Описанный около окружности правильный шестиугольник: Шестиугольник описанный около окружности построение

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОК-РУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Вписанные многоугольники.

Задание: Дано изображение АВС произвольного треугольника А₁В₁С₁, вписанного в окружность. Построить изображение высоты треугольника и биссектрисы, проведенных из вершины В₁.

чертеж — оригинал

1. K₁L₁A₁C₁, OK₁L₁.

2. M₁N₁K₁L₁, O M₁N₁.

3. B

   ₁D₁M₁N₁, D₁=(B₁D₁)(A₁C₁)

4. N1 – делит пополам дугу А₁С₁, следовательно B₁N₁ – биссектриса A₁B₁C₁. P₁=(B₁N₁)(A₁C₁).

5. B₁P₁ – искомая биссектриса, B₁D₁— искомая высота.

изображение

Соответственные построения проводим на изображении АВС треугольника А₁В₁С₁, вписанного в окружность.

Задание: построить изображение касательной к окружности в точке А.

1. Строим эллипс с центром в точке О.

2. Проводим диаметр

   АВ и сопряженный ему диаметр DC.

3. Проводим АКDC

4. АК – искомая касательная.

Задание: построить изображение прямоугольного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

Задание: построить изображение равнобедренного треугольника.

чертеж — оригинал изображение

1. В₁D₁A₁C₁, A₁C₁ – основание треугольника, F₁ – середина стороны А₁С₁, А₁В₁С₁ – искомый равнобедренный (остроугольный) треугольник.

2. В₁D₁₁N₁, M₁N₁ – основание треугольника, O₁ – середина стороны

   M₁N₁, M₁В₁N₁ – искомый равнобедренный (прямоугольный) треугольник.

3. В₁D₁K₁L₁, K₁L₁ – основание треугольника, K₁В₁L₁ – искомый равнобедренный (тупоугольный) треугольник.

Для построения изображения равнобедренного треугольника достаточно построить два сопряженных диаметра. В случае остроугольного и тупоугольного равнобедренных треугольников строят хорду параллельную одному из сопряженных диаметров, которая послужит основанием треугольника. В случае, когда речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, один из сопряженных диаметров послужит основанием искомого треугольника.

Вершина искомого треугольника будет лежать на конце другого диаметра.

Задание: построить изображение правильного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

А₁С₁В₁F₁,

D₁ – середина [О₁F₁], D₁ = В₁F₁F₁C₁.

Задание: построить изображение прямоугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

А₁С₁ и B₁D₁ два произвольных диаметра.

Задание: построить изображение вписанной в окружность равнобокой трапеции.

чертеж – оригинал изображение

Задание: построить изображение квадрата вписанного в окружность.

чертеж – оригинал изображение

Строим два сопряженных диаметра, A₁C₁B₁D₁.

Задание: построить изображение правильного шестиугольника вписанного в окружность

чертеж – оригинал

1. Проведем ω(О; ОА₁), (А₁А₄) (MN), О = (А₁А₄) (MN), ОА₁ = R.

2. Находим середину [А₁О]: А₁Р = РО.

3. (А₂А₆) (А₁А₄), Р = (А₁А₄) (А₂А₆).

4. Находим середину [ОА₄]: ОК =КА₄.

5. (А₃А₅) (А₁А₄), К = (А₁А₄) (А₃А₅).

6. Получаем многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆

изображение

1.Строим эллипс (с центром О).

2. Строим произвольный диаметр

А′₁А′₄ и сопряженный ему диаметр MN.

3. Находим середину [А′₁О]: А′₁Р = РО.

4. А′₂А′₆MN, РА′₂А′₆.

5. Находим середину [А′₄О]: ОК = КА′_4.

6. А′₃А′₅MN, КА′₃А′₅.

7. А₁′А₂

′А₃′А₄′А₅′А₆′ является искомым правильным шестиугольником.

Описанные многоугольники.

Задание: построить изображение описанного около окружности прямоугольного треугольника.

