные. Для существующих данных шестиугольника выполните поиск в ArcGIS Online по ключевому слову «шестиугольник», чтобы найти данные, которые можно просто скопировать и использовать (ссылки также приведены в конце этого сообщения). Если вы не можете найти данные нужного вам масштаба, вы можете легко создать свои собственные; это сообщение в блоге содержит сценарий и инструкции. Фактически, в блоге Esri есть несколько сообщений об использовании шестиугольников, которые могут оказаться полезными, в том числе Использование техники группирования для многоуровневых веб-карт на основе точек и Новый инструмент для создания выборочных шестиугольников.

Знайте свой прогноз.
Я хочу отметить важный аспект, который следует учитывать при использовании или создании ваших шестиугольников: система проекции / координат очень важна. Поскольку вы нормализуете функции, вам необходимо убедиться, что вы используете шестиугольники, основанные на проекции равной площади (или радианах на основе сфероидов), иначе вы можете исказить визуальные результаты. Если вы в конечном итоге перепроецируете свои данные, имейте в виду, что ваши шестиугольники будут искажены с точки зрения их формы и кажущегося размера, но из-за их первоначального свойства равной площади они все равно будут эквивалентными для аналитических целей.

Шестиугольники — новая идея?
№ Использование шестиугольников в картографировании и в экологическом моделировании насчитывает много лет. Но до появления современной компьютерной картографии шестиугольные карты были чрезвычайно трудоемким продуктом. Следует отметить, что так же, как одни люди очень увлечены растрами / изображениями или участками, другие очень увлечены шестиугольниками.

—–

Ниже приведены некоторые ресурсы и примеры, которые помогут вам использовать шестиугольники для визуализации данных:
Сообщения в блогах:

Приложений:

Данные шестиугольника:

• смежные шестиугольники равной площади Альберса США

• Скрипты для создания шестиугольников

ОБНОВЛЕНИЕ: ArcGIS Online теперь включает готовые к использованию данные Hexagon, что значительно упрощает этот процесс и визуализацию.См. Это сообщение в блоге для получения дополнительной информации:
http://blogs.