Правильный двенадцатиугольник: Как построить правильный двенадцатиугольник 🚩 как выглядит начерченный семиугольник 🚩 Образование 🚩 Другое

Содержание

Двенадцатиугольник — Карта знаний

  • Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны. Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников.
Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя). Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника). Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин, и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон (смотрите рисунок справа, указанные… Площадь круга с радиусом r равна πr2.
Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к её диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1⁄2 × 2πr × r). Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами (для заданного числа n), диаметр которого равен единице (то есть любые две его точки находятся друг от друга на расстоянии, не превосходящем единицы), и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением (не уникальным) для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет. Одиннадцатиуго́льник, называемый иногда Гендекаго́н — многоугольник с одиннадцатью углами.
Одиннадцатиугольником также называют всякий предмет, имеющий такую форму. Апейрогон (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон. Шестиугольник — многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников. В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника.
Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников. Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Четырёхугольник (греч. τετραγωνον) — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.). Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеется в виду только простые четырёхугольники. Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников.
У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой. В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Подробнее: Конциклические точки

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Окружности Мальфатти — три окружности внутри заданного треугольника, такие, что каждая окружность касается двух других и двух сторон треугольника. Окружности названы именем Джанфранческо Мальфатти, который начал исследовать задачу построения этих окружностей с ошибочным убеждением, что они в сумме дают максимальную возможную площадь трёх непересекающихся окружностей внутри треугольника.
Задача Мальфатти относится к обеим задачам — как к построению окружностей Мальфатти, так и к задаче нахождения… Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками. Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп. В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины.
Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы . Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг. лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника. Почти многоугольник — это геометрия инцидентности, предложенная Эрнестом Е. Шультом и Артуром Янушкой в 1980. Шульт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрально замкнутыми системами прямых в евклидовых пространствах и классом геометрий точка/прямая, которые они назвали почти многоугольниками. Эти структуры обобщают нотацию обобщённых многоугольников, поскольку любой обобщённый 2n-угольник является почти 2n-угольником определённого вида. Почти многоугольники интенсивно изучались, а… Пери́метр (др.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); -греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина. Обобщённый многоугольник — это структура инцидентности, предложенная Жаком Титсом в 1959 году. Обобщённые n-угольники вмещают в качестве частных случаев проективные плоскости (обобщённые треугольники, n=3) и обобщённые четырёхугольники (n=4). Многие обобщённые многоугольники получаются из групп типа Ли, но существуют некоторые экзотические обобщённые многоугольники, которые таким способом не получаются. Обобщённые многоугольники, удовлетворяющие условию, известному как свойство Муфанга, полностью… Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами. Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади). Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их… Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
В геометрии плосконосый двуклиноид или сиамский додекаэдр — это трёхмерный выпуклый многогранник с двенадцатью правильными треугольниками в качестве граней. Многогранник не является правильным, поскольку в некоторых вершинах сходятся четыре грани, а в остальных — пять граней. Многогранник является двенадцатигранником, одним из восьми дельтаэдров (выпуклых многогранников с гранями в виде правильных треугольников) и одним из 92 многогранников Джонсона (неоднородные выпуклые многогранники с правильными… Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно. Задача Наполеона — знаменитая задача построения с помощью циркуля. В этой задаче дана окружность и её центр. Задача состоит в делении окружности на четыре равных дуги с помощью только циркуля.
Наполеон был известным любителем математики, но неизвестно, он ли придумал или решил эту задачу. Друг Наполеона итальянский математик Лоренцо Маскерони придумал при геометрических построениях ограничение на использование только циркуля (не использовать линейку). Но, фактически, задача выше является более простой… Центр подобия (или центр гомотетии) — это точка, из которой по меньшей мере две геометрически подобные фигуры можно видеть как масштабирование (растяжение/сжатие) друг друга. Если центр внешний, две фигуры похожи друг на друга прямо — их углы одни и те же в смысле вращения. Если центр внутренний, две фигуры являются изменёнными в размерах отражениями друг друга — их углы противоположны. Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Семиуго́льник, называемый иногда гептагон — многоугольник с семью углами. Семиугольником также называют всякий предмет такой формы. Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это окружность, которая касательна каждой стороны многоугольника. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины. Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. В геометрии гиробифастигиум или двускатный повёрнутый бикупол является 26-м многогранником Джонсона (J26). Его можно построить объединением двух треугольных призм с правильными гранями по соответствующим квадратным граням с поворотом одной призмы на 90º . Это единственное тело Джонсона, которым можно заполнить трёхмерное пространство. В гиперболической геометрии гиперболический треугольник является треугольником на гиперболической плоскости. Он состоит из трёх отрезков, называемых сторонами или рёбрами, и трёх точек, называемых углами или вершинами. Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например… Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Подробнее: Правильный четырёхмерный многогранник