чертеж — оригинал изображение

1. Строим окружность ω(О₁, О₁N₁).

2. К₁L₁M₁N

   ₁, О₁ = К₁L₁M₁N₁.

3. L₁A₁C₁, A₁C₁M₁N₁, N₁B₁C₁, B₁C₁₁L₁, A₁C₁B₁C₁.

4. A₁B₁C₁ – искомый прямоугольный треугольник.

Для построения изображения описанного около окружности прямоугольного треугольника используют тот факт, что его катеты это касательные к окружности в концах двух его сопряженных диаметров.

чертеж — оригинал изображение

1. Строим эллипс с центром в точке О и два сопряженных диаметра MN и KL.

2. Из точки В, лежащей на продолжении диаметра KL, проводим две касательные (Р и Q – точки касания) до пересечения с прямой АС (АСMN).

3. Треугольник АВС является искомым равнобедренным треугольником.

Задание: построить изображение описанного около окружности равностороннего треугольника.

чертеж — оригинал изображение

Построение равностороннего треугольника аналогично построению равнобедренного треугольника. За исключением того, что здесь точку В выбирают не произвольно, а так, чтобы OL = LB.

Задание: построить изображение описанного около окружности квадрата.

чертеж — оригинал изображение

Стороны квадрата лежат на касательных к окружности, проходящих в концах сопряженных диаметром MN и KL. Точки касания делят стороны описанного квадрата пополам.

Задание: построить изображение ромба описанного около окружности.

чертеж — оригинал изображение

Диагоналям ромба АС и BD принадлежат сопряженные диаметры эллипса KL и MN соответственно. Одну из вершин ромба выбираем произвольно, например, вершину С. Из этой вершины проводим касательные отрезки. Например, отрезок CD касается эллипса в точке Р.

Замечание: точка Р не должна делить отрезок CD пополам, иначе, получим изображение описанного квадрата.

Задание: построить изображение описанной около окружности равнобокой трапеции.

чертеж — оригинал изображение

Первый способ:

При построении изображения описанной около окружности равнобокой трапеции стоит учитывать, что диаметр K₁L₁ перпендикулярен основаниям В₁С₁ и А₁D₁и делит их пополам.

Строим касательные к эллипсу, проходящие через точки К и L, параллельные диаметру MN (MN и KL сопряженные диаметры). Откладываем два равных отрезка КВ и КС, так чтобы КС был меньше ON. Через точки В и С проводим касательные к эллипсу. Точки пересечения этих касательных с касательной, проведенной в точке L, дают вершины A и D.

Второй способ:

Строим вписанную в окружность трапеции (см.выше). Затем проводим касательные к эллипсу параллельные сторонам трапеции. Точки пересечения касательных – вершимы искомой описанной равнобокой трапеции.

Задание: построить изображение описанного около окружности шестиугольника.

чертеж — оригинал изображение

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности — КиберПедия

Правильный описанный треугольник строят следующим образом (рисунок 38). Из центра заданной окружности радиуса R₁проводят окружность радиусом R₂ = 2R₁ и делят ее на три равные части. Точки деления А, В, С являются вершинами правильного треугольника, описанного около окружности радиуса R₁.

 

 

 

Рисунок 38

 

Правильный описанный четырехугольник (квадрат) можно построить с помощью циркуля и линейки (рисунок 39). В заданной окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью за центры, радиусом окружности R описывают дуги до взаимного их пересечения в точках А, В, С,D. Точки A, B, C, D и являются вершинами квадрата, описанного около данной окружности.

 

Рисунок 39

 

Для построения правильного описанного шестиугольника необходимо вначале построить вершины описанного квадрата указанным выше способом (рисунок 40, а). Одновременно с определением вершин квадрата заданную окружность радиуса R делят на шесть равных частей в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проводят вертикальные стороны квадрата. Проведя через точки деления окружности 2–5 и 3–6 прямые до пересечения их с вертикальными сторонами квадрата (рисунок 40, б), получают вершины А, В, D, Е описанного правильного шестиугольника.

а б

Рисунок 40

Остальные вершины C и F определяют с помощью дуги окружности радиуса OA, которая проводится до пересечения ее с продолжением вертикального диаметра заданной окружности.
3 СОПРЯЖЕНИЯ

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.

Плавный переход одной линии в другую называют касанием линий, а точку, в которой происходит касание, — точкой касания или перехода (рисунок 41). Например, две дуги радиусами R₁ и R₂, касающимися между собой (рисунок 41 а), имеют общую точку касания A, лежащую на линии, соединяющей центры этих дуг – точки O₁ и O₂. На рисунке 41, б изображена прямая, касающаяся дуги радиуса R и имеющая с ней общую точку касания B, расположенную на перпендикуляре, опущенном из центра дуги – точки О на прямую. Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

 

 

 

а б

 

Рисунок 41

 

Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рисунке 42 такой промежуточной линией является дуга AB радиусом R_c, с помощью которой осуществлен плавный переход (сопряжение) от прямой к дуге окружности радиусом R.

Рисунок 42

 

Чаще всего промежуточной линией является дуга окружности, называемая дугой сопряжения, или сопрягающей дугой. Радиус сопрягающей дуги носит название радиуса сопряжения, а центр дуги – центра сопряжения. Дуга сопряжения касается одновременно двух сопрягаемых линий. При сопряжении всегда имеются две точки перехода (на рисунке 42 точки А и B), и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.

Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.

Правильный шестиугольник вписанный в окружность

Правильный шестиугольник вписанный в окружность. К вашему вниманию типичная задача, которая встречается в школьном курсе математики. Сначала небольшое теоретическое отступление. Информацию о шестиугольнике и окружности можно посмотреть здесь и тут.

Известно, что в правильном шестиугольнике расстояния от центра до его вершин равны, также это расстояние равно стороне шестиугольника. То есть правильный шестиугольник состоит как бы из шести равносторонних треугольников «сложенных» друг с другом.

ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Л. С.

Задача 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.

Как правило, когда дано такое условие большинство ребят привыкли строить эскиз следующим образом:

*Конечно, можно построить диагонали и высоты образованных равносторонних треугольников. Далее обозначить сторону описанного шестиугольника, например, за «х» и вычислять их площади.

Мы поступим следующим образом: повернём вписанный шестиугольник по часовой стрелке на 30 градусов и разобьём (диагоналями) на 6 равносторонних треугольников:

Видно, что сторона вписанного шестиугольника равна высоте описанного. Кроме того, очевидно, что рассматриваемые шестиугольники подобны. Вспомним свойства подобия фигур:

=> отношение сторон подобных фигур равно коэффициенту подобия, то есть

=> отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть

Для того чтобы вычислить отношение площадей шестиугольников нам достаточно найти отношение площадей двух равносторонних треугольников (маленького и большого):

*Как уже сказано: сторона маленького треугольника равна высоте большого.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной «х» его высота равна

*Это несложное вычисление, можно использовать теорему Пифагора.

Значит отношение сторон оговоренных треугольников будет равно:

Мы получили коэффициент подобия.

Таким образом, отношение площадей треугольников (малого и большого), а значит и вписанного и описанного шестиугольников будет равно квадрату этого коэффициента:

Ответ: 0,75

Ещё вариант решения!

Мы можем найти отношение площадей оговоренных выше равносторонних треугольников. Используем формулу площади треугольника:

Сторону большего треугольника принимаем за х, следовательно площадь будет равна:

Сторона меньшего треугольника будет равна (х√3)/2, тогда его площадь:

Отношение площади меньшего к площади большего равно:

Итог: мы построили эскиз, вычислили отношение сторон шестиугольников (отношение сторон равносторонних треугольников), далее использовали свойство подобия.

*Комментарий: не смотря на то что объяснение решения изложено несколько ёмко, на самом деле сам процесс вычисления очень прост и при понимании осуществляется в течение минуты. Здесь важна сама идея решения, а именно: использование свойства подобия фигур. И, безусловно, время затраченное на поиск результата будет значительно меньше, чем если бы мы вычисляли отношение площадей другим способом.