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника. Пятиугольный паркет — в геометрии: замощение, составленное из выпуклых пятиугольников. Замощение из правильных пятиугольников в евклидовом пространстве невозможно, поскольку общий угол правильного пятиугольника равен 108° и не делит ни 180°, ни 360°. Однако, ими можно замостить гиперболическую плоскость и сферу. В геометрии n-угольный осоэдр — это такая мозаика из двуугольников на сферической поверхности, что каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками. Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

Правильный многоугольник — Карта знаний

  • Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

    Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя). Площадь круга с радиусом r равна πr2. Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к её диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1⁄2 × 2πr × r). Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника). Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин, и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон (смотрите рисунок справа, указанные… Окружности Мальфатти — три окружности внутри заданного треугольника, такие, что каждая окружность касается двух других и двух сторон треугольника. Окружности названы именем Джанфранческо Мальфатти, который начал исследовать задачу построения этих окружностей с ошибочным убеждением, что они в сумме дают максимальную возможную площадь трёх непересекающихся окружностей внутри треугольника. Задача Мальфатти относится к обеим задачам — как к построению окружностей Мальфатти, так и к задаче нахождения… Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Упоминания в литературе

Эту задачу можно решить с помощью квадратов, прямоугольников, треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Возможно, вы полагаете, что с таким же успехом годятся и другие многоугольники – попробуйте, и вы убедитесь, что других возможностей не существует. Пяти-, семи и восьмиугольники, как и остальные правильные многоугольники, не совмещаются друг с другом таким образом, чтобы не оставалось свободного пространства. Книга Вейля перечисляет все математически возможные решения – в общей сложности 17 для двух измерений (так называемые «узоры обоев») и 230 для трех. Разумеется, для любого практического применения таких чисел мне, вероятно, хватит и приближения, выраженного дробью. Большинство инженеров вполне успешно использует вместо числа π его оценку 22/7, которую Архимед получил путем приближения окружности 96-сторонним правильным многоугольником. Собственно говоря, чтобы вычислить длину окружности размером с наблюдаемую часть Вселенной с точностью, сравнимой с размерами атома водорода, достаточно знать всего 39 знаков π. Существует даже формула, позволяющая узнать значение миллионного знака π без вычисления всех предшествующих ему знаков. Не то чтобы мне так уж хотелось их знать. Но такая формула позволяет достичь лишь конечного знания числа, полное познание которого требует бесконечности. Рассматриваемая в качестве космологической диаграммы, Ваступуруша-мандала отражает и координирует циклы Солнца и Луны[35]; можно было бы сказать, что расходящиеся ритмы этих двух основных циклов отражают бесконечно варьируемую тему становления. В известном смысле, мир продолжает существовать потому, что Солнце и Луна, «мужское» и «женское», не объединены друг с другом, то есть потому, что их соответствующие циклы не совпадают. Оба типа мандалы подобны двум взаимодополняющим формам разрешения обоих циклов в едином вечном порядке. Благодаря этому космологическому аспекту Ваступуруша-мандала отражает иерархию божественных функций. Различные «аспекты» бытия, а также и разнообразные действия Мирового Духа, космического проявления бытия, действительно могут быть представлены как направления, включенные в совокупность пространства, или как грани правильного многоугольника, симметрия которых обнаруживает единство их общего принципа. Вот почему Ваступуруша-мандала является также печатью Вираджа, космического Разума, проистекающего из величайшего Пуруши.[36]

Связанные понятия (продолжение)

Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами (для заданного числа n), диаметр которого равен единице (то есть любые две его точки находятся друг от друга на расстоянии, не превосходящем единицы), и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением (не уникальным) для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет. Обобщённый многоугольник — это структура инцидентности, предложенная Жаком Титсом в 1959 году. Обобщённые n-угольники вмещают в качестве частных случаев проективные плоскости (обобщённые треугольники, n=3) и обобщённые четырёхугольники (n=4). Многие обобщённые многоугольники получаются из групп типа Ли, но существуют некоторые экзотические обобщённые многоугольники, которые таким способом не получаются. Обобщённые многоугольники, удовлетворяющие условию, известному как свойство Муфанга, полностью… Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их… Почти многоугольник — это геометрия инцидентности, предложенная Эрнестом Е. Шультом и Артуром Янушкой в 1980. Шульт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрально замкнутыми системами прямых в евклидовых пространствах и классом геометрий точка/прямая, которые они назвали почти многоугольниками. Эти структуры обобщают нотацию обобщённых многоугольников, поскольку любой обобщённый 2n-угольник является почти 2n-угольником определённого вида. Почти многоугольники интенсивно изучались, а… Шестиугольник — многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп. Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников. В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников. В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Подробнее: Конциклические точки

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади). Пери́метр (др.-греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина. Апейрогон (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон. Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками. Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Подробнее: Правильный четырёхмерный многогранник

В вычислительной геометрии известна задача об определении принадлежности точки многоугольнику. На плоскости даны многоугольник и точка. Требуется решить вопрос о принадлежности точки многоугольнику.

Подробнее: Задача о принадлежности точки многоугольнику

Четырёхугольник (греч. τετραγωνον) — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.). Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеется в виду только простые четырёхугольники. Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Комплексный многогранник — это обобщение многогранника в вещественном пространстве на аналогичную структуру в комплексном гильбертовом пространстве, где к каждой вещественной размерности добавляется мнимая. Одиннадцатиуго́льник, называемый иногда Гендекаго́н — многоугольник с одиннадцатью углами. Одиннадцатиугольником также называют всякий предмет, имеющий такую форму. Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например… Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг. лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника. В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы . Многоугольник Петри для правильного многогранника в размерности n — это пространственный многоугольник, такой что любые (n-1) последовательных ребра (но не n) принадлежат одной (n-1)-мерной грани. Построение выпуклой оболочки методом «разделяй и властвуй» — алгоритм построения выпуклой оболочки.

Подробнее: Алгоритм Киркпатрика

В геометрии n-угольный осоэдр — это такая мозаика из двуугольников на сферической поверхности, что каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками. Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами. Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороны которого и площадь являются рациональными числами. Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это окружность, которая касательна каждой стороны многоугольника. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины. Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника. Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии. Формулировка гипотезы… Простой многоугольник — это фигура, состоящая из непересекающихся отрезков («сторон»), соединённых попарно с образованием замкнутого пути. Если стороны пересекаются, многоугольник не является простым. Часто слово «простой» опускается из вышеприведённого определения. Центр подобия (или центр гомотетии) — это точка, из которой по меньшей мере две геометрически подобные фигуры можно видеть как масштабирование (растяжение/сжатие) друг друга. Если центр внешний, две фигуры похожи друг на друга прямо — их углы одни и те же в смысле вращения. Если центр внутренний, две фигуры являются изменёнными в размерах отражениями друг друга — их углы противоположны. Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой. В геометрии плосконосый двуклиноид или сиамский додекаэдр — это трёхмерный выпуклый многогранник с двенадцатью правильными треугольниками в качестве граней. Многогранник не является правильным, поскольку в некоторых вершинах сходятся четыре грани, а в остальных — пять граней. Многогранник является двенадцатигранником, одним из восьми дельтаэдров (выпуклых многогранников с гранями в виде правильных треугольников) и одним из 92 многогранников Джонсона (неоднородные выпуклые многогранники с правильными… Теорема Кейси или Кэзи — теорема в евклидовой геометрии, обобщающая неравенство Птолемея. Названа по имени ирландского математика Джона Кейси.

Додекагон — Dodecagon — qaz.wiki

Многоугольник с 12 гранями

В геометрии , A двенадцатиугольник или 12-угольника является любой двенадцать-сторонний многоугольник .