Дополнение! Важен один момент: необходимо внимательно прочитать условие. Здесь сказано, что необходимо найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольника. Если же будет стоять вопрос о нахождении отношения площади описанного и вписанного шестиугольника, то результат будет другой. Подробнее:

Отношение сторон большого и малого треугольников будет равно:

Это есть коэффициент подобия. Значит его квадрат будет равен:

То есть отношение площадей в этом случае будет равно 4/3.

Материал предоставил репетитор по математике, ведущий курсов ЕГЭ по математике и информатике в городе Челябинск Евгений Маслов.

C уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.

Вписанные и описанные многоугольники основные понятия свойства формулы

Вписанные и описанные многоугольники: основные понятия, свойства, формулы

Вписанным в окружность называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности (рис.1)

Описанным около окружности называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности (рис.2)

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника (рис.1), называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными (рис.2), называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.

Радиус r  вписанного круга выражается через стороны  a, b, c  треугольника:

Радиус R описанногокруга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата).

Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей.

Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180º.Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей.

Вокруг трапеции можно описать круг, еслитолько она равнобочная.

 Правильный многоугольник – это многоугольник с равными сторонами и углами.

 

На рис.3 показан правильный шестиугольник, а на рис.4 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180º (n – 2) / n ,где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O (рис. 3), равноудалённая от всех его вершин (OA = OB = OC = … = OF), которая называется центром  правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон  (OP = OQ = OR = …). Отрезки OP, OQ, OR, … называются апофемами; отрезки OA, OB, OC, …– радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга — это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга — его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.

Число сторон	R	r	S
3
4
5
6
8
10
n

Теорема Стюарта

Если точка D лежит на стороне ВС треугольника АВС, то AD²=

Дано:

ΔАВС, DВС

Доказать, что:

AD²=

Доказательство:

Применим теорему косинусов к треугольникам АСD и ABD:

(1),

(2).

Умножим первое неравенство на BD, а второе – CD и сложим их:

Так как BD+DC=BC, то

, .

и — смежные, следовательно, cos ADC=cos (180°-)= — cos ADB.

Таким образом,

приобретает вид: .

Разделим обе части равенства на ВС: AD²=

Теорема доказана.

Вывод формулы Герона

Дано:

Δ АВС,

Д

а

в

оказать, что:

S

с

=, где а, в, с – длины сторон треугольника, р=

Доказательство:

S= a·b·sin, где — угол противолежащий стороне с.

По теореме косинусов:

с²=а²+в²-2а·в·cos.

Отсюда

cos=

Значит,

sin²= 1 – cos²=(1- cos)(1+ cos)=

=

=

Замечая, что

а+в+с=2р, а+в-с=2р-2с, а+с-в=2р-2в, с-а+в=2р-2а,

получаем:

sin=

Таким образом,

S=a·b·sin=

Теорема доказана.

Площадь плоской фигуры. Свойства площадей

Для плоских фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади;

2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Формулы нахождения площадей:

1. Треугольник

Обозначения:  a,  b,  c – стороны;  A,  B,  C – углы;   
p = ( a + b + c ) / 2 — полупериметр;   h – высота;   S – площадь;   R – радиус описанной окружности;   r – радиус вписанной окружности.

S=½ah

S=½ab (для прямоугольного треугольника)

S=(для равностороннего треугольника)

S=½ab·sin()= pr =

2. Трапеция

S=½(AD+ВС)·BH, где AD и ВС– основания, BH – высота.b)

4. Квадрат

S= a²=

5. Прямоугольник

S=ab=

6. Круга

S= πR2

7. Кругового сектора

S=

8. Ромб

S= a²sinα = = аh

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

Задача: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному.

Дано:

ΔАВС- прямоугольный,

CD – высота.

Доказать, что

ΔАВСΔACD, ΔABCΔCBD,
ΔACDΔCBD

Доказательство:

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, CD – высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что ΔАВСΔACD, ΔABCΔCBD, ΔACDΔCBD.

Треугольники ΔАВС и ΔACDподобны по первому признаку подобия треугольников. Точно также подобны треугольники ΔABC и ΔCBD, поэтому . Наконец, треугольники ΔACD и ΔCBD также подобны по первому признаку, что и требовалось доказать.

Отрезки XY называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СD, если XY=.

На основе этой задачи можно доказать следующие два утверждения:

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство:

Действительно, ΔACD ΔCBD, поэтому и, следовательно, СD²=АD·DВ, откуда СD=.

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство:

В самом деле, ΔАВСΔACD, поэтому и, следовательно, АС=.

Правильные многоугольники. Свойства. Формула для вычисления стороны и площади правильного многоугольника.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны (рис. 1).

 

Рис. 1

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Вид правильного многоугольника	a	R	r	Сумма углов
Треугольник	60°			180°
Четырехугольник	90°			360°
Шестиугольник	120°	a		720°

Свойства правильных многоугольников

• Правильный многоугольник может быть вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.

• Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. 

• Сторона a_n правильного n-угольника связана с радиусом  R описанной окружности формулой a_n=2Rsinn180°=2Rsinn.

• Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

Основные формулы:

• Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен r=Rcosn, а длина стороны многоугольника равна

• Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a составляет S=4na2ctgn .

• Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет

Прямоугольник, ромб, квадрат. Определение, свойства и признаки, формулы площадей.

П

B

C

а

в

рямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 1).

С

Рис. 1

A

D

войство прямоугольника:

Признаки прямоугольника:

Основные формулы:

S=ab=

Ромбомназывается параллелограмм, у которого все стороны равны (рис 2).

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма:

  • противолежащие стороны равны;

  • противоположные углы равны;

  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;

  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

• с

  Рис. 2

  умма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм — ромб.

2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм — ромб.

Основныеформулы

S = ah_a

S = a²sin

S =½d₁d₂

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Ромб, у которого есть прямой угол – есть квадрат (рис. 3).

С

Рис.3

войство квадрата:

1. Если четырехугольник — квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.

Признак квадрата:

2. Если  для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он — квадрат.

Утверждения.

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.

4. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90 .

Основные формулы:

Р=4а

Правильный шестиугольник в описанной окружности

ОБЫЧНЫЙ ШЕСТИГРАННИК В А ДАННЫЙ ЗАПИСАННЫЙ КРУГ

Многие головки болтов и гайки шестигранные. (шестигранный) в форме.На рисунке 4-26 показан метод

.

Рисунок 4-26.-Правильный шестиугольник в заданной описанной области.

круг: один метод.

Рисунок 4-27.-Правильный шестиугольник в данной описанной окружности

: другой метод.

построения правильного шестиугольника в заданном

описанном круг. Диаметр описываемой круг имеет ту же длину, что и длинный диаметр шестигранника.Радиус описанный круг (равный половине длинный диаметр шестиугольника) составляет длина равна длине стороны. Lay от горизонтального диаметра AB и вертикального диаметр CD. OB — радиус круг. От C проведите линию CE, равную OB; затем отложите этот интервал до обведите и соедините точки пересечения. Рисунок 4-27 показан другой метод построения правильный шестиугольник в данной описанной круг.Нарисуйте вертикальный диаметр AB и используйте T-квадрат и треугольник 30/60, чтобы нарисовать BC от Б на 30 по горизонтали. Установите компас до BC, отложите этот интервал по окружности, и соедините точки пересечения.

ОБЫЧНЫЙ ШЕСТИГРАННИК НА ДАННОМ НАПИСАНО КРУГ

На рис. 4-28 показан метод построения а правильный шестиугольник на вписанной окружности.

Ничья горизонтальный диаметр AB и вертикальный центр линия. Нарисуйте линии, касательные к окружности и перпендикулярные к AB в точках A и B. Используйте Т-образный квадрат и треугольник 30/60, чтобы нарисовать оставшиеся стороны фигура, касательная к окружности и 30 к горизонтальный.

Рис. 4-28.-Правильный шестиугольник на вписанной окружности.

Рисунок 4-29.-Правильный восьмиугольник в данном описанном круге

.

ОБЫЧНЫЙ Восьмиугольник в окружности

КРУГ ДАННЫЙ

На рисунке 4-29 показан метод построения

a. правильный восьмиугольник в данной описанной окружности. Привлечь горизонтальный диаметр AB и вертикальный диаметр CD. Используйте Т-квадрат и треугольник 45, чтобы нарисуйте дополнительные диаметры EF и GH от 45 до горизонтальный. Соедините точки, где диаметры пересечь круг.

День 43 — правильный шестиугольник, вписанный в круг

Презентация на тему: «День 43 — правильный шестиугольник, вписанный в круг» — стенограмма презентации:

1 День 43 — правильный шестиугольник, вписанный в круг

2 Введение В нашем предыдущем уроке мы узнали, как построить равносторонний треугольник, вписанный в круг.Мы собираемся использовать ту же идею, чтобы построить правильный шестиугольник, вписанный в круг. Правильный шестиугольник также можно вписать в круг так же, как равносторонний треугольник был вписан в круг.

3 Словарь Шестиугольник Многоугольник, имеющий шесть сторон Правильный шестиугольник
Шестиугольник, все стороны которого совпадают и все углы равны. Вписанный многоугольник Многоугольник, нарисованный внутри другой плоской фигуры таким образом, что вершины многоугольника касаются края плоской фигуры, в данном случае круга.

4 Inscribe Чтобы нарисовать, постройте плоскую фигуру внутри другой фигуры таким образом, чтобы все вершины внутренней фигуры касались внешней фигуры.

5 Построение правильного шестиугольника, вписанного в круг
Когда правильный шестиугольник построен внутри круга так, что все его вершины касаются края круга, мы говорим, что шестиугольник вписан в круг.Наши строительные инструменты по-прежнему остаются компасом и линейкой. Все вершины правильного шестиугольника находятся на одинаковом расстоянии от центра круга, потому что все они находятся на окружности.

6 Чтобы построить правильный шестиугольник, вписанный в круг:
1. С помощью циркуля рисуем круг с центром O подходящего радиуса, как показано ниже. Обратите внимание, что мы не меняем радиус компаса в следующих шагах.О

7 2. Мы используем любую точку на окружности в качестве центра и делаем дугу на окружности, как показано ниже.

8 3. Мы используем точку пересечения дуги и круга в качестве нашего нового центра и делаем еще одну дугу на окружности, как показано ниже. Помните, что мы используем тот же радиус. О

9 4.Мы повторяем процесс, используя новые точки пересечения, построенные как новые центры с тем же радиусом четыре раза, пока мы не нарисуем в общей сложности 6 дуг, как показано ниже. О

10 5. Затем мы используем линейку, чтобы соединить каждую из шести точек пересечения, чтобы сформировать правильный шестиугольник, как показано ниже. Мы можем использовать транспортир, чтобы убедиться, что все шесть углов совпадают, и линейку, чтобы убедиться, что все шесть сторон имеют одинаковую длину.О

11 Пример Используя только циркуль и линейку, нарисуйте круг подходящего радиуса, а затем постройте правильный шестиугольник, вписанный в круг.

Круги с описанием и описанием Доктор Джейсон Гершман.

Презентация на тему: «Подписанные и ограниченные круги доктора Джейсона Гершмана» — стенограмма презентации:

1 Написанные и описанные круги Dr.Джейсон Гершман

2 Описанные круги Справа приведены примеры окружностей, описанных вокруг квадрата, прямоугольника, параллелограмма и четырехугольника. Эти фигуры обладают множеством интересных свойств, которые можно использовать для решения проблем.

3 Квадрат в круге. Если у вписанного квадрата есть площадь 25 — Найдите площадь круга.- Найдите область розового цвета, которая находится за пределами квадрата, но внутри круга. — Предположим, вы играете в игру, в которой, если вы попадете в область, отмеченную розовым цветом, вы выиграете игру. Найдите вероятность того, что вы выиграете игру.

4 Прямоугольник в круге. Учитывая, что вписанный прямоугольник имеет длину 6 и ширину 8 — Найдите площадь круга. — Найдите область розового цвета, которая находится за пределами квадрата, но внутри круга. — Найдите отношение области розового цвета, которая находится к востоку от прямоугольника, но внутри круга, к области розового цвета, которая находится к северу от прямоугольника, но внутри круга.

5 Равносторонний треугольник в круге Дан равносторонний треугольник с длиной стороны 12 и окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите площадь и длину окружности.

6 Четырехугольник в круге. Используя вариацию формулы Герона, найдите площадь четырехугольника с длинами сторон 4, 5, 7 и 10 с окружностью, описанной вокруг него.Подсказка: сначала найдите полупериметр.

7 Вписанные круги Справа показаны примеры кругов, вписанных в квадрат, равносторонний треугольник, правильный шестиугольник и звезду. Эти фигуры обладают множеством интересных свойств, которые можно использовать для решения проблем.

8 Круг в квадрате Для квадрата со стороной 4.Найдите площадь круга, вписанного в этот квадрат. Найдите отношение площади круга, вписанного в этот квадрат, к площади круга, описанного около того же квадрата со стороной 4.

9 Окружность в равностороннем треугольнике Для равностороннего треугольника со стороной 6. Найдите площадь круга, вписанного в этот треугольник. Найдите отношение площади круга, вписанного в этот треугольник, к площади круга, описанного примерно в том же треугольнике со стороной 6.

10 Круг в шестиугольнике Для круга радиуса 2, вписанного в правильный шестиугольник, найдите площадь шестиугольника. Найдите отношение площади вписанного в него правильного шестиугольника с радиусом круга 2 к площади квадрата с вписанным в него кругом радиуса 2. Что вы ожидаете произойти с площадью n-угольника с вписанной в него окружностью радиуса 2, когда значение n стремится к бесконечности.

Вписанных и ограниченных кругов и многоугольников в GMAT

Вписанные и ограниченные

Еще один сложный тип геометрической диаграммы включает в себя многоугольники «внутри» окружностей или окружности «внутри» многоугольников.Когда многоугольник находится «внутри» круга, каждая вершина должна лежать на окружности:

На этой диаграмме неправильный пятиугольник ABCDE представляет собой , вписанный в круг , а круг — , описанный вокруг пятиугольника . Можно также сказать: круг ограничивает пятиугольник. Слово «вписанный» описывает внутреннюю форму, а слово «ограниченный» описывает внешнюю форму. Вот еще одна диаграмма с многоугольником снаружи.

Обратите внимание на то, что каждая сторона этого неправильного пятиугольника составляет касательной к окружности.Теперь пятиугольник — это , описанный на по окружности, а круг — это , вписанный в , вписанный в пятиугольник . В обоих случаях внешняя форма описывается, а внутренняя форма вписывается.

Треугольники

Как это часто бывает при обсуждении многоугольников, треугольники — это особый случай при обсуждении вписанного и описанного. Каждый возможный треугольник может быть вписан в один круг и описывать другой круг .Это «универсальное двойное членство» верно ни для каких других многоугольников более высокого порядка — оно верно только для треугольников. Вот небольшая галерея треугольников, каждый из которых вписан в один круг и описывает другой.

Обратите внимание, что, когда один угол особенно тупой, близкий к 180 °, разница в размерах между описанной окружностью и вписанной окружностью становится довольно большой. Также обратите внимание: в случае прямоугольного треугольника, второго изображения, гипотенуза треугольника — это диаметр описанной окружности.Мы вернемся к этому моменту.

Четырехугольники

Многие четырехугольники нельзя ни вписать в круг, ни описать кругом: то есть невозможно построить круг, проходящий через все четыре вершины, а также невозможно построить круг, к которому все четыре стороны обращены.

No related posts.