Правильный двенадцатигранник

Регулярная двенадцатиугольник является фигура со сторонами той же длины и внутренних углов одного и того же размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник , t {6}, или дважды усеченный треугольник , tt {3 }. {\ circ}})}

Периметр

Периметр регулярного двенадцатиугольника с точкой зрения является описанной окружностью:

пзнак равно24рзагар⁡(π12)знак равно12р2-3≃6,21165708246р{\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 12R {\ sqrt {2 — {\ sqrt {3}}}} \\ & \ simeq 6.21165708246 \, R \ end {выровнено}}}

Периметр в терминах апофемы:

пзнак равно24рзагар⁡(π12)знак равно24р(2-3)≃6,43078061835р{\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24r \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 24r (2 — {\ sqrt {3}}) \\ & \ simeq 6.43078061835 \, r \ end {выровнено}}}

Этот коэффициент вдвое больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади.

Додекагон конструкция

Поскольку 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатигранник можно построить с помощью построения циркуля и линейки :

Рассечение

Изотоксальный додекагон

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для регулярного Двенадцатиугольника , т = 6, и он может быть разделен на 15: 3, 6 квадратах ширина 30 ° ромбов и 6 узких 15 ° ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Один из способов использования блоков математических манипуляций — создание ряда различных додекагонов. Они связаны с ромбическим рассечением, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольными трапециями или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 обозначает отсутствие симметрии. Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны.

Регулярно двенадцатиугольник имеет DIH 12 симметрии, порядка 24. Есть 15 различных подгруппы двугранные и циклические симметрии. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Вхождение

Плитка

Правильный двенадцатигранник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками 4 способами:

3.12.12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик , в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин :

Наклонный двенадцатигранник

Перекос двенадцатиугольник является перекос многоугольник с 12 вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. Перекос зигзагообразный двенадцатиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос двенадцатиугольник является вершиной-симметрический с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D 5d , [2 + , 10], порядка 20. Додекаграммная антипризма , s { 2,24 / 5} и додекаграммная скрещенная антипризма , s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

Полигоны Петри

Правильный двенадцатиугольник — это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера . Примерами в 4 измерениях являются 24-клеточная , курносая 24-клеточная , 6-6 дуопризма , 6-6 дуопирамида . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большой 120-клеточной и большой звездчатой ​​120-клеточной .

Связанные цифры

Dodecagram представляет собой 12-сторонний многоугольник , звезда, представленный символом {12 / N}. Есть один правильный звездообразный многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника , и {12/3} уменьшается до 3 {4} как три квадрата , {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников .

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}.

Вершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Квазирегулярный Изогональный Квазирегулярный

t {6} = {12}

т {6/5} = {12/5}

Примеры в использовании

В заглавных буквах буквы E , H и X (и I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатигранный контур. Крест является двенадцатиугольником, как логотип для Chevrolet автомобильного подразделения.

Обычный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре — дель — Оро является двенадцатиугольными военная вышка в Севилье , на юге Испании , построенный династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример — Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция».

Британский три пенса 1942 года, реверс

Обычные двенадцатиугольные монеты включают в себя:

На Филиппинах на местных карнавалах (перяхан) обычно используются колеса обозрения на 12 мест или гондолы.

Смотрите также

Примечания

внешние ссылки

Двенадцатиугольник — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный додекагон

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°).2. \end{align} </math>

Монеты

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

См. также

Напишите отзыв о статье «Двенадцатиугольник»

Ссылки

  • [mathworld.wolfram.com/Dodecagon.html Додекагон] на MathWorld
  • [www.mathopenref.com/dodecagon.html Dodecagon (12-gon)]
Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники
и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники {3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

Отрывок, характеризующий Двенадцатиугольник

Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n’avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.

Правильный 65537-угольник — это… Что такое Правильный 65537-угольник?

Правильный 65537-угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 углов и 65537 сторон. По причине малости центрального угла в графическом изображении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию справа).

Построение

Отличительная особенность 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65537 — это самое большое известное простое число Ферма:

.

Гауссом в 1836 году было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители n являются различными числами Ферма. В 1836 П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 же году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц [1] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением.[2]

Пропорции

Углы

Центральный угол равен   .

Внутренний угол равен   .

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически не представимой фигуры:

  • Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

Обоснование  

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной — перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной — отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдем какой длины она должна быть чтобы образовать с поверхностью угол , равный центральному углу правильного 65537-угольника: он будет равен отношению высоты, на которую подняли ли один край жерди к углу, который жердь образовала с поверхностью

  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м.
  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей (диаметр каждой из которых будет около 10 км) составит всего лишь около 0,024 мм.
  • Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Ссылки

  1. Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 3: 170–186. (нем.)
  2. Дж. Литлвуд Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4

Презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему: Алгоритмы построения правильных многоугольников

3. Алгоритм построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

Следующий алгоритм построения правильных многоугольников основан на свойствах  описанной окружности около правильного многоугольника и  вписанной в правильный многоугольник.

                                                   

Теорема 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема 2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается 

сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот многоугольник  

Для построения правильных n – угольников при n › 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 1. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

 

Решение.  

Для решения задачи воспользуемся формулой а 6 = R. Пусть а – данный отрезок.

Алгоритм построения.

1.Построим окружность радиуса а.

2. Отметим на ней произвольную точку А1.

3. Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2 ,  А3 , А4 , А5 , А6 так, чтобы выполнялись равенства

А1 А2 =  А2 А3 = А3 А4  = А4 А5 = А5 А6 

4.Соединим последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник

А1 А2 А3 А4 А5 А6

Задача 2. Дан правильный n – угольник. Построить правильный

                2n – угольник.

Решение. Пусть А1 А2 … А n  — данный правильный n – угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса О А1.

Для решения задачи достаточно разделить дуги А1 А2 , А2 А3, …, А n А1 пополам и каждую из точек деления В1,В2 ,… ,В n  соединить отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1,В2 ,… ,В n  можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного

n – угольника. По такому алгоритму построим правильный двенадцатиугольник  А1В1 А2В2  А3В3  А4В4 А5В5  А6В6

Применяя указанный алгоритм, можно построить целый ряд правильных n – угольников, если построен один из них. Например, построив правильный  шестиугольник, можно построить правильный двенадцатииугольник, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2 К – угольник, где к – любое целое число.  

Dodecagon — определение математического слова

Dodecagon — определение математического слова — Math Open Reference Определение: многоугольник с 12 сторонами. Попробуй это Отрегулируйте двенадцатигранник ниже, перетащив любую оранжевую точку. Нажав на верхнюю левую командную строку, вы можете переключать его между регулярные и неправильный двенадцатигранник.

Свойства правильных додекагонов

Внутренний угол 150 ° Как и любой правильный многоугольник, чтобы найти внутренний угол, мы используем формулу (180н – 360) / л.Для двенадцатиугольника n = 12. См. Внутренние углы многоугольника
Внешний угол 30 ° Чтобы найти внешний угол правильного двенадцатиугольника, мы используем тот факт, что внешний угол образует линейная пара с внутренним углом, поэтому в целом он определяется формулой 180-внутренний угол. См. Внешние углы многоугольника
Площадь 11,196 с 2
приблизительно
Где S — длина стороны.Чтобы найти точную площадь двенадцатиугольника или любого многоугольника, используя различные методы, см. Площадь правильного многоугольника и Площадь неправильного многоугольника

Свойства всех додекагонов

Количество диагоналей 54 Количество различных диагоналей, возможных для всех вершин. (Обычно ½n (n – 3)). На рисунке выше нажмите «показать диагонали», чтобы увидеть их. См. Диагонали многоугольника
Количество треугольников 10 Количество треугольников, созданных путем рисования диагоналей из заданной вершины.(В общем n – 2). На рисунке выше нажмите «показать треугольники», чтобы увидеть их. Увидеть треугольники многоугольника
Сумма внутренних углов 1800 ° Обычно 180 (n – 2) градусов. См. Внутренние углы многоугольника

Додекагональные монеты

Додекагоны редко встречаются в повседневной жизни. Однако в Австралии есть монеты в форме двенадцатиугольника. Ниже представлена ​​12-сторонняя австралийская монета 50 центов.

Другие полигоны

Общий

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

правильный двенадцатигранник Википедия

Многоугольник с 12 гранями

В геометрии двенадцатигранник или 12-угольник — это любой двенадцатигранный многоугольник.

Правильный двенадцатигранник []

Правильный двенадцатигранник — это фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник, t {6}, или дважды усеченный треугольник, tt {3 }. Внутренний угол в каждой вершине правильного двенадцатиугольника составляет 150 °.

Площадь []

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a определяется по формуле:

A = 3cot⁡ (π12) a2 = 3 (2 + 3) a2≃11.{\ circ}})}

Периметр []

Периметр правильного двенадцатиугольника по радиусу описанной окружности равен: [2]

p = 24Rtan⁡ (π12) = 12R2−3≃6.21165708246R {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 12R { \ sqrt {2 — {\ sqrt {3}}}} \\ & \ simeq 6.21165708246 \, R \ end {align}}}

Периметр в терминах апофемы:

p = 24rtan⁡ (π12) = 24r (2−3) ≃6.43078061835r {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24r \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 24r (2 — {\ sqrt {3}}) \\ & \ simeq 6.43078061835 \, r \ end {align}}}

Этот коэффициент в два раза больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади. [3]

Конструкция Dodecagon []

Поскольку 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью построения циркуля и линейки:

Рассечение []

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 м -угольника, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на м ( м -1) / 2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного двенадцатигранника m = 6, и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30 ° и 6 узких ромбов 15 °. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Один из способов использования блоков математических манипуляций — это создание ряда различных додекагонов. [5] Они связаны с ромбическими рассечениями, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия []

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 метки без симметрии. Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны. [6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih 12 , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий.Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но видна как направленные грани.

Происшествие []

Черепица []

Правильный двенадцатигранник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками 4 способами:

3.12.12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик, в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин:

Наклонный двенадцатигранник []

Наклонный двенадцатигранник — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, который не находится в одной плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. Наклонный зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой двенадцатигранник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер.В трехмерном пространстве это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D 5d , [2 + , 10], порядка 20. Додекаграмма. антипризма s {2,24 / 5} и додекаграмма скрещенная антипризма s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

полигонов Петри []

Правильный двенадцатигранник — это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера. Примерами в 4 измерениях являются 24-клеточная, курносая 24-клеточная, 6-6 дуопризма, 6-6 дуопирамида.В 6 измерениях 6-куб, 6-ортоплекс, 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большой 120-клеточной и большой звездчатой ​​120-клеточной.

Связанные рисунки []

Додекаграмма — это 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один правильный звездообразный многоугольник: {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника, и {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадрата, {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников.

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}. [7]

Вершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Квазирегулярный Изогональный Квазирегулярный

т {6} = {12}

т {6/5} = {12/5}

Примеры использования []

В заглавных буквах буквы E, H и X (а также I в плоском шрифте с засечками) имеют двенадцатигранный контур.Крест — это двенадцатигранник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet.

Правильный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре дель Оро — это двенадцатигранная военная сторожевая башня в Севилье, на юге Испании, построенная династией Альмохадов. Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии, Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример — Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло, Италия, построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция». Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки []

двенадцатиугольник Википедия

Многоугольник с 12 гранями

В геометрии двенадцатигранник или 12-угольник — это любой двенадцатигранный многоугольник.

Правильный двенадцатигранник []

Правильный двенадцатигранник — это фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами.Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник, t {6}, или дважды усеченный треугольник, tt {3 }. Внутренний угол в каждой вершине правильного двенадцатиугольника составляет 150 °.

Площадь []

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a определяется по формуле:

A = 3cot⁡ (π12) a2 = 3 (2 + 3) a2≃11. {2} \\ & \ simeq 11.{\ circ}})}

Периметр []

Периметр правильного двенадцатиугольника по радиусу описанной окружности равен: [2]

p = 24Rtan⁡ (π12) = 12R2−3≃6.21165708246R {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 12R { \ sqrt {2 — {\ sqrt {3}}}} \\ & \ simeq 6.21165708246 \, R \ end {align}}}

Периметр в терминах апофемы:

p = 24rtan⁡ (π12) = 24r (2−3) ≃6.43078061835r {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24r \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 24r (2 — {\ sqrt {3}}) \\ & \ simeq 6.43078061835 \, r \ end {align}}}

Этот коэффициент в два раза больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади. [3]

Конструкция Dodecagon []

Поскольку 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью построения циркуля и линейки:

Рассечение []

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 м -угольника, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на м ( м -1) / 2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного двенадцатигранника m = 6, и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30 ° и 6 узких ромбов 15 °. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Один из способов использования блоков математических манипуляций — это создание ряда различных додекагонов. [5] Они связаны с ромбическими рассечениями, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия []

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 метки без симметрии. Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны. [6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih 12 , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий.Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но видна как направленные грани.

Происшествие []

Черепица []

Правильный двенадцатигранник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками 4 способами:

3.12.12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик, в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин:

Наклонный двенадцатигранник []

Наклонный двенадцатигранник — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, который не находится в одной плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. Наклонный зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой двенадцатигранник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер.В трехмерном пространстве это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D 5d , [2 + , 10], порядка 20. Додекаграмма. антипризма s {2,24 / 5} и додекаграмма скрещенная антипризма s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

полигонов Петри []

Правильный двенадцатигранник — это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера. Примерами в 4 измерениях являются 24-клеточная, курносая 24-клеточная, 6-6 дуопризма, 6-6 дуопирамида.В 6 измерениях 6-куб, 6-ортоплекс, 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большой 120-клеточной и большой звездчатой ​​120-клеточной.

Связанные рисунки []

Додекаграмма — это 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один правильный звездообразный многоугольник: {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника, и {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадрата, {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников.

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}. [7]

Вершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Квазирегулярный Изогональный Квазирегулярный

т {6} = {12}

т {6/5} = {12/5}

Примеры использования []

В заглавных буквах буквы E, H и X (а также I в плоском шрифте с засечками) имеют двенадцатигранный контур.Крест — это двенадцатигранник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet.

Правильный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре дель Оро — это двенадцатигранная военная сторожевая башня в Севилье, на юге Испании, построенная династией Альмохадов. Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии, Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример — Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло, Италия, построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция». Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки []

двенадцатиугольник Википедия

Многоугольник с 12 гранями

В геометрии двенадцатигранник или 12-угольник — это любой двенадцатигранный многоугольник.

Правильный двенадцатигранник []

Правильный двенадцатигранник — это фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами.Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник, t {6}, или дважды усеченный треугольник, tt {3 }. {2} \\ & \ simeq 11.{\ circ}})}

Периметр []

Периметр правильного двенадцатиугольника по радиусу описанной окружности равен: [2]

p = 24Rtan⁡ (π12) = 12R2−3≃6.21165708246R {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 12R { \ sqrt {2 — {\ sqrt {3}}}} \\ & \ simeq 6.21165708246 \, R \ end {align}}}

Периметр в терминах апофемы:

p = 24rtan⁡ (π12) = 24r (2−3) ≃6.43078061835r {\ displaystyle {\ begin {align} p & = 24r \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 24r (2 — {\ sqrt {3}}) \\ & \ simeq 6.43078061835 \, r \ end {align}}}

Этот коэффициент в два раза больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади. [3]

Конструкция Dodecagon []

Поскольку 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью построения циркуля и линейки:

Рассечение []

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 м -угольника, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на м ( м -1) / 2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного двенадцатигранника m = 6, и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30 ° и 6 узких ромбов 15 °. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Один из способов использования блоков математических манипуляций — это создание ряда различных додекагонов. [5] Они связаны с ромбическими рассечениями, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия []

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 метки без симметрии. Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны. [6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih 12 , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий.Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но видна как направленные грани.

Происшествие []

Черепица []

Правильный двенадцатигранник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками 4 способами:

3.12.12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик, в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин:

Наклонный двенадцатигранник []

Наклонный двенадцатигранник — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, который не находится в одной плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. Наклонный зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой двенадцатигранник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер.В трехмерном пространстве это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D 5d , [2 + , 10], порядка 20. Додекаграмма. антипризма s {2,24 / 5} и додекаграмма скрещенная антипризма s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

полигонов Петри []

Правильный двенадцатигранник — это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера. Примерами в 4 измерениях являются 24-клеточная, курносая 24-клеточная, 6-6 дуопризма, 6-6 дуопирамида.В 6 измерениях 6-куб, 6-ортоплекс, 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большой 120-клеточной и большой звездчатой ​​120-клеточной.

Связанные рисунки []

Додекаграмма — это 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один правильный звездообразный многоугольник: {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника, и {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадрата, {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников.

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}. [7]

Вершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Квазирегулярный Изогональный Квазирегулярный

т {6} = {12}

т {6/5} = {12/5}

Примеры использования []

В заглавных буквах буквы E, H и X (а также I в плоском шрифте с засечками) имеют двенадцатигранный контур.Крест — это двенадцатигранник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet.

Правильный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре дель Оро — это двенадцатигранная военная сторожевая башня в Севилье, на юге Испании, построенная династией Альмохадов. Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии, Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример — Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло, Италия, построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция». Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки []

Инфогалактика: ядро ​​планетарного знания

В геометрии додекагон — это любой 12-сторонний многоугольник или 12-угольник.

Обычный двенадцатигранник

Правильный додекагон имеет символ Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник, t {6}, или дважды усеченный треугольник, tt {3}.

У него все стороны равной длины и все углы равны 150 °. Он имеет 12 линий симметрии и вращательную симметрию 12-го порядка. Его символ Шлефли — {12}.

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной и определяется по формуле:

Или, если R — радиус описанной окружности, [1]

А, если r — радиус вписанной окружности,

Простая формула для площади (с учетом двух измерений): где d — расстояние между параллельными сторонами.

Длина d — это высота двенадцатиугольника, когда он находится на одной стороне в качестве основания, и диаметр вписанной окружности.

Путем простой тригонометрии.

Периметр вписанного двенадцатиугольника радиуса 1 равен 12√ (2 — √3), или приблизительно 6,21165708246. [2]

Периметр описанного двенадцатиугольника радиуса 1 равен 24 (2 — √3), или приблизительно 6,43078061835. Интересно, что это вдвое больше площади вписанного двенадцатиугольника радиуса 1. [3]

Что касается вышеперечисленных уравнений для площади и периметра, когда радиус вписанного двенадцатиугольника равен 1, обратите внимание, что площадь вписанного двенадцатиугольника равна 12 (2 — √3), а периметр того же вписанного двенадцатиугольника равно 12√ (2 — √3).

Конструкция Dodecagon

Поскольку 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки:


Построение правильного двенадцатиугольника

Рассечение

Коксетер утверждает, что каждый параллельный 2 m -угольник можно разделить на m (m-1) / 2 ромба.Для двенадцатиугольника м = 6, и его можно разделить на 15 ромбов, с одним примером, показанным ниже. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. [4]

Рассечение правильных додекагонов

С шестиугольниками, квадратами и треугольниками

блоков шаблонов

С 15 ромбами из 6-куба

С 15 ромбами

Один из способов использования математических манипулятивных блоков паттернов — создание ряда различных додекагонов. [5]

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 метки без симметрии.Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны. [6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih 12 , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но видна как направленные грани.

происшествие

Плитка

Правильный двенадцатиугольник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

3.12,12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик, в которых используются правильные додекагоны, определяемые их конфигурацией вершин:

Связанные цифры

Додекаграмма — это 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один правильный звездообразный многоугольник: {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника, и {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадрата, {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников.

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}. [7]

Вершинно-переходные усечения шестиугольника
Квазирегулярный Изогональный Квазирегулярный

т {6} = {12}

т {6/5} = {12/5}

Полигоны Петри

Правильный двенадцатигранник — это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера, в том числе:

Это также многоугольник Петри для большой 120-элементной и большой звездчатой ​​120-элементной.

Примеры использования

В заглавных буквах буквы E, H и X (а также I в плоском шрифте с засечками) имеют двенадцатигранный контур. Крест — это двенадцатигранник.

Правильный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре дель Оро — это двенадцатигранная военная сторожевая башня в Севилье, на юге Испании, построенная династией Альмохадов. Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии, Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример — Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло, Италия, построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция».

Британский три пенса 1942 года, реверс

Обычные двенадцатигранные монеты включают:

См. Также

Банкноты

  1. ↑ См. Также геометрическое доказательство Кюршака на Демонстрационном проекте Вольфрама
  2. Плоская геометрия: эксперимент, классификация, открытие, приложение Кларенса Аддисона Уиллиса Б., (1922) Blakiston’s Son & Company, стр. 249 [1]
  3. Элементы геометрии Джона Плейфэра, Уильяма Уоллеса, Джона Дэвидсона, (1814) Bell & Bradfute, стр.243 [2]
  4. ↑ Кокстер, Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, с.141
  5. ↑ «Doin ‘Da’ Dodeca ‘» на mathforum.org
  6. ↑ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус, (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275 -278)
  7. ↑ The Light Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreative Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons , Branko Grünbaum
  8. .

Внешние ссылки

Wikizero — Dodecagon

Из Википедии — бесплатная энциклопедия

Многоугольник с 12 ребрами

В геометрии двенадцатигранник или 12-угольник — это любой двенадцатигранный многоугольник